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第11单元-算法、复数、推理与证明-数学(理科)-人教A版


新课标·人教A版

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第十一单元 算法、复数推理 与证明

第65讲 第66讲 第67讲

算法初步 复数的基本概念与运算 合情推理与演绎推理

第68讲

数学证明

新课标·人教A版

第十一单元 算法、复数、 推理与证明

第十一单元 │ 知识网络

知识网络

第十一单元 │ 知识网络

第十一单元 │ 知识网络

第十一单元 │ 网络解读

网络解读
本单元的内容包括算法、复数、推理与证明. 1.算法 主要内容:算法和框图、基本算法语句. (1)理解程序框图的三种基本逻辑结构,掌握三种逻辑结 构在程序框图中的体现和特点是本单元的重点;难点是绘制简 单实际问题的流程图,正确理解各种算法语句的实际意义. (2)算法过程要一步一步执行,每一步执行的操作,必须 确切,不能含糊不清,而且在有限步后得出结果.

第十一单元 │ 网络解读
(3)条件结构主要用在一些需要依据条件进行判断的算法中, 如分段函数的求值、参数的讨论等.循环结构主要用在一些有规 律的重复计算的算法中,如累加求和、累乘求积等. 近几年的高考试卷中,算法是必考的内容,要求能读懂程序 框图及框图符号的含义,明白执行框图后输出结果是什么,会用 程序框图表示算法,体会算法思想.考查多是基础题,难度不 大. 预计2013年高考中,会继续以选择或填空题的形式考查程序 框图中的输出结果、判断条件和程序功能.只需要注意它的考查 有初始值的数量增多、赋值语句增多、循环体结束条件复杂化的 变化趋势.

第十一单元 │ 网络解读
2.复数 主要内容:复数的概念、复数的几何意义和复数的四 则运算. (1)复数的相关概念很多,定义的掌握是本节内容学习 的关键. (2)复数的除法运算法则是分母实数化. (3)研究复数问题常见的几种方法:一是设复数z=a+ bi(a,b∈R),从而把问题转化为实数问题去解决;二是利 用z·z =| z |2=|z|2去解决和模或共轭复数有关问题;三是充 分利用复数的几何意义去解题.

第十一单元 │ 网络解读
(4)常见的复数性质要熟记,如in值的周期性,(1± 2= i) 1 ± 2i, =-i, z =z?z∈R. i 在高考中,复数的考查难度不高,集中考查复数的概念及 四则运算,复数问题实数化是解决复数问题的最基本的方法. 预计2013年复数以小题形式考查基本概念、四则运算及几 何意义.注意复数的概念与基本运算相结合、复数幂的运算与 复数除法的运算相结合、复数的基本运算与复数的几何意义相 结合、复数与方程相结合、复数与集合相结合的考查趋势.

第十一单元 │ 网络解读
3.推理与证明 (1)推理包括合情推理和演绎推理.会用合情推理提出猜 想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的 区别与联系是这部分内容的重点. (2)常见证明方法有综合法、分析法和反证法.从命题的特 点、形式去选择证明方法. ①一般地,结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词 语,或否定性命题,或要讨论的情况很复杂的,可以考虑用反 证法; ②一般地,含分式、根式的不等式,或从条件出发思路不 明显的命题,可以考虑用分析法;

第十一单元 │ 网络解读
③命题的结论有明确的证明方向的,适宜用综合法. 对于比较复杂的命题,有时需要多种证明方法综合运用, 各取所长.对推理与证明的考查,高考试题中已知出现过专门 考查归纳推理和类比推理的试题,也出现过专门指明用反证法 证明的试题,随着新课标高考的深入发展,推理与证明的考查 会更加科学合理. 预计2013高考,将会以这部分内容为切入点,加强逆向思 维能力和创新能力的考查,这类试题也会以新定义或信息迁移 题形式出现.

第十一单元 │ 高考纵览 高考纵览
题 型
算法

考点统计 算法的含义、程序框图 复数的概念与四则运算 合情推理与演绎推理

考查 频度
20 23 10

考查 要求
理解 理解 理解

考例展示 陕西理(2010,5) 安徽理(2011,1) 江西理(2011,7)

选 择 题

复数

推理 与证 明

第十一单元 │ 高考纵览

题 型 算法 填 空 题 复数 推理 与证 明

考点统计 算法的含义、程序框图 基本算法语句 复数的概念与四则运算 推理与证明

考查 频度 15 2 10 8

考查 要求 理解 理解 理解 理解

考例展示 湖南理(2011,13) 江苏(2011,4) 上海理(2010,2) 陕西(2011,13)

第十一单元 │ 使用建议 使用建议
1.编写意图 本单元是新课标考纲中新增的内容,考查范围广,内容多, 涉及数学知识的方方面面,难易度不易把握.以教材为根本, 以考试大纲为准绳,在编写过程中突出了以下两个特点: (1)突出主干知识.对核心知识和常考知识点进行了重点 设计,对各种基本题型进行了详细阐述.比如在算法初步部分 的编写中,突出了对学生算法思想及运用程序框图能力的训练, 对算法案例进行了弱化处理,目的是帮助学生在繁杂的知识中 构建知识体系,抓住重点,提高复习的针对性和有效性.

第十一单元 │ 使用建议
(2)体现新课标理念.编写过程中尽量体现以学生为主 体,在试题的选择上,以便于学生自主学习,自主探究为 出发点,培养学生的创新能力.比如合情推理这一知识点, 为创新性试题的命制提供了较好的空间,对于这部分试题 的选取都体现了新颖性. 2.教学建议 尽管本单元内容是新课标考纲中新增的内容,除算法、 复数内容外,突出了对学生推理与创新能力的考查,但教 学中仍然要以掌握基础知识、基本方法为出发点,切不可 盲目加大难度.教学时要做好以下几点:

第十一单元 │ 使用建议
(1)对算法初步教学的建议:由于试题主要考查程序框 图和基本算法语句,复习该部分时要抓住如下要点:一是程 序框图的三种基本逻辑结构,弄清三种基本逻辑结构的功能 和使用方法,结合具体题目掌握好一些常见的计算问题的程 序框图题,如数列求和,累加、累乘等程序框图;二是理解 基本算法语句,搞清楚条件语句与条件结构的对应关系,循 环语句与循环结构的对应关系等.

第十一单元 │ 使用建议
(2)对复数部分教学的建议:新教材对复数的要求有所 降低,复习时要重视基础,理解复数、相等的复数、共轭复 数及复数的模等概念,掌握复数为实数、虚数、纯虚数的充 要条件,掌握复数的四则运算,理解复数加减法的几何意 义.同时注重复数的基本运算和技巧运用,来提高解题速度 和准确度. (3)对推理与证明教学的建议:本单元是培养学生良好 思维习惯,学习和运用数学思想方法,形成数学能力的重要 一环.要站在数学思想方法的高度,对多年来所学习的数学 知识和数学方法做较为系统的梳理和提升.务必使学生对数 学发现与数学证明方法有一个较为全面的认识.要重视对合 情推理的训练,加强合情推理与演绎推理的综合运用.

第十一单元 │ 使用建议
(4)充分重视学生的主体作用:本单元学生都可以独立 地完成其中的绝大多数内容,教师在教学中要把这个特点发 挥出来,在不需要讲的地方就不讲、能少讲的不多讲. 3.课时安排 本单元包含4讲和2份训练卷(45分钟滚动基础训练卷(十 五),单元能力检测卷(十一)),建议每讲1课时,45分钟滚 动基础训练卷1课时,单元能力检测2课时,本单元共需7课 时.

第65讲 │ 算法初步

第65讲 算法初步

第65讲 │ 考纲要求 考纲要求
1.算法的含义、程序框图 (1)了解算法的含义,了解算法的思想. (2)理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分 支、循环. 2.基本算法语句 了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值 语句、条件语句、循环语句的含义.

第65讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.算法的定义 算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步 程序化 骤,算法的基本思想就是________思想. 2.算法的特点

确定性 (1)________——每一步都是确定的,能有效地执行,能得
到确定的结果. 有限性 (2)________——步骤序列是有限的.

不唯一性 (3)________——求解一个问题的解法不一定只有一种,对
于同一个问题可以有多种不同的算法.

第65讲 │ 知识梳理
3.程序框图 (1)程序框图的概念:程序框图又称流程图,是一种用 程序框 流程线 文字说明 ________、________及________来准确、直观地表示算法的图 形. (2)构成程序框图的图形符号及作用

第65讲 │ 知识梳理

第65讲 │ 知识梳理
4.算法的三种基本逻辑结构和框图表示 (1)顺序结构是由若干个__________________的步骤组 依次执行 成的.这是任何一个算法都离不开的基本结构. 其结构形式为图 65-1.

图 65-1

第65讲 │ 知识梳理
(2)条件结构是在一个算法中,经常会遇到一些条件的 条件是否成立 判断,算法的流程根据________________有不同流向的结 构. 其结构形式为图 65-2.

图 65-2

第65讲 │ 知识梳理
(3)循环结构是指从某处开始按一定条件反复执行某些 循环体 步骤的情况.反复执行的处理步骤称为__________.循环

当型 直到型 结构又分为______循环和________循环.
其结构形式为图65-3.

图65-3

第65讲 │ 知识梳理
5.基本算法语句的格式要求 (1)任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语

输入语句 输出语句 赋值语句 句,它们分别是________、________、________、 条件语句 循环语句 ________、________.
(2)输入语句的一般格式是INPUT “提示内容”; 变量 ________;输出语句的一般格式是PRINT “提示内

表达式 变量=表达式 容”;________;赋值语句的一般格式是________.
(3)条件语句有两种:一种是IF—THEN—ELSE语句, 其格式是:

第65讲 │ 知识梳理

对应的程序框图为图65-4.

图65-4

第65讲 │ 知识梳理
另一种是IF—THEN语句,其一般格式是: IF 条件 THEN 语句体 END IF 对应的程序框图为图65-5.

图65-5

第65讲 │ 知识梳理
(4)循环语句分WHILE语句和UNTIL语句. WHILE语句的一般格式为: WHILE 条件 循环体 WEND 对应的程序框图为图65-6.

图65-6

第65讲 │ 知识梳理
UNTIL语句的一般格式为: DO 循环体 LOOP UNTIL

条件

其对应的程序框图为图65-7.

图65-7

第65讲 │ 问题思考 问题思考
? 问题1 算法的条件结构是选择程序走向的.( )

[答案]对

[解析]

条件结构是根据某种条件是否满足来选择程序

的走向,当条件满足时,运行“是”的分支,不满足时运行 “否”的分支.

第65讲 │ 问题思考
? 问题2 任何算法必有条件结构.( )

[答案]错

[解析] 任何算法必有顺序结构,可以没有条件结构.

第65讲 │ 问题思考
? 问题3 是赋值框,有计算功能.( )

[答案]错

[解析] 此框是输入、输出框,没有计算功能.

第65讲 │ 问题思考
? 构.( 问题4 ) 算法框图中如果有 ,则一定有条件结

[答案]错

[解析] 循环结构中也有

.

第65讲 │ 问题思考
? 问题5 当型循环是给定条件不成立时,执行循环体, )

反复进行,直到条件成立为止.(

[答案]错
[解析] 当型循环是给定条件成立时,执行循环体,完毕后 如果仍然成立,再执行循环体,反复进行,直到某一次条件不 成立为止,此时不再执行循环体,离开循环结构.当型循环特 点是:先判断,后执行.

第65讲 │ 问题思考
? 问题6 ) 直到型循环是条件不满足时循环,直到满足条

件为止.(

[答案]对
[解析] 直到型循环是先执行循环体,然后判定条件是否成 立,如果仍然不成立,则继续执行循环体,直到某一次条件成 立为止,不再执行循环体,离开循环结构.直到型循环特点 是:先执行,后判断.

第65讲 │ 问题思考
? 问题7 UNTIL语句是先执行循环体,后进行条件的判 )

断的循环语句.(

[答案]对
[解析] 执行该语句,先执行一次循环体,然后进行条件的 判断,如果不满足,继续执行循环体,反复进行,直到某一次 条件满足,直接跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句.

第65讲 │ 问题思考
? 问题8 输入语句:INPUT a;b;c( )

[答案]错
[解析] 变量之间应用“,”号隔开.

第65讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1
例1 A.8

程序框图的识别与解读
(1)[2011· 辽宁卷] 执行图 65-8 的程序框图,如果 ) B.5 C.3 D.2

输入的 n 是 4,则输出的 p 是(

图 65-8

第65讲 │ 要点探究
(2)[2011· 福建卷] 阅读图 65-9 所示的程序框图,运行相 应的程序,输出的结果是( A.3 B.11 C.38 ) D.123

图65-9

第65讲 │ 要点探究

[思路] (1)按程序框图逐一执行,即可得出结论;(2)按照框 图判定每一次循环之后变量的变化及最终输出的值.

[答案](1)C

(2)B

第65讲 │ 要点探究
[解析] (1)若输入 n=4,则执行 s=0,t=1,k=1,p=1, 判断 1<4 成立,进行第一次循环;p=1,s=1,t=1,k=2,判 断 2<4 成立,进行第二次循环;p=2,s=1,t=2,k=3,判断 3<4 成立,进行第三次循环;p=3,s=2,t=3,k=4,判断 4<4 不成立,故输出 3. (2)该程序框图是当型循环结构,由程序框图可知, 第一次循环,a=12+2=3;第二次循环,a=32+2=11; 当 a=11 时,a<10 不成立,输出 a=11,故选 B.

第65讲 │ 要点探究
[点评] 本题是考查对框图的识图能力,一步步将执行结果 写出,执行的次数容易出错.程序框图往往含有三种逻辑结构, 解决问题的关键在于对循环结构的理解和运用.正确理解循环 结构,第一要确定是当型循环结构还是直到型循环结构;第二 要认清表示累计的变量的意义;第三要确定在哪一步开始循环.

第65讲 │ 要点探究
变式题 (1)[2011· 陕西卷] 图 65-10 中,x1,x2,x3 为某次 ) 考试三个评阅人对同一道题的独立评分, 为该题的最终得分. p 当 x1=6,x2=9,p=8.5 时,x3 等于( A.11 B.10 C.8 D.7

[答案](1)C

(2)D

(3)10

图 65-10

第65讲 │ 要点探究
(2)[2011· 郑州模拟] 阅读程序框图 65-11, 若输出 s 的值为-7,则判断框内可填写( A.i<3? B.i<4? C.i<5? D.i<6? )

图 65-11

第65讲 │ 要点探究
(3)[2011· 江西卷] 图 65-12 是某算法的程序框图,则程序 运行后输出的结果是________.

图 65-12

第65讲 │ 要点探究
[解析] 由题目中所给的数据 p=8.5,x1=6,x2=9,则若满 足条件|x3-x1|<|x3-x2|时,不成立,故应不满足条件|x3-x1|< x2+x3 |x3-x2|, 此时满足 =8.5, x3=8, 则 并且代入也符合题意, 2 故选 C. (2)由框图,第一步为 s=1,i=3,第二步为 s=-2,i=5, 第三步为 s=-7,i=7,由于输出 s 的值为-7,则需 i=7 时条 件不成立,因此判断框内为“i<6?”故选 D. (3)第一次,s=0+(-1)1+1=0,n=2,第二次,s=0+(- 1)2+2=3,n=3,第三次,s=3+(-1)3+3=5,n=4,第四次, s=5+(-1)4+4=10>9,终止循环,输出结果 10.

第65讲 │ 要点探究
? 探究点2 基本算法语句的应用

例 2(1)给出下列三个问题: ①输入一个数 x, 输出 值; ②求面积为 6 的正方形的周长; ③求三个数 a、b、c 中的最大数. 其中可以用条件语句来描述其算法的有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 )
?x2-1,x≥0, ? f(x)=? ?x+2,x<0 ?

的函数

第65讲 │ 要点探究

对甲、乙程序和输出结果判断正确的是( A.程序不同,结果不同 C.程序相同,结果不同

)

B.程序不同,结果相同 D.程序相同,结果相同

第65讲 │ 要点探究
[思路] (1)算法中需要逻辑判断的都要用到条件语句;(2)从 直到型循环结构和当型循环结构入手,分析它们各自的特点,容 易得出正确结论.

[答案](1)B (2)B

第65讲 │ 要点探究

[解析] (1)①③都需要进行逻辑判断,故都要用到条件语句, ②只需用顺序结构就能描述其算法; (2)程序甲属当型循环结构,计算变量 i 从 1 开始逐步递增到 i=1000 时终止, 累加变量从 0 开始, 这个程序计算的是 1+2+3 +?+1000; 程序乙属直到型循环结构, 计算变量 i 从 1000 开始 逐步递减到 i=1 时终止, 累加变量从 0 开始, 这个程序计算的是 1000+999+998+?+1.这两段程序是不同的,但输出的结果都 是 1+2+3+?+1000=500500,故选 B.

第65讲 │ 要点探究
[点评] 同一问题可以有不同的程序, 解决这类试题的关键是 分析程序是用哪种算法语句编制的.根据循环语句讨论其执行结 果时,首先要分清是属于直到型循环结构还是当型循环结构,通 常根据循环语句所表达的意义,具体执行程序,明确程序功能, 就可以得到其输出结果.一般情况下,要善于将算法语句转化成 程序框图再作进一步分析.

第65讲 │ 要点探究
变式题 (1)下列算法

INPUT x IF x<0 THEN y=-x ElSE y=x END IF PRINT y END

第65讲 │ 要点探究
若输入的 x=5,则输出的 y 值是( A.5 B.-5 C.10 D.-10 (2)下列给出的输入、输出和赋值语句正确的个数是( ①输入语句 ②赋值语句 ③输出语句 A.0 个 C.2 个 INPUT PRINT a+2; M=2. x=x-5; ) )

B.1 个 D.3 个

第65讲 │ 要点探究
(3)[2011·福 建 卷 ] 运 行 如 下 的 程 序 , 输 出 的 结 果 是 __________. a=1 b=2 a=a+b PRINT a END

[答案](1)A

(2)B

(3)3

第65讲 │ 要点探究
[解析] (1)输出的是 y=x,即输出的是 5. (2)①中输入语句只能给变量赋值, 不能给表达式 a+2 赋值, 所以①错误;②中 x=x-5 表示变量 x 减去 5 后再将值赋给 x, 即完成 x=x-5 后,x 比原来的值小 5,所以②正确;③中不能 输出赋值语句,所以③错误. (3)由已知,输入 a=1,b=2,把 a+b 的值赋给 a,输出 a =3.

第65讲 │ 规律总结 规律总结
1.三种基本逻辑结构的主要作用 顺序结构是最简单的算法结构,它是任何一个算法都离不开 的一种基本算法结构.条件分支结构主要用在一些需要依据条件 进行判断的算法中,如分段函数的求值、数据的大小比较等问 题.循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中,如累加 求和、累乘求积等问题.

第65讲 │ 规律总结
2.循环结构的程序框图的运用 ①循环结构的循环过程是由两个变量控制,一个是计数变量,一 个是累加变量.②循环的结束由判断条件决定.因此,解决带有循环 结构的程序框图时要注意三看:一看开始时设定的变量;二看变量的 变化规律;三看循环终止的条件. 3.输入、输出和赋值语句是任何一个算法中必不可少的语句, 一个语句可以输出多个表达式.在赋值语句中,一定要注意其格式的 要求,如“=”的右侧必须是表达式,左侧必须是变量;一个语句只 能给一个变量赋值;变量的值始终等于最近一次赋给它的值,先前的 值将被替换;条件语句的主要功能是实现算法中的条件结构,解决像 “判断一个数的正负”“比较两个数的大小”“对一组数进行排 序”“求分段函数的函数值”等问题,计算时就需要用到条件语句.

第65讲 │ 易错警示 易错警示
例[2011· 盐城调研] 运行如图 65-13 所示的程序框图,则输 出的结果 s=________.

[易错十]

程序框图—条件分辨不清的影响

图 65-13

第65讲 │ 易错警示
[规范解答] 初值 s=1,k=1; 第一步:k=2,s=1+22=5; 第二步:k=3,s=5+23=13; 第三步:k=4,s=13+24=29; 第四步:k=5,s=29+25=61. 因为 k=5>4,循环结束,s=61.

第65讲 │ 易错警示
[易错警示] 警示 1:看清初始值,即变量 s,k 是从什么值开 始的. 警示 2:看清变量的变化规律和顺序,即第一次运算是 k=1 +1,s=1+22,然后循环.这里也特别注意两个变量赋值的顺序 关系. 警示 3:注意循环终止的条件,即只要 k>4 即终止循环、输 出结果.

第65讲 │ 易错警示
[方法剖析] 一般地,以循环结构为主的程序框图中,控制其 变化规律的是计数变量和累加变量,计数变量控制计算次数,累 加变量是对运算结果的逐步计算,但在程序框图的输出中,有的 是输出计算次数,有的是输出计算结果,程序的输出结果最后受 判断条件的制约,根据判断条件终止循环.在解题中要从三个方 面,即计数变量、累加变量和控制条件分析该类问题.

第65讲 │ 易错警示
自我检评(1)图 65-14 是一程序框图,则输出结果为( 4 5 7 6 A. B. C. D. 9 11 12 13 )

图 65-14

第65讲 │ 易错警示

图65-15

(

(2)如果执行如图 65-15 所示程序框图,那么输出的结果为 ) A.4 B.5 C.6 D.7

[答案](1)B (2)B

第65讲 │ 易错警示
1 1 [解析] (1)第一次运行 S= ,k=3;第二次运行 S= + 1×3 1×3 1 1 1 1 1 , k=5; 第三次是 S= + + , k=7; 第四次是 S= 3×5 1×3 3×5 5×7 1×3 1 1 1 1 1 1 1 + + + , k=9; 第五次运行 S= + + + 3×5 5×7 7×9 1×3 3×5 5×7 7×9 1? 5 1 1 ? + ,k=11>10.循环结束,故输出结果是 S= ×?1-11?= . 2 ? 9×11 ? 11 (2)第一次运行 k=2,S=0+20=1;第二次运行 k=3,S=1+21 =3;第三次运行 k=4,S=3+23=11;第四次运行 k=5,S=11+ 211>100,结束循环,故输出的 k=5.

第65讲 │ 备用例题
备用例题
[备选理由] 本讲复习的难点是对循环结构的理解和应用, 例 1、例 2 都与循环结构有关,例 3、例 4 是对条件语句、循环 语句的巩固.

例 1

[2010· 安徽卷] 如图所示,程序框图(算法流程图)的

输出值 x=________.

[答案] 12

第65讲 │ 备用例题
[解析] x=1+1+2+1+1+2+1+1+2=12.

第65讲 │ 备用例题
例2 [2010· 广东卷] 某城市缺水问题比较突出,为了制定

节水管理办法,对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查, 其中 4 位居民的月均用水量分别为 x1,?,x4(单位:吨).根据 下图所示的程序框图,若 x1,x2,x3,x4 分别为 1,1.5,1.5,2, 则输出的结果 s 为________.

[答案] 1.5

第65讲 │ 备用例题
1 [解析] 第一(i=1)步:s1=0+1=1,s= =1; 1 1 5 第二(i=2)步:s1=1+1.5=2.5,s= ×2.5= ; 2 4 1 4 第三(i=3)步:s1=2.5+1.5=4;s= ×4= ; 3 3 1 3 第四(i=4)步:s1=4+2=6,s= ×6= ; 4 2 第五(i=5)步:i=5>4,跳出循环,输出 s=1.5.

第65讲 │ 备用例题
例3 如下的算法语句,若执行的结果是 3,则输入的 x 值

为________. INPUT x IF x>=0 THEN [答案] 3或-3 y=x ELSE y=-x END IF PRINT y END [解析] 本题是计算 y=|x|的一个算法程序, y=3, x 由 得

=± 3.

第65讲 │ 备用例题
例4 利用计算机计算: 1 1 1 1 S= + + +?+ ,某同学编写的下面 1×2 2×3 3×4 99×100 的程序语句中,①处应填________. s=0 k=1 DO s=s+1/?k*?k+1?? k=k+1 LOOP UNTIL ① PRINT “s=”;s END

[答案] k>99

[解析] 循环体执行到k=99.

第66讲 │ 复数的基本概念与运算

第66讲 复数的基本概念与运算

第66讲 │ 考纲要求 考纲要求
1.复数的概念 (1)理解复数的基本概念. (2)理解复数相等的充要条件. (3)了解复数的代数表示法及其几何意义. 2.复数的四则运算 (1)会进行复数代数形式的四则运算. (2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

第66讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.复数的有关概念 (1)复数的定义:形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 i

实部 叫做虚数单位,满足 i2=-1,a 叫复数的______,b 叫复数的 虚部 复数集 ______.全体复数所成的集合叫做________,用字母 C 表示.
(2)复数的分类 : 对于复数 a+ bi(a, b∈ R), 当 且 仅 当 b≠0 b=0 ________时,复数 a+bi(a,b∈R)是实数;当______时,复数 z bi =a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时,z=______叫做纯虚数. (3)复数相等:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么 我们就说这两个复数相等.这就是说,如果 a,b,c,d∈R, a=c,b=d 那么 a+bi=c+di?__________________.

第66讲 │ 知识梳理
实部相等 (4)共轭复数:如果两个复数的__________,而虚部互为 相反数 ________,则这两个复数互为共轭复数,即复数 z=a+bi(a,b a-bi ∈R)的共轭复数为 z =__________. 2.复数的四则运算 (1)in 的周期性:i1 =i,i2 =-1,i3 =-i,i4 =1;i4n + 1 = + + -1 i -i ____________________,i4n 2 =______,i4n 3 =______,i4n = 1 ______.(n∈Z) (2)复数和的运算法则:设 z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个 (a+c)+(b+d)i 复数,则 z1+z2=(a+bi)+(c+di)=______________. (3)复数差的运算法则:设 z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个 (a-c)+(b-d)i 复数,则 z1-z2=(a+bi)-(c+di)=______________. (4)复数乘法运算规则:设 z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个 复 数 , 那 么 它 们 的 积 (a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac-bd)+(ad+bc)i ____________________.

第66讲 │ 知识梳理
(5)复数除法运算法则:设 z1=a+bi,z2=c+di(z2≠0)是任意 ac+bd bc-ad a+bi + 两个复数,则 z1÷ 2=(a+bi)÷ z (c+di)= =________________. c2+d2 c2+d2 c+di 3.复数的几何意义 (1)复平面的概念:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 复 平 面 , 在 复 平 面 内 , x 轴 叫 做 实轴 , y 轴 叫 做 ____

虚轴 _______________________, 轴的单位是 1, 轴的单位是 i.显然, x y 实数 实轴上的点都表示 ______;除原点以外,虚轴上的点都表示 纯虚数 __________.
(2)复数的几何意义: 复数 z=a+bi(a, b∈R)一一对应复平面 ――→ → 内的点 Z(a,b)一一对应平面向量OZ. ――→

第66讲 │ 问题思考 问题思考
? 问题 1 两个共轭复数之差是纯虚数.( )

[答案]错

[解析] 有可能是零,也有可能是纯虚数.

第66讲 │ 问题思考
? 问题 2 复数相等:a+bi=c+di?a=c 且 b=d.( )

[答案] 错
[解析] 复数相等:a+bi=c+di?a=c 且 b=d(a,b,c,d ∈R).

第66讲 │ 问题思考
? d.( ) 问题 3 共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c,b=-

[答案] 错

[解析] 共轭复数: a+bi 与 c+di 共轭?a=c, b=-d(a, b,c,d∈R).

第66讲 │ 问题思考
? 数.( 问题 4 ) 实轴上的点表示实数,虚轴上的点都表示纯虚

[答案] 错
[解析] 复平面内实轴上的点表示实数;除原点外,虚轴 上的点表示纯虚数;各象限内的点都表示非纯虚数.

第66讲 │ 问题思考
? 问题 5 任意两个复数不能比较大小.( )

[答案] 错
[解析] 任意两个复数不一定能比较大小,只有这两个复 数全是实数时才能比较大小.

第66讲 │ 问题思考
? 问题 6 复数 2-3i 的实部是 2,虚部是-3i.( )

[答案] 错
[解析] 复数 2-3i 的实部是 2,虚部是-3.

第66讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1
例1

复数的有关概念
[2011· 天津模拟] 下面四个命题:

(1)-2i 是虚数,但不是纯虚数;(2)两个复数互为共轭复 数,当且仅当其和为实数;(3)x+yi=1+i 的充要条件为 x=y =1;(4)如果让实数 a 与 ai 对应,那么实数集与纯虚数集一 一对应,其中正确的命题个数是( A.0 C.2 B.1 D.3 )

[答案]A

[思路] 抓住基本概念,以概念为辨析的依据.

第66讲 │ 要点探究
[解析] (1)-2i 是纯虚数; (2)两个复数互为共轭复数时其和为实数,但是两个复数的 和为实数时不一定是共轭复数; (3)x+yi=1+i 的充要条件为 x=y=1 是错误的,因为没有 表明 x,y 是否是实数; (4)当 a=0 时,没有纯虚数和它对应. 没有一个命题是正确的,故选 A.

第66讲 │ 要点探究
[点评] 准确作出判断的前提条件是能正确理解复数中的有 关概念,要能分清实数与虚数性质的异同,设复数 z=a+bi 时, 一定要注明 a,b∈R,否则就不能运用复数相等的充要条件.

第66讲 │ 要点探究
例2 2)i, (1)为纯虚数; (2)为实数; (3)对应的点在复平面内的第二象限 内. 当实数 m 为何值时,z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+

[思路] 根据复数分类的条件和复数的几何意义求解.

第66讲 │ 要点探究
?lg?m2-2m-2?=0, ? 为纯虚数,则? 2 ?m +3m+2≠0, ?

[解答] (1)若 z 解得 m=3. (2)若 z

?m2-2m-2>0, ? 为实数,则? 2 ?m +3m+2=0, ?

解得 m=-1 或 m=-2. (3)若 z
?lg?m2-2m-2?<0, ? 的对应点在第二象限,则? 2 ?m +3m+2>0, ?

解得

-1<m<1- 3或 1+ 3<m<3.

第66讲 │ 要点探究
[点评] (1)处理有关复数概念的问题,首先要找准复数的实 部与虚部(若复数为非标准的标准形式,则应通过代数运算化为 代数形式),然后根据定义解题. (2)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实 部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列 出实部、虚部满足的方程(不等式)组即可.

第66讲 │ 要点探究
变式题 1+ai (1)[2011· 安徽卷] 设 i 是虚数单位,复数 为纯 2-i ) 1 C.- 2 C.i 1 D. 2 ) D.2i

虚数,则实数 a 为( A.2 B.-2

(2)复数 z=1+i, z 为 z 的共轭复数,则 z z -z-1=( A.-2i i,则( ) B.a=-1,b=1 D.a=1,b=-1 B.-i

(3)[2011· 湖南卷] 若 a,b∈R,i 为虚数单位,且(a+i)i=b+ A.a=1,b=1

C.a=-1,b=-1

[答案](1)A

(2)B (3)D

第66讲 │ 要点探究
1+ai ?1+ai?· ?2+i? 2-a+?2a+1?i [解析] (1)法一: = = 为纯虚 5 2-i ?2-i??2+i?
?2-a=0, ? 数,所以? ?2a+1≠0, ?

解得 a=2.

1+ai i???a-i??? 法二: = 为纯虚数,所以 a=2.答案为 A. 2-i 2-i (2)∵ z =1-i,∴z z -z-1=(1+i)(1-i)-(1+i)-1=-i, 故选 B. (3)由(a+i)i=b+i 得-1+ai=b+i,根据复数相等的充要条 件,得 a=1,b=-1,故选 D.

第66讲 │ 要点探究
? 探究点2 复数的运算

例 3 (1)[2011· 太原模拟] 已知 z1,z2 为复数,(3+i)z1 为实 z1 数,z2= ,且|z2|=5 2,则 z2=________. 2+i (2)[2011· 洛阳模拟] =________.
? ?1-i? ? ? ? ? ? ?5?2 ?1+i?20 100 计算:??1+2i?· +? i - 1+i? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?

[思路] (1)可不设代数形式,利用整体代换的思想求解. (2)可以直接利用有关复数的结论.
[答案](1)± (5-5i) (2)1+2i

第66讲 │ 要点探究
[解析] (1)z1=z2(2+i),(3+i)z1=z2(2+i)(3+i)=z2(5+5i)∈ R. ∵|z2|=5 2, ∴|z2(5+5i)|=50, ∴z2(5+5i)=± 50, 50 10 ∴z2=± =± =± (5-5i). 5+5i 1+i
? ?1-i? ? ? ? ? ? ?5? 2 ?1+i? 20 100 (2) ??1+2i?· +? i -? =[(1+2i)· 1+(-i)5]2 -i10 ? ? ? ? 2 ? ?1+i? ? ?

=(1+i)2-i10=1+2i.

第66讲 │ 要点探究
[点评] 记住以下结论,可提高运算速度: 1+i 1-i a+bi ①(1± =± i) 2i;② =i;③ =-i;④ =b-ai; i 1-i 1+i
2

⑤i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i(n∈N).







第66讲 │ 要点探究
变式题 A.-i (1)[2011· 湖北卷] i
?1+i? ?2011 为虚数单位,则? =( ?1-i? ? ?

)

B.-1 C.i D.1 1 (2)复数-i+ =( ) i 1 A.-2i B. i C.0 D.2i 2

[答案](1)A

(2)A

第66讲 │ 要点探究
? ? ?1+i? ?1+i?2 1+i ? ? × + ? ?2011 [解析] (1)因为 = ?? =i502 4 3 ?? ? =i,所以 ? ? 1-i ?1-i????1+i?? ?1-i?

=i3=-i. 1 (2)-i+ =-i-i=-2i,所以选 A. i

第66讲 │ 要点探究
? 探究点3
例4

共轭复数及与模有关的问题
(1)[2011· 辽宁卷] a 为正实数,i )
?a+i? ? ? 为虚数单位,? ? ? i ?

=2,则 a=( A.2 C. 2 B. 3 D.1

(2)设复数 z 满足|z|=5 且(3+4i)z 是纯虚数,则 z= ________.

[答案](1)B (2)±(4+3i)

第66讲 │ 要点探究
[解析]
?a+i? ? ? (1)? ?=|1-ai|= ? i ?

1+a2=2,由于 a 为正实数,

所以 a= 3,故选 B. (2)设 z=a+bi(a、b∈R),则有 a2+b2=5.① 于是(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i.由题设得
?3a-4b=0, ? ? ?4a+3b≠0, ? ?a=4, ? ∴? ?b=3 ? ?3 ? 3 2 得 b= a 代入①得 a +?4a?2=25,a=± 4, 4 ? ?

?a=-4, ? 或? ?b=-3. ?

∴z=4+3i 或-4-3i.

第66讲 │ 要点探究

[点评] 复数模的概念实际上是对绝对值概念的扩充,但它 们是有区别的.

第66讲 │ 要点探究
? 探究点4
例5

复数的几何意义

如图 66-1,平行四边形 OABC,顶点 O、A、C 分

别对应复数 0,3+2i,-2+4i,试求: → → (1)OA对应的复数,BC对应的复数; → (2)对角线CA对应的复数.

图 66-1

第66讲 │ 要点探究
[思路] 求某个向量对应的复数,只要求出向量的起点和终 点对应的复数即可.

→ [解答] (1)OA对应的复数为 3+2i. → → ∵OA=-AO, → ∴AO对应的复数为-3-2i. → → → ∵BC=AO,∴BC对应的复数为-3-2i. → → → (2)CA=OA-OC, → ∴CA对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.

第66讲 │ 要点探究

[点评] 解决这类题目是利用复数 a+bi(a,b∈R)与复平面 内以原点为起点的向量之间一一对应的关系,相等的向量对应 同一复数,然后借助于向量运算的平行四边形法则和三角形法 则进行求解.

第66讲 │ 要点探究
变式题 A.4+8i C.2+4i (2)若 (1)在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别 ) B.8+2i D.4+i 在复

为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的复数是(

?3 5 ? θ∈?4π,4π?,则复数(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i ? ?

平面内所对应的点在( A.第一象限 C.第三象限

)

B.第二象限 D.第四象限

[答案](1)C

(2)B

第66讲 │ 要点探究
[解析] (1)在复平面内,由题知 A(6,5),B(-2,3),由 C 为线 段 AB 的中点,故 C(2,4),故点 C 对应的复数为 2+4i. (2)当
?3π 5π? θ∈? 4 , 4 ?时,cosθ+sinθ<0,sinθ-cosθ>0,故其复 ? ?

平面内对应的点在第二象限.

第66讲 │ 规律总结 规律总结
1.当试题与复数的分类有关时,如当复数为实数、虚数、纯 虚数、零时,特别要注重使用实部和虚部的约束条件解题. 2.设 z=a+bi(a,b∈R),利用复数相等和有关性质将复数问 题实数化是解决复数问题的常用方法. 3.在复数代数形式的四则运算中,加、减、乘运算按多项式 运算法则进行,除法则需分母实数化. 4.复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别,在运算中 要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.

第66讲 │ 备用例题
备用例题
[备选理由] 例 1 考查复数和概率的综合;例 2、例 3 巩固 复数的算法和几何意义;例 4 是一道复数和三角、集合综合的 题. 例1
投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 m 和 n, )

则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为( 1 1 A. B. 3 4 1 1 C. D. 6 12

[答案] C

第66讲 │ 备用例题
[解析] 因为(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i 为实数,所

以 n2=m2,即 m=n.则可以取 1、2、6,共 6 种可能,所以 P= 6 1 = . C1· 6 6 C1 6

第66讲 │ 备用例题
例 2 2-i [2011· 山东卷] 复数 z= (i 为虚数单位)在复平面 2+i ) B.第二象限 D.第四象限

内对应的点所在象限为( A.第一象限 C.第三象限

[答案] D

第66讲 │ 备用例题
[解析]
?3 2-i ?2-i?2 3-4i 3 4 4? z= = = = - i, 又点?5,-5? 2+i ?2+i??2-i? 4+1 5 5 ? ?

在第四象限,所以该复数在复平面内对应的点也在第四象限.

第66讲 │ 备用例题
例 3 [2010· 浙江卷] 对任意复数 z=x+yi(x,y∈R),i 为 ) B.z2=x2+y2

虚数单位,下列结论正确的是( A.|z- z |=2y

C.|z- z |≥2x D.|z|≤|x|+|y|

[答案] D

[解析]

|z|= x2+y2= ?|x|+|y|?2-2|x||y|≤|x|+|y|.

第66讲 │ 备用例题
例4 ( ) 1 1 A. B. 4 2 C.1 D.2 3+i 已知复数 z= z 2,z 是 z 的共轭复数,则 z· = ?1- 3i?

[答案] A

第66讲 │ 备用例题
[解析] 3+i 3+i 3+i 1 1 z= = =- × =- ( 3 2 1+ 3i 8 ?1- 3i?2 -2-2 3i

1 +i)(1- 3i)=- ( 3-i). 4 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? z· =?-4? 3-i??·-4? 3+i??= .应选 A. z ? ? ? ? 4
? 3+i ? | 3+i| 2 1 ? ? 另解:由|z|=? 2?= 2= 2= ,可得 2 2 ??1- 3i? ? |1- 3i|

z· =|z|2 z

1 = .应选 A. 4

第67讲 │ 合情推理与演绎推理

第67讲 合情推理与演绎推理

第67讲 │ 考纲要求 考纲要求
1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的 推理,了解合情推理在数学发现中的作用. 2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并 能运用它们进行简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

第67讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.推理的概念 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断, 这种思维方式 叫推理.从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知

前提 的事实(或假设),叫做______,一部分是由已知推出的判断,叫
做______. 结论 2.合情推理 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行

合情推理 归纳、类比,然后提出猜想的推理叫__________.合情推理可 归纳推理 类比推理 分为__________和__________两类.

第67讲 │ 知识梳理
部分对象 (1)归纳推理:由某类事物的__________具有某些特征, 全部对象 推出该类事物的__________具有这些特征的推理,或者由个
别事实概括出一般结论的推理,叫归纳推理.简言之,归纳 部分 整体 个别 一般 推理是由______到______、由______到______的推理. (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类 对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推 特殊 特殊 理,叫类比推理.简言之,类比推理是由______到______的 推理.

第67讲 │ 知识梳理
3.演绎推理 (1)定义: 从一般性的真命题(原理或逻辑规则)出发, 推出某 个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理,简言之,演绎推理是 由______到______的推理. 一般 特殊 (2)三段论:三段论是演绎推理的一般模式,它包括:

大前提 ①________——已知的一般原理;
②________——所研究的特殊情况; 小前提 结论 ③______——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.

第67讲 │ 问题思考 问题思考
? 问题 1 命题“有些有理数是无限循环小数, 整数是 ) 有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的 原因是使用了类比推理.(

[答案]错
[解析] 大前提是特指命题,而小前提是全称命题,使用 了“三段论”,但大前提错误.

第67讲 │ 问题思考
? 适.( 问题 2 ) 三角形与空间的平行六面体作为类比对象较合

[答案]错
[解析] 不是三角形,应该是平行四边形.因为平行六面体 相对的两个面互相平行,类比平面图形,则相对的两条边互相 平行.

第67讲 │ 问题思考
? 4 问题 3 2 2+ =2 3 b 6+a=6 2 , 3 3 3+ =3 8 3 , 8 4 4+ = 15

4 ,?, 15 )

b a(a,b 均为实数),则可以推测 a=35,

b=6.(

[答案] 对

[解析] 观察发现规律即可得出.

第67讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 归纳推理 例 1 观察下列等式:
C1+C5=23-2, 5 5 C1+C5+C9=27+23, 9 9 9 C1 +C5 +C9 +C13=211-25, 13 13 13 13 C1 +C5 +C9 +C13+C17=215+27, 17 17 17 17 17 ?? 由以上等式推测到一个一般的结论 : 对 于 n ∈ N* , C 1 +1 + C 5 +1 + C 9 +1 + ? + C 4n+1 = 4n 4n 4n 4n+1 ________.

第67讲 │ 要点探究
[思路] 右边由二项构成, 第二项前有(-1)n, 再对上标数字 变化情况进行归纳分析,发现规律,得出结论.

[答案]24n-1+(-1)n22n-1

第67讲 │ 要点探究
[解析] 给出的一系列等式中,右边为两项 2s 形式加减轮换 的规律,其中第一个 2s 的指数由 3,7,11,?,4n-1 构成,第二 个 2s 的指数由 1,3,5,7,?,2n-1 构成.由此可归纳为: 第二项前有(-1)n,二项指数分别为 24n-1,22n-1,所以,对 于 n∈N*,C1 +1+C5 +1+C9 +1+?+C4n+1=24n-1+(-1)n22n- 4n 4n 4n 4n+1 1 . [点评] 应用归纳推理解题时:一是要通过观察个别情况

发现某些相同的性质; 二是要从已知的相同性质中推出一个明 确表述的一般性命题(猜想).

第67讲 │ 要点探究
变式题 A.3125 (1)[2011· 江西卷] 观察下列各式:55 =3125,56 = ) B.5625 C.0625

15625,57=78125,?,则 52011 的末四位数字为(

D.8125 x (2)[2011· 山东卷] 设函数 f(x)= (x>0),观察: x+2 x f1(x)=f(x)= , x+2 x f2(x)=f(f1(x))= , 3x+4 x f3(x)=f(f2(x))= , 7x+8

第67讲 │ 要点探究
x f4(x)=f(f3(x))= , 15x+16 ?? 根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=________. (3)[2011· 陕西卷] 观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 照此规律,第 n 个等式为_________________.

第67讲 │ 要点探究
x [答案](1)D (2) n ?2 -1?x+2n -2)=(2n-1)2

(3)n+(n+1)+(n+2)+?+(3n

[解析] (1)∵55 =3125,56 =15625,57 =78125,58 =390625,59 =1953125,510=9765625,?, ∴5n(n∈Z 且 n≥5)的末四位数字呈周期性变化, 且最小正 周期为 4, 记 5n(n∈Z 且 n≥5)的末四位数为 f(n),则 f(2011)= f(501×4+7)=f(7), ∴52011 与 57 的末四位数相同,均为 8125.故选 D.

第67讲 │ 要点探究
(2)观察 1,3,7,15,?,与对应项的关系,显然满足 2n-1, 观察 2,4,8,16,?与对应项的关系,显然满足 2n ,故 fn(x)= x . ?2n-1?x+2n (3)由每一行分析发现规律是以后每一个数都比前一个数 大 1,再对每一行的第一个数分析找规律为以后每一个数都比 前一个数大 1,对每一行的最后一个数分析找规律为 1,4,7,10,?,(3n-2),对结果找规律为 12,32,52,?,(2n-1)2, 所以第 n 个等式为 n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2.

第67讲 │ 要点探究
? 探究点2 类比推理

例 2 根据两类不同事物之间具有类似(或一致)性,推测其 中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理,叫 做类比推理.请用类比推理完成下表:

第67讲 │ 要点探究
[思路] 将平面类比到空间,将三角形类比到四面体,从方 法的类比入手.

[答案]正四面体内任意一点到四个面的距离之和等于定值, 这个定值就是正四面体的高
[解析] 根据提供的几个结论, 我们可以将等边三角形与正 四面体类比,等边三角形的三边与正四面体的四个面类比:等 边三角形的高与正四面体的高类比,于是可以得到如下结论: 正四面体内任意一点到四个面的距离之和等于定值, 这个定值 就是正四面体的高.

第67讲 │ 要点探究
[点评] 类比推理是根据两个对象有一部分属性类似, 推出这 两个对象其他属性亦类似的一种推理方法.例如分式与分数类 比、平面几何与立体几何的某些对象类比等.当然类比时有能出 现错误,如:在平面内,三条直线 a、b、c,若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c;在空间中,三个平面 α、β、r,若 α⊥β,β⊥r,则 α 与 r 之间可能平行,也可能相交.

第67讲 │ 要点探究
变式题 1 (1)已知正三角形内切圆的半径是高的 ,把这个结 3

论推广到空间正四面体,类似的结论是___________. (2)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个, 如 两组对边分别平行.类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六 面体的两个充要条件: 充 要 条 件 ① : ______________ ; 充 要 条 件 ② : __________________. 1 [答案](1)正四面体内切球的半径是高的 4 (2)①三组对面分别平行 ②两组对面分别平行且全等

第67讲 │ 要点探究
1 1 [解析] (1)原问题的解法为等面积法,即 S= ah=3× ar?r 2 2 1 1 1 1 = h,类比问题的解法应为等体积法,V= Sh=4× Sr?r= h, 3 3 3 4 1 即正四面体的内切球的半径是高的 . 4 (2)两组对边分别平行类比可得三组对面分别平行. 一组对边 平行且相等类比可得两组对面分别平行且全等.

第67讲 │ 要点探究
? 探究点3
例3

演绎推理

(1)证明函数 f(x)=-x2+2x 在(-∞, 1]上是增函数;

(2)当 x∈[-5,-2]时,f(x)是增函数还是减函数?

[思路] (1)证明本题的大前提是增函数的定义,即增函数 f(x)满足: 在给定区间内任取自变量的两个值 x1, 2 有 x1<x2, x 有 f(x1)<f(x2),小前提是函数 f(x)=-x2+2x,x∈(-∞,1] 满足增函数定义. (2)关键是看[-5,-2]与 f(x)的增区间或减区间的关系.

第67讲 │ 要点探究
[解答] (1)方法一:任取 x1,x2∈(-∞,1],x1<x2. 则 f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x2+x1-2), ∵x1<x2≤1,∴x2+x1-2<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2). 于是,根据“三段论”可知, f(x)=-x2+2x 在(-∞,1]上是增函数. 方法二: ∵f′(x)=-2x+2=-2(x-1),当 x∈(-∞,1)时,x-1<0, ∴-2(x-1)>0,∴f′(x)>0 在(-∞,1)上恒成立. 故 f(x)在(-∞,1]上是增函数. (2)∵f(x)在(-∞,1]上是增函数,而[-5,-2]是区间(-∞, 1]的子区间,∴f(x)在[-5,-2]上是增函数.

第67讲 │ 要点探究
[点评] 三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是:若集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的子集,那么 S 所有元素都 具有性质 P.三段论推理中包含三判断:第一个判断叫大前提,它 给出了一个一般性原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特 殊情况;这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内 在联系,从而产生了第三个判断:结论.

第67讲 │ 要点探究
(1)某校对文明班的评选设计了 a,b,c,d,e 五 a c 1 个方面的多元评价指标, 并通过经验公式 S=b+d+e 来计算各 班的综合得分,S 的值越高,则评价效果越好.若某班在自测 过程中各项指标显示出 0<c<d<e<b<a,则下阶段要把其中一个 指标的值增加 1 个单位,而使 S 的值增加最多,那么该指标应 为________(填入 a,b,c,d,e 中的某个字母). 变式题

第67讲 │ 要点探究
(2)用三段论的形式写出下列演绎推理. ①若两角是对顶角,则该两角相等,所以若两角不相等, 则该两角不是对顶角; ②矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以正方形的对角 线相等; ③0.332是有理数; ④y=sinx(x∈R)是周期函数.
· ·

第67讲 │ 要点探究
[答案] (1)c
[解析] 因 a,b,c,d,e 都为正数,故分子越大或分母越 小时,S 值越大,而在分子都增加 1 的前提下,分母越小时,S 的值增长越多, ∵0<c<d<e<b<a,所以 c 增大 1 个单位会使得 S 的值增加 最多.

第67讲 │ 要点探究
(2)[解答] ①两个角是对顶角,则两角相等. ∠1 和∠2 不相等, ∠1 和∠2 不是对顶角. ②每个矩形的对角线相等, 正方形是矩形, 正方形的对角线相等. ③所有的循环小数是有理数, ·· · 0.332是循环小数,

第67讲 │ 要点探究
·· · 所以 0.332是有理数. ④三角函数是周期函数, y=sinx 是三角函数, y=sinx 是周期函数.

第67讲 │ 规律总结 规律总结
1.归纳推理 归纳推理的难点是由个别事实得到一般结论,破解的方法是 充分考虑这部分结果提供的信息,从中发现一般规律,解题的一 般步骤是: (1)对有限的资料进行观察、分析、归纳整理; (2)提出带有规律性的结论,即猜想; (3)检验猜想.

第67讲 │ 规律总结
2.类比推理 类比推理的难点是发现两类对象的相似特征,由其中一类对 象的特征得出另一类对象的特征,破解的方法是利用已经掌握的 数学知识,分析两类对象之间的关系,通过两类对象的已知的相 似特征得出所需要的相似特征,其一般的步骤是: (1)找出两类对象之间可以确切表达的相似性(或一致); (2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得到一 个猜想; (3)验证猜想.

第67讲 │ 规律总结
3.合情推理与演绎推理的区别 (1)归纳是由特殊到一般的推理; (2)类比是由特殊到特殊的推理; (3)演绎推理是由一般到特殊的推理. 从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明; 演绎推理得到的结论一定正确.演绎推理是证明数学结论、建立 数学体系的重要思维过程,是证明数学问题的基本推理形式. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.也就是说, 在具体问题中,常用合情推理猜测发现结论,而利用演绎推理去 验证或证明发现的结论.

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[热点十三] 合情推理的方法与技巧

例[2011· 湖北卷] 给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白 色.当 n≤4 时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻 .... 的着色方案如图 67-1 所示:

图 67-1

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由此推断,当 n=6 时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有 .... ________ 种 , 至 少 有 两 个 黑 色 正 方 形 相 邻 的 着 色 方 案 共 有 ________种.(结果用数值表示)

[答案] 21

43

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[规范解答] 当 n=6 时,当没有黑色的正方形时,有 1 种方 案; 当有一个黑色的正方形时,有 6 种方案; 当有两个黑色正方形时,采用插空法,即两个黑色正方形插 入四个白色正方形形成的 5 个空内,有 C2=10 种方案; 5
3 当有三个黑色正方形时,同上方法有 C4=4 种方案;

由图可知不可能有 4 个、5 个、6 个黑色正方形. 综上可知共有 21 种方案.

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将 6 个正方形空格涂黑白两种颜色, 每个空格都有两种方案, 由分步计数原理知共有 26 种方案,本问所求事件是第一空的对立 事件,故至少有两个黑色正方形相邻的方案有 26-21=43 种, 故答案应填写:21;43.

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[信息提炼] 第一步: n=6 时, 当 分别计算没有黑色的正方形 和有 1 个黑色的正方形时的方案数目; 第二步:当有两个黑色正方形时,采用插空法计算方案的数 目; 第三步:当有三个黑色正方形时,采用插空法计算方案的数 目; 第四步:根据分类计数原理求和; 第五步:根据对立事件计算第二空的数值; 第六步:归纳总结.

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[方法剖析] 归纳推理的一般步骤是:首先通过观察个别情况 发现某些相同性质;其次从已知的相同性质中推出一个明确表达 的一般性命题.归纳推理的关键是合乎情理,要充分利用数学知 识, 对推理过程和结论进行适当的调整, 使得推理具有可靠性. 难 点主要在于观察、分析及在此基础上的猜想能力,有些习题规律 明显,而有些则不明显,对于几何习题,一般情况下,既可以从 数字角度寻找规律,也可以从几何图形角度出发,当然应该侧重 于后者. 突破难点的重要途径就是加强训练,在训练中积累经验,同 时提升观察、分析的方法及技巧.

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自我检评先阅读下面结论的证明,再解决后面的问题: 1 已知 a1,a2∈R,a1+a2=1,求证:a2+a2≥ . 1 2 2 证明:构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2, f(x)=2x2-2(a1+a2)x+a2+a2=2x2-2x+a2+a2. 1 2 1 2 因为对一切 x∈R,恒有 f(x)≥0, 1 所以 Δ=4-8(a2+a2)≤0,从而 a2+a2≥ . 1 2 1 2 2 (1)若 a1,a2,a3,?,an∈R,a1+a2+?+an=1,试写出上 述结论的推广式; (2)参考上述证法,对你推广的结论加以证明.

第67讲 │ 热点链接
[解答] (1)若 a1,a2,a3,?,an∈R,a1+a2+?+an=1. 1 2 2 2 求证:a1+a2+?+an≥n. (2)证明:构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+?+(x-an)2 =nx2-2(a1+a2+?+an)x+a2+a2+?+a2 1 2 n =nx2-2x+a2+a2+?+a2 , 1 2 n ∵对一切 x∈R 恒有 f(x)≥0, ∴Δ=4-4n(a2+a2+?+a2 )≤0, 1 2 n 1 2 2 2 ∴a1+a2+?+an≥n.

第67讲 │ 备用例题
备用例题
例1 若平面上 n 个圆最多把平面分成 f(n)个区域,则 n+ )

1 个圆最多把平面分成区域的个数为( A.f(n)+n+1 B.f(n)+2n C.f(n)+2n-2 D.f(n)+2n+2

[答案] B

第67讲 │ 备用例题
[解析] 由于 f(n)表示 n 个圆把平面分割成的区域数,那么

再有一个圆和这 n 个圆相交,则有 2n 个交点,这些交点将增加 的这个圆分成 2n 段弧且每一段弧又将原来的平面区域一分为 二,因此,增加一个圆后,平面分成的区域数增加 2n 个,即 f(n +1)=f(n)+2n,且 f(1)=2.

第67讲 │ 备用例题
例2 已知数列{an},ai∈{-1,0,1}(i=1,2,3,?,2012),若 )

a1+a2+?+a2012=11,且(a1+1)2+(a2+1)2+?+(a2012+1)2= 2099,则 a1,a2,?,a2012 中是 1 的个数为( A.36 B.37 C.38 D.39

[答案]C
[解析] 设 1 的个数有 x 个, 根据 a1+a2+?+a2012=11,

则-1 的个数为 x-11 个,0 的个数为 2012-2x+11=2023- 2x.由(a1+1)2+(a2+1)2+?+(a2012+1)2=2099,得 4x+2023 -2x=2099,解得 x=38.

第67讲 │ 备用例题
例3 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 已知数列: , , , , , , , , , ,?,依 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 )

它的前 10 项的规律,这个数列的第 2012 项 a2012 满足( 1 1 A.0<a2012< B. ≤a2012<1 10 10 C.1≤a2012≤10 D.a2012>10

[答案] A

第67讲 │ 备用例题
1 2 1 [解析] 这个数列按如下规则分组:第一组 ;第二组 , ;第 1 1 2 n-r+1 3 2 1 n n-1 n-2 1 三组 , , ;?;第 n 组 , , ,?, ,?,n. r 1 2 3 1 2 3 n?n+1? 由不等式 <2012,即 n(n+1)<4024,得 n≤62,且当 n=62 2 n?n+1? 时, =1953,2012-1953=59,即 a2012 是上述分组中的第 63 2 63-59+1 5 1 组的第 59 个数,即 a2012= = ,故 0<a2012< . 59 59 10

第67讲 │ 备用例题
例 4 用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与正

五边形数组,其排列的规律如下图所示:

第67讲 │ 备用例题
已知 m 个钢珠恰好可以排成每边 n 个钢珠的正三角形数组 与正方形数组各一个;且知若用这 m 个钢珠去排成每边 n 个钢 珠的正五边形数组时,就会多出 9 个钢珠,则 m=________.

[答案] 126

第67讲 │ 备用例题
n?n+1? [解析] 每边 n 个钢珠的正三角形数组需要钢珠 个,每 2 n?n+1? 2 边 n 个钢珠的正方形数组需要钢珠 n 个,根据已知 +n2= 2 m.每边 n 个钢珠的正五边形数组需要钢珠 an 个,根据组成规律, 则 an + 1 =an +3n+1 且 a1 =1,根据这个递推式解得 an =1+ ?3n+2??n-1? ?3n+2??n-1? n?n+1? ,根据已知 1+ +9=m.所以 + 2 2 2 ?3n+2??n-1? 9×10 2 n =10+ ,解得 n=9,所以 m= +92=126. 2 2

第68讲 │ 数学证明

第68讲

数学证明

第68讲 │ 考纲要求 考纲要求
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了 解分析法和综合法的思考过程、特点. 2.了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法 的思考过程、特点. 3.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单 的数学命题.

第68讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.直接证明 直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫 直接证明.直接证明有两种基本方法——综合法和分析法. (1)综合法:是由原因推导到结果的证明方法,它是利用已 推理论证 知条件和某些数学定义、 公理、 定理等, 经过一系列的________,

成立 最后推导出所要证明的结论________的证明方法.
用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示 所要证明的结论,则综合法可用框图表示为

第68讲 │ 知识梳理

要证明的结论 (2)分析法:是从______________出发,逐步寻求使每一 充分条件 步结论成立的__________,直到最后把要证明的结论归结为
判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、公理、定理等) 为止的证明方法. 用 Q 表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为

第68讲 │ 知识梳理

(3)综合法与分析法的辩证关系:在解决问题时,常常用分 析法寻找解题思想方法,而用综合法展现解决问题的过程,即 综合分析法. 2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是 一种常用的间接证明方法.

不成立 (1)反证法的定义:一般地,假设原命题的结论________, 矛盾 经过正确的推理,最后得出______,由此说明假设错误,从而证
明了原命题成立,这样的方法叫反证法.

第68讲 │ 知识梳理
(2)用反证法证明的一般步骤: (1)反设——假设命题的结论 不成立; (2)归谬——根据假设进行推理, 直到推理出矛盾为止; (3)结论——断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立. 说明:反证法的证明过程可以概括为“否定——推理—— 否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾, 从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用反证法证明命题 “若 p,则 q”的过程可以用下面所示的框图表示.

第68讲 │ 知识梳理
3.数学归纳法 (1)概念: 设命题 p(n)是与正整数 n 有关的命题, 如果满足: ①? n0∈N*,命题 p(n0)成立; ②当假设命题 p(k)(k∈N*,k≥n0)成立时,可以推出命题 p(k+1)也成立. 那么,可以断定命题 p(n)对一切满足 n≥n0 的正整数 n 成 立. (2)数学归纳法的适用对象:

正整数n 数学归纳法是用来证明关于与________有关命题的一种方 最小正 法,若 n0 是起始值,则 n0 是使命题成立的________整数.

第68讲 │ 知识梳理
(3)数学归纳法证题的步骤:

n0 ①归纳奠基: 证明当 n 取第一个值________时, 命题成立; n=k(k≥n0,k∈N*) ②归纳递推:假设 时,命题成
立,证明当 n=k+1 时命题也成立;

n≥n0,且 n∈N* 时, ③归纳总结:根据①②可知,当
命题成立.

第68讲 │ 问题思考 问题思考
? 盾.( 问题 1 ) 反证法就是将结论与条件同时否定, 推出矛

[答案]错

[解析] 反证法是肯定条件,否定结论,推出矛盾.

第68讲 │ 问题思考
? 问题 2 综合法是执果索因的逆推证法.( )

[答案]错

[解析] 综合法是由因导果的顺推证法.

第68讲 │ 问题思考
? 问题 3 在解决问题时,常常用分析法寻找解题思想方 ) 法,而用综合法展现解决问题的过程.(

[答案] 对

[解析] 这是由两种方法的特点决定的.

第68讲 │ 问题思考
? 问题 4 证明不等式 2+ 7< 3+ 6的最适合的方法是 )

间接证法.(

[答案] 错

[解析] 最适合的方法是分析法.

第68讲 │ 问题思考
? 问题 5 用反证法证明结论“a>b”时, 应假设“a<b”. ( )

[答案] 错

[解析] 应假设:a<b 或 a=b.

第68讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1
例1

综合法与分析法证明数学命题

设 a、b 是非负实数.求证:a3+b3≥ ab(a2+b2).

[思路] 运用作差法或直接运用基本不等式证明.

第68讲 │ 要点探究
[解答] 证明:方法一(直接作差): 由 a、b 是非负实数,作差得 a3+b3- ab(a2+b2)=a2 a( a- b)+b2 b( b- a) =( a- b)[( a)5-( b)5]. 当 a≥b 时, a≥ b,从而( a)5≥( b)5, 得( a- b)[( a)5-( b)5]≥0. 当 a<b 时, a< b,从而( a)5<( b)5, 得( a- b)[( a)5-( b)5]>0. 所以 a3+b3≥ ab(a2+b2),

第68讲 │ 要点探究
方法二(平方后作差): (a3 + b3)2 - [ ab (a2 + b2)]2 = a6 + b6 + 2a3b3 - (a5b + ab5 + 2a3b3) =a6-a5b+b6-ab5=a5(a-b)-b5(a-b) =(a-b)(a5-b5). 因为 a、b 是非负实数, (1)当 a≥b 时,a-b≥0,a5-b5≥0,(a-b)(a5-b5)≥0. (2)当 a<b 时,a-b<0,a5-b5<0,(a-b)(a5-b5)>0. 综合(1)(2)可知,a3+b3≥ ab(a2+b2).

第68讲 │ 要点探究
方法三(基本不等式法): ∵a≥0,b≥0,∴a+b≥2 ab,a2-ab+b2≥0, ∴a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥2 ab(a2-ab+b2) = ab(2a2-2ab+2b2)= ab[(a2+b2)+(a-b)2] ≥ ab(a2+b2), 即 a3+b3≥ ab(a2+b2).

第68讲 │ 要点探究
[点评] 综合法是一种由因导果的证明方法,其逻辑依据是 三段论式的演绎推理方法.综合法的实质是揭示出条件与结论 之间的因果关系,为此要着力分析已知和求证之间的差异和联 系、不等式左右两端的差异和联系,并合理应用已知条件进行 有效的变换,这是用综合法证题的关键. 当要证明的不等式较复杂,两端的差异难以消除或者已知 条件信息太小不知如何下手时,适时运用分析法会使问题容易 获得解决.

第68讲 │ 要点探究
? ? a +?b? ? ? 例 2 (1)已知非零向量 a,b,且 a⊥b.求证: ≤ 2. |a+b| ax2ex (2)求证:当 a≥1 时,不等式 ex-x-1≤ 对于 x∈[0, 2 ? ? ? ? ? ?

+∞)恒成立.

(1)[思路] a⊥b?a· b=0. 同时注意 a2=|a|2,将要证式子变形平方即可获证.

第68讲 │ 要点探究
[解答] 证明:∵a⊥b,∴a· b=0. |a|+|b| 要证 ≤ 2,只需证|a|+|b|≤ 2|a+b|, |a+b| 即证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2(a2+2a· b+b2), 即证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2b2, 即证|a|2+|b|2-2|a||b|≥0, 也就是证(|a|-|b|)2≥0. 而上式显然成立,故原不等式成立.

第68讲 │ 要点探究
(2)[思路] 利用分析法寻找解题思路,用综合法加以证明: 构造函数,判定函数在[0,+∞)上的单调性.

ax2ex [解答] 证明:要证 ex-x-1≤ 成立, 2 ax2ex 只需证 ex≤ +x+1, 2 a 2 x+1 即只需证 x + x ≥1.(*) 2 e a 2 x+1 令 f(x)= x + x , 2 e

第68讲 │ 要点探究
? 1·x-?x+1?ex e -x 1? 求导,得 f′(x)=ax+ =ax+ x =x?a-ex?. x 2 e ?e ? ? ?

∵a≥1,x∈[0,+∞),∴f′(x)≥0,∴f(x)是增函数. 故 f(x)≥f(0)=1,从而(*)式得证, ax2ex 所以,当 a≥1 时,不等式 ex-x-1≤ 对于 x∈[0,+ 2 ∞)恒成立.

第68讲 │ 要点探究
[点评] 有些数学证明题,单独运用一种证明方法很难或无 法完成,此时要善于将多种证明方法混合使用,常常用分析法 寻找解题思路,用综合法加以证明.本题通过对原不等式进行 等价变形,找到了便于证明的不等式,然后构造函数证明不等 式,综合运用了分析法、综合法和构造法.

第68讲 │ 要点探究
变式题 请先阅读:在等式 cos2x=2cos2x-1(x∈R)

的两边求导,得:(cos2x)′=(2cos2x-1)′,由求导法则, 得 ( - sin2x)· = 4cosx·- sinx) , 化 简 得 等 式 : sin2x = 2 ( 2cosx· sinx. (1)利用上题的想法(或其他方法),试由等式(1+x)n= C0 +C1 x+C2 x2+?+Cnxn(x∈R, 正整数 n≥2), 证明 n[(1 n n n n +x)
n -1 k k-1 -1]= kCnx . k=2

?

n

第68讲 │ 要点探究
(2)对于正整数 n≥3,求证: ① ? (-1)
k= 1 n 1 1 k 2 -1 ③? Cn= . n+1 k=0 k+1 n


n

k

kCk =0; n

② ? (-1)kk2Ck =0; n
k= 1

n

第68讲 │ 要点探究
[解答] 证明:(1)在等式(1+x)n=C0 +C1 x+C2 x2+?+Cn n n n n xn 两边对 x 求导得 n(1+x)n-1=C1 +2C2 x+?+(n-1)Cn-1xn-2+nCnxn-1, n n n n 移项得 n[(1+x)
n-1

-1]= ?kCk xk-1(*). n
k= 2 n

n

(2)①在(*)式中,令 x=-1,整理得 ? (-1)k 1kCk =0, n


k= 1 n

所以 ? (-1)kkCk =0. n
k= 1

第68讲 │ 要点探究
②由(1)知 n(1+x)n-1=C1 +2C2 x+?+(n-1)Cn-1xn-2+ n n n nCnxn 1,n≥3, n 两边对 x 求导,得 n(n-1)(1+x)n 2=2C2 +3· 3 x+?+ 2Cn n n(n-1)Cnxn 2. n 在上式中,令 x=-1, 得 0=2C2 +3· 3 (-1)+?+n(n-1)Cn(-1)n-2, 2Cn n n 即 ?k(k-1)Ck (-1)k-2=0, n
k= 2 n n
- - -

即 ?k(k-1)Ck (-1)k-2=0, n
k= 1

第68讲 │ 要点探究
亦即 ? (-1)k(k2-k)Ck =0, n
k= 1 n n

又由①知 ? (-1)kkCk =0. n
k= 1 n

两式相加得 ? (-1)kk2Ck =0. n
k= 1

③将等式(1+x)n=C0 +C1 x+C2 x2+?+Cnxn 两边在[0,1] n n n n 上对 x 积分,
?1 ? ? ?

(1+x)ndx=?1(C0 +C1 x+C2 x2+?+Cnxn)dx. ? n n n n ?
?

0

0

第68讲 │ 要点探究
1 1 ? n+1? 由微积分基本定理,得 (1+x) ?0 = ? n+1

? n 1 k k+1??1 ?? Cnx ?? , ? ?k=0 k+1 ??0 ? ?
n+ 1 1 k 2 -1 所以 ? C= . k+1 n n+1 k=0 n

第68讲 │ 要点探究
? 探究点2 反证法证明数学命题

例 3 已知 a,b,c 是互不相等的实数. 求证:由 y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax +b 确定的三条抛物线至少有一条与 x 轴有两个不同的交点.

[思路] 利用反证法, 否定命题的结论→利用 Δ≤0→同向 不等式求和→推出矛盾→得结论.

第68讲 │ 要点探究
[解答] 证明: 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与 x 有两个不同的交点(即任何一条抛物线与 x 轴没有两个不同的交 点),由 y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b 得 Δ1=(2b)2-4ac≤0, Δ2=(2c)2-4ab≤0, Δ3=(2a)2-4bc≤0. 同向不等式求和得, 4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,

第68讲 │ 要点探究
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0, ∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0, ∴a=b=c,这与题设 a,b,c 互不相等矛盾, 因此假设不成立,从而命题得证.

第68讲 │ 要点探究
[点评] 一般以下题型用反证法: ①当“结论”的反面比“结 论”本身更简单、更具体、更明确;②否定性命题、唯一性命题、 存在性命题、“至多”“至少”型命题;③有的肯定形式命题, 由于已知或结论涉及无限个元素,用直接证明比较困难,往往用 反证法.

第68讲 │ 要点探究
变式题 (1)设数列{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前

n 项和,证明:数列{Sn}不是等比数列. (2)设 a,b 为非零向量,且 a,b 不平行,求证:a+b 与 a -b 不平行.

第68讲 │ 要点探究
[解答] 证明:(1)若{Sn}是等比数列,则 S2=S1S3,即 a2(1+ 2 1 q)2=a1· 1(1+q+q2). a ∵a1≠0,∴(1+q)2=1+q+q2,即 q=0,这与 q≠0 矛盾. 故{Sn}不是等比数列. (2)假设 a+b 与 a-b 平行, 即存在实数 λ, a+b=λ(a-b), 使 则(1-λ)a+(1+λ)b=0, ∵a,b
?1-λ=0, ? 不平行,∴? ?1+λ=0, ?

因方程组无解,故假设不成立, 即原命题成立.

第68讲 │ 要点探究
? 探究点3
例4

数学归纳法证明数学命题

[2011· 湖南卷] 已知函数 f(x)=x3,g(x)=x+ x.

(1)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由; (2)设数列{an}(n∈N*)满足 a1=a(a>0),f(an+1)=g(an),证 明:存在常数 M,使得对于任意的 n∈N*,都有 an≤M.

[解答] (1)由 h(x)=x3-x- x知,x∈[0,+∞),而 h(0) =0,且 h(1)=-1<0,h(2)=6- 2>0,则 x=0 为 h(x)的一个 零点,且 h(x)在(1,2)内有零点.因此,h(x)至少有两个零点.

第68讲 │ 要点探究
1 1 1 1 2 解法一:h′(x)=3x -1- x- ,记 φ(x)=3x -1- x- , 2 2 2 2 1 3 则 φ′(x)=6x+ x- . 4 2
2

当 x∈(0,+∞)时,φ′(x)>0,因此 φ(x)在(0,+∞)上单调 递增,则 φ(x)在(0,+∞)内至多只有一个零点.又因为 φ(1)>0,
? φ? ? ? ? 3 ? 3? ? ? <0,则 φ(x)在? ,1?内有零点,所以 φ(x)在(0,+∞)内有 ? 3? ? ? 3 ?

且只有一个零点.记此零点为 x1,则当 x∈(0,x1)时,φ(x)<φ(x1) =0;当 x∈(x1,+∞)时,φ(x)>φ(x1)=0. 所以,当 x∈(0,x1)时,h(x)单调递减.而 h(0)=0,则 h(x) 在(0,x1]内无零点;

第68讲 │ 要点探究
当 x∈(x1,+∞)时,h(x)单调递增,则 h(x)在(x1,+∞)内至 多只有一个零点,从而 h(x)在(0,+∞)内至多只有一个零点. 综上所述,h(x)有且只有两个零点. 解法二:由
? 1? 2 h(x)=x?x -1-x-2?,记 ? ?

1 φ(x)=x -1-x- , 2
2

1 3 则 φ′(x)=2x+ x- . 2 2 当 x∈(0,+∞)时,φ′(x)>0,从而 φ(x)在(0,+∞)上单调 递增,则 φ(x)在(0,+∞)内至多只有一个零点.因此 h(x)在(0, +∞)内也至多只有一个零点. 综上所述,h(x)有且只有两个零点.

第68讲 │ 要点探究
(2)记 h(x)的正零点为 x0,即 x3=x0+ x0. 0 (i)当 a<x0 时,由 a1=a,即 a1<x0. 而 a3=a1+ a1<x0+ x0=x3,因此 a2<x0.由此猜测:an<x0. 2 0 下面用数学归纳法证明. ①当 n=1 时,a1<x0 显然成立. ②假设当 n=k(k≥1)时,ak<x0 成立, 则当 n=k+1 时,由 a3+1=ak+ ak<x0+ x0=x3知,ak+1<x0. k 0 因此,当 n=k+1 时,ak+1<x0 成立.

第68讲 │ 要点探究
故对任意的 n∈N*,an<x0 成立. (ii)当 a≥x0 时,由(1)知,h(x)在(x0,+∞)上单调递增,则 h(a)≥h(x0)=0, 即 a3≥a+ a.从而 a3=a1+ a1=a+ a≤a3, a2≤a.由此 即 2 猜测:an≤a.下面用数学归纳法证明. ①当 n=1 时,a1≤a 显然成立. ②假设当 n=k(k≥1)时,ak≤a 成立,则当 n=k+1 时,由 a3+1=ak+ ak≤a+ a≤a3 知,ak+1≤a. k 因此,当 n=k+1 时,ak+1≤a 成立. 故对任意的 n∈N*,an≤a 成立. 综上所述,存在常数 M=max{x0,a},使得对于任意的 n ∈N*,都有 an≤M.

第68讲 │ 要点探究
[点评] 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式(或不 等式)时,关键在于“先看项”,弄清式子两边的构成规律,式 子的两边各有多少项,项的多少与 n 的取值是否有关,由 n=k 到 n=k+1 时式子的两边变化的项,然后正确写出归纳证明的 步骤,使问题得以证明.数学归纳法的证明过程中,要把握好 两个关键之处:一是 f(n)与 n 的关系;二是 f(k)与 f(k+1)的关 系.

第68讲 │ 要点探究
变式题
+1

1 2 已知数列{an}满足: 1=- , n+(an+1+2)an+2an a a 2

+1=0. 求证:-1<an<0.

[解答] 证明:已知条件可化为(an+1+an)(an+2)+1=0, 1 即 an+1=-an- . an+2 ①当 n=1 时,-1<a1<0 成立; ②假设当 n=k(k≥1)时结论成立,即-1<ak<0, 1 那么当 n=k+1 时,ak+1=-(ak+2)- +2. ak+2

第68讲 │ 要点探究
1 ∵1<ak+2<2,又 y=t+ t 在 t∈(1,2)内为增函数, ? 5? 1 ∴ak+2+ ∈?2,2?, ak+2 ? ?
? 1 ? ∴ak+1∈?-2,0?,则-1<ak+1<0, ? ?

∴当 n=k+1 时结论也成立. 由①②知,对一切 n∈N*均有-1<an<0.

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[点评] 用数学归纳法证明不等式时,应分析 f(k)与 f(k+1) 的两个不等式,找出证明的关键点(一般要利用不等式的传递 性),然后再综合运用不等式证明的方法.

第68讲 │ 规律总结 规律总结
1.综合法证题的一般规律 用综合法证明命题时,必须首先找到正确的出发点,也就是 能想到从哪里起步,一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具 备的各种性质,逐层推进,从而由已知推出结论. 2.分析法证题的一般规律 分析法的思路是逆向思维,用分析法证题必须从结论出发, 逆向分析,寻找结论成立的充分条件.应用分析法证明问题时要 严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件.

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3.反证法证题的一般规律 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要 依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是:或者是 A,或者 是非 A.即在同一讨论过程中,A 和非 A 有且仅有一个是正确的, 不能有第三种情况出现. 4. 用数学归纳法证明数学命题时, 首先要明确首取值 n0 并验 证真假(必不可少),然后“假设 n=k(k≥n0)时命题正确”并写出 命题形式, 再分析“n=k+1 时”命题是什么, 并找出与“n=k” 时命题形式的差别,找准变形目标.掌握变形的常用方法:因式 分解、添拆项、配方、放缩等.用数学归纳法证题可明确为“两 个步骤、一个结论”,即递推基础不可少,归纳假设要用到,结 论写明莫忘掉.

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[热点十四] 如何选用数学证明的方法
1 2 ,bn= ,其中 n 4an 2an-1

例在数列{an}中,a1=1,an+1=1- ∈N*. (1)求证:数列{bn}是等差数列;

(2)求证:在数列{an}中,对于任意的 n∈N*都有 an+1<an; (3)设 cn=( 2)bn,试问数列{cn}中是否存在三项,它们可以构 成等差数列?如果存在,求出这三项;如果不存在,请说明理由.

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2 [规范解答] (1)因为 bn+1-bn= - 2an+1-1 2an-1 2 2 4an 2 = ? - = - 1 ? 2an-1 2an-1 2an-1 2?1-4a ?-1 ? n? =2(n∈N*). 所以数列{bn}是等差数列. (2)要证明 an+1<an,只要证 an+1-an<0. 2 ∵a1=1,∴b1= =2, 2a1-1 ∴bn=2+(n-1)× 2=2n. 2

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n+1 2 ∵bn= ,∴an= , 2n 2an-1 n+2 n+1 -1 ∴an+1-an= - = <0, 2n 2?n+1? 2n?n+1? ∴在数列{an}中,对于任意的 n∈N*,都有 an+1<an. (3)cn=( 2)bn=2n,设{cn}中存在三项 cm,cn,cp(m<n<p,m, n,p∈N*)成等差数列, 则 2·n=2m+2p, 2 ∴2n+1=2m+2p,2n-m+1=1+2p-m. ∵m<n<p,m,n,p∈N*,∴n-m+1,p-m∈N*,

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2n-m+1 为偶数,1+2p-m 为奇数, 2n-m+1 与 1+2p-m 不可能相等, ∴数列{cn}中不存在可以构成等差数列的三项.

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[信息提炼] 第一问: 要证明数列{bn}是等差数列, 选择定义法, 演绎推理. 第二问:要证明 an+1<an,只要证 an+1-an<0.先利用第一问求 出 bn=2n,再用比较法证明,演绎推理. 第三问:因为题型是存在性问题,所以选择假设存在三项 cm, cn,cp(m<n<p,m,n,p∈N*)成等差数列,最后导出矛盾.反证 法的思想.

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[方法剖析] 推理与证明贯穿整个高考的始终,解题过程处处 离不开分析与综合,推理论证要靠演绎推理完成,常常要在归纳 与类比推理、证明中的反证法、数学归纳法等方法中选择.在直 接证明中选择比较法、分析法、综合法.看题目的条件更适合哪 种方法.

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自我检评[2011· 奉化测试] 已知(x+1)n =a0 +a1(x-1)+a2(x -1)2+a3(x-1)3+?+an(x-1)n(n≥2,n∈N*). (1)当 n=5 时,求 a0+a1+a2+a3+a4+a5 的值; a2 (2)设 bn= n-3,Tn=b2+b3+b4+?+bn,证明:当 n≥2 时, 2 n?n+1??n-1? Tn= . 3

[解答] (1)当 n=5 时, 原等式变为(x+1)5 =a0 +a1(x-1)+a2(x-1)2 +a3(x-1)3 +a4(x-1)4+a5(x-1)5. 令 x=2 得 a0+a1+a2+a3+a4+a5=35=243.

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(2)证明:因为(x+1)n=[2+(x-1)]n, 所以 a2=C2 · n 2. n 2 a2 所以 bn= n-3=2C2 =n(n-1)(n≥2). n 2 2?2+1??2-1? ①当 n=2 时,T2=b2=2= 等式成立. 3 ②假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时,等式成立, k?k+1??k-1? 即 Tk= ,那么,当 n=k+1 时, 3


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k?k+1??k-1? Tk+1=Tk+bk+1= +(k+1)[(k+1)-1] 3 k?k+1??k-1? k?k+1??k+2? = +(k+1)k= 3 3 ?k+1?[?k+1?+1][?k+1?-1] = . 3 故当 n=k+1 时,等式成立. n?n+1??n-1? 综合①②可知,当 n≥2 时,Tn= . 3

第68讲 │ 备用例题
备用例题
[备选理由] 所选三道例题分别涉及综合法、分析法和反证 法证明相关问题.
a+b lga+lgb 证明:若 a,b>0,则 lg ≥ . 2 2

例1

第68讲 │ 备用例题
a+b [解答] 证明:当 a,b>0 时, ≥ ab, 2 a+b 两边取对数,得 lg ≥lg ab. 2 lg?ab? lga+lgb 又 lg ab= = . 2 2 a+b lga+lgb ∴当 a,b>0 时,lg ≥ . 2 2

第68讲 │ 备用例题
例2 ?a-b?2 a+b ?a-b?2 已知 a>b>0,求证: < - ab< . 8a 2 8b

?a-b?2 a+b ?a-b?2 [解答] 证明:欲证 < - ab< , 8a 2 8b ?a-b?2 ? a- b?2 ?a-b?2 ? 只需证 <? < . ? 8a 8b 2 ? ? ? a-b a- b a-b ∵a>b>0,∴只需证 < < , 2 2a 2 2 2b a+ b a+ b a+ b 即 <1< .欲证 <1, 2 a 2 b 2 a

第68讲 │ 备用例题
只需证 a+ b<2 a,即 b< a,该式显然成立. a+ b 欲证 1< , 2 b 只需证 2 b< a+ b,即 b< a,该式显然成立. a+ b a+ b ∴ <1< 成立,且以上各步均可逆. 2 a 2 b ?a-b?2 a+b ?a-b?2 ∴ < - ab< 成立. 8a 2 8b

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例3 x-2 已知 f(x)=a + (a>1), 证明方程 f(x)=0 没有负数根. x+1
x

[解答] 证明: 假设 x0 是 f(x)=0 的负数根, x0<0 且 x0≠ 则 x0-2 -1 且 ax0=- , x0+1 x0-2 1 ∵0<ax0<1?0<- <1,解得 <x0<2, 2 x0+1 这与 x0<0 矛盾, 故方程 f(x)=0 没有负数根.


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