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湖北省部分重点中学2013-2014学年上学期高二数学期中试卷 理 新人教A版


湖北省部分重点中学 2013—2014 学年度上学期高二期中考试 数 学 试 卷(理)
一、选择题 1、通过随机抽样用样本估计总体,下列说法正确的是( A.样本的结果就是总体的结果 B.样本容量越大,可能估计就越精确 C.样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态 D.数据的方差越大,说明数据越稳定 2、下图是用模拟方法估计圆周率 π 值的程序框图,P 表示估计结果,则图中空白框内应填入 ( ) ).

N 1000 4N (B) P ? 1000 M (C) P ? 1000 4M (D) P ? 1000
(A) P ?

3、已知 x 、 y 取值如下表:

x
y

0 1.3

1 1.8

4 5.6

5 6.1

6 7.4

8 9.3 )

? 从所得的散点图分析可知: y 与 x 线性相关,且 y ? 0.95x ? a ,则 a ? (
A.1.30
2

B.1.45

C.1.65

D.1.80

5? 4、函数 f ( x) ? 2 x ? x ? 1,x ? ? ?5, ,在定义域内任取一点 x0 ,使 f ( x0 ) ≤ 0 的概率是
-1-



). A.

3 20

B.

2 3

C.

3 10

D.

4 5

5、对学生进行某种体育测试,甲通过测试的概率为 P1 ,乙通过测试的概率为 P2 ,则甲、乙至 少 1 人通过测试的概率为( ) A. P1 ? P2 B. P1P2 C. 1 ? P1P2 D. 1 ? (1 ? P1 )(1 ? P2 ) 6、一个袋中装有 2 个红球和 2 个白球,现从袋中取出 1 球,然后放回袋中再取出一球,则取 出的两个球同色的概率是( A. 1 B. 1 ) C. 1 D. 2

4

3

2

5

7、将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A B,C 分别是 △GHI 三边的中点)得到几何体如 , 图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( )

H

A B I C

G
侧视

A B C D F
图2

B E
A.

B

B

B E

E F
图1

D

E

E

E
B. C.

D.

8、设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题:

①若



,则



②若





,则



③若



,则



④若 ? ? ? , ? ? ? ,则

? // ? .
其中正确命题的序号是 ( ). A.①和④ B.①和② C.③和④ D.②和③

-2 -

→ → ? 1 ? 9、 圆心为 C?- ,3?的圆与直线 l: x+2y-3=0 交于 P, 两点, 为坐标原点, Q O 且满足 O P ·O Q ? 2 ? =0,则圆 C 的方程为( ). 5 1 1 25 2 2 A. ( x ? ) 2 +(y-3) = B. ( x ? ) 2 +(y-3) = 2 2 2 2 25 ? 1?2 2 C.?x+ ? +(y-3) = 4 ? 2?
2

5 ? 1?2 2 D.?x+ ? +(y-3) = ? 2? 4
2

10、设 a, b 是方程 sin ? ? x ? cos? ? x ? 1 ? 0 的两个不等实根,那么过点 A(a , a )和 B(b , b )的直线与圆 x +y =1 的位置关系是( ) A、相离 B、相切 C、相交 D、随 θ 的值而变化 二、填空题 11、下图 l 是某校参加 2013 年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形表示的学生人 数依次记为 A1 、 A2 、…、 Am (如 A2 表示身高(单位: cm )在 ?150, ? 内的学生人数).图 2 155 是统计图 l 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在 160~ 180 cm (含 160 cm ,不含 180 cm )的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 _
2 2 2

12、书架上有 10 本不同的语文书,2 本不同的数学书,从中任意取出 2 本,能取出数学书的 概率为 。 13、甲,乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人 15 分钟, 过时即可离去,则两人能会面的概率为 。 14、将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,折后连结 BD,构成三棱锥 D-ABC,若棱 BD 的长为
2 a.则此时三棱锥 D-ABC 的体积是 2

-3-

15、设集合 A=?? x,y? ? ≤? ?2 ? ?

? ?

?m

x-2?

2

+y ≤m ,x,y∈R

2

2

? ? ? , B={(x, y)|2m≤x+ y≤2m ? ?

+1,x,y∈R},若 A∩B≠?,则实数 m 的取值范围是________.

三、解答题

16、 (本小题满分 12 分)某中学从参加高一年级上期期末 考试的学生中抽出 60 名学生, 将其成绩 (均为整数) 分成六段 ?40,50 ? ,?50,60 ? … ?90,100 ? 后 画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (Ⅰ)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格) ; (Ⅱ) 从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选一人,求选到第一名学生的概率(第一 名学生只一人).

17、 (本小题满分 12 分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5, 6)先后抛掷两次,将得到的点数分别记为 a, b . (Ⅰ)求直线 ax ? by ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 1 相切的概率;
2 2

(Ⅱ)将 a,b,5 的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率.

18、 (本小题满分 12 分)在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,设 E 是棱 CC1 的中点. ⑴ 求证: BD ? AE ;⑵ 求证: AC // 平面 B1DE ;⑶.求三棱锥 A ? B1DE 的体积.

-4-

19、 (本小题满分 12 分)如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 2 AB , N 是 CC1 的中 点, M 是线段 AB1 上的动点(与端点不重合) ,且 AM ? ?AB1 . (1)若 ? ?

1 ,求证: MN ? AA1 ; 2 (2)若直线 MN 与平面 ABN 所成角的大小为 ? ,求 sin ? 的最大值.

20、(13 分)已知圆 M:x +(y-2) =1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切圆 M 于 A,B 两点. (1)若 Q(1,0),求切线 QA,QB 的方程.(2)求四边形 QAMB 面积的最小值. 4 2 (3)若|AB|= ,求直线 MQ 的方程. 3

2

2

21(14 分).在 xOy 平面上有一系列的点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ),?, P n ( xn , yn ) ? , 对于正整数 1

n ,点 Pn 位于函数 y ? x 2 ( x ? 0) 的图像上,以点 Pn 为圆心的圆 Pn 与 x 轴相切,且圆 Pn 与圆
Pn+1 又彼此外切,若 x1 ? 1 ,且 xn ?1 ? xn . (1)求证:数列 ?

?1? ? 是等差数列; ? xn ?
S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n , 求证: Tn ?

(2)设圆 Pn 的面积为 S n , Tn ?

3 ? . 2

1、B 2、D 3B 4、A 5、D 11、 i ? 8 (或 i ? 7 )

答案(理) 6、C 7、A 8、B 9、C 10、B

12、

7 22

13、

7 16

14、

6 3 a 24

1 15、 ≤m≤2+ 2 2

16、解: (Ⅰ)依题意,60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组,
-5-

频率和为 (0.015 ? 0.03 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 0.75 , 所以,抽样学生成绩的合格率是 75 % . .............6 分 (Ⅱ) [70, 80) , [80, 90) , [90, 100] ”的人数是 18,15,3. ―――9 分 所以从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选一人, 选到第一名的概率 P ?

1 . .............12 分 36

17、解: (Ⅰ)先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b,事件总数为 6×6=36. 2 2 因为直线 ax+by+5=0 与圆 x +y =1 相切,所以有 5 ? 1 即:a2+b2=25,由于 a,b∈{1,2,3,4,5,6}. 2 2 a ?b 所以,满足条件的情况只有 a=3,b=4;或 a=4,b=3 两种情况. 所以,直线 ax+by+c=0 与圆 x +y =1 相切的概率是
2 2

2 1 ? 36 18

--------6 分

(Ⅱ)先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b,事件总数为 6×6=36. 因为,三角形的一边长为 5 所以,当 a=1 时,b=5, (1,5,5) 1种 当 a=2 时,b=5, (2,5,5) 1种 当 a=3 时,b=3,5, (3,3,5)(3,5,5) , 2种 当 a=4 时,b=4,5, (4,4,5)(4,5,5) , 2种 当 a=5 时,b=1,2,3,4,5,6, (5,1,5)(5,2,5)(5,3,5) , , , (5,4,5)(5,5,5)(5,6,5) , , 6种 当 a=6 时,b=5,6, (6,5,5)(6,6,5) , 2种 故满足条件的不同情况共有 14 种. 所以,三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为 18、

14 7 ? . 36 18

----------- 12 分

【证明】连接 BD,AE. 因四边形 ABCD 为正方形,故 BD ? AC , 因 EC ? 底面 ABCD, BD ? 面 ABCD,故 EC ? BD ,又 EC ? AC ? C , 故 BD ? 平面 AEC , AE ? 平面 AEC ,故 BD ? AE . ----------- 4 分 ⑵. 连接 AC1 ,设 AC1 ? B1D ? G ,连接 GE , 则 G 为 AC1 中点,而 E 为 C1C 的中点,故 GE 为三角形 ACC1 的中位线,

AC // GE , GE ? 平面 B1DE , AC ? 平面 B1DE ,故 AC // 平面 B1DE .----------- 8 分
⑶. 由⑵知,点 A 到平面 B1DE 的距离等于 C 到平面 B1DE 的距离,

-6-

故三棱锥 A ? B1DE 的体积 VA? B1DE ? VC ?B1DE ,

2 而 VC ?B DE ? VD?B CE ? 1 ? S B CE ? DC ? 1 ? ? 1 ?1? 2 ? ? 2 ? 2 ,三棱锥 A ? B1 DE 的体积为 .- 12 ? ? 1 1 1 3 3 3 ?2 3 ?
分 19、解析:设AB=1,以A原点,AB为x轴,AA1为z轴,建立空间直角系,则

1 3 B1 (1,0, 2), M (? ,0, 2? ), B(1,0,0), N ( , ,1), A1 (0,0, 2) …(1 分) 2 2
(1)当 ? ?

???? ???? ? 1 1 3 时, M ( ,0,1) ,此时 MN ? (0, ,0) , AA1 ? (0,0, 2) ,…(3 分) 2 2 2

???? ???? ? 因为 MN ? AA1 ? 0 ,所以 MN ? AA1 .………………(5 分)
(2)设平面 ABN 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 ?

?n ? AB ? 0 ? ?n ? AN ? 0 ?



?x ? 0 1 3 ? ,1 ? 2? ) ,………………(7 分) 即? 3 ,取 n ? (0,2, 3 ) 。而 MN ? ( ? ? , 2 2 y?z ?0 ? ? 2

?sin? ? cos? MN, n? ?

2 3? 7 ? 5? ? 5? ? 2
2

?

2 3 ?1? ?1? 7 ? 5 ? 5? ? ? 2? ? ??? ???
2

…………(9 分)
2

? 0 ? ? ? 1,?

1

?

? 1,故 sin ? ?

2 3 ?1? ?1? 7 ? 5 ? 5? ? ? 2? ? ??? ???

?

4 6 105

?

4 70 ………(11 分) 35

当且仅当

1

?

?

5 4 ,即 ? ? 时,等号成立. …………………………………………(12 分) 4 5

|2m+1| 20、解 (1)设过点 Q 的圆 M 的切线方程为 x=my+1,则圆心 M 到切线的距离为 1,∴ 2 m +1 4 =1,∴m=- 或 0,∴QA,QB 的方程分别为 3x+4y-3=0 和 x=1. ………(3 分) 3 (2)∵MA⊥AQ, S 四边形 MAQB=|MA|·|QA|=|QA|= |MQ| -|MA| = |MQ| -1≥ |MO| -1= 3. ∴ ∴四边形 QAMB 面积的最小值为 3.…………………………………(6 分) (3)设 AB 与 MQ 交于 P,则 MP⊥AB,MB⊥BQ, ∴|MP|= 1-?
2 2 2 2

?2 2?2 1 2 ? = .在 Rt△MBQ 中,|MB| =|MP||MQ|, 3 ? 3 ?

1 2 2 即 1= |MQ|,∴|MQ|=3. ∴x +(y-2) =9. 3 设 Q(x,0),则 x +2 =9,∴x=± 5,∴Q(± 5,0), ∴MQ 的方程为 2x+ 5y-2 5=0 或 2x- 5y+2 5=0. ……………………(13 分)
2 2

-7-

21、 (1)证明: ? Pn 的半径为 yn ? xn , ? Pn ?1 的半径为 yn ?1 ? xn ?1 ,………1 分
2

2

2 2 ? Pn 和 ? Pn ?1 两圆相外切,则 Pn Pn ?1 ? xn ? xn ?1 ,
2 2 2 2 ( xn ?1 ? xn ) 2 ? ( xn ?1 ? xn ) 2 ? xn ? xn ?1.

…………………………2 分 ………………3 分 ………………5 分



整理,得 ( xn ? xn ?1 ) ? (2 xn xn ?1 ) .
2 2

又 0 ? xn ?1 ? xn , 所以 xn ? xn ?1 ? 2 xn xn ?1 , 即

………………………………6 分

?1? 1 1 ? ? 2. 故数列 ? ? 是等差数列 ………………………………7 分 xn ?1 xn ? xn ?

(2)由(1)得

1 1 1 ? ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, 即 xn ? , ………………8 分 xn x1 2n ? 1
2 4

又 Sn ? ? yn ? ? xn , 所以 Sn ? ? ? 法(一) Tn ? :

1 , (2n ?1) 2

………………………9 分

S1 ? S2 ? S3 ? ? ? S n

?1 1 1 ? 1 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? (2n ? 1) ? ?1 3 5 ? ? 1 1 1 ? ? ?1 ? ? ??? (2n ? 1)(2n ? 3) ? ? 3 ?1 5 ? 3 ?
………………11 分

? 1? 1 1 1 1 1 1 ?? ? ? ?1 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? ? ? ? 2? 1 3

……13 分

? 1 ? 3 ? 1 ? ? ?1 ? ? ? ? 2 . ………………………………14 分 ? 2 2(2n ? 1) ?
法(二) ? Sn ? ? ? :

1 1 ? ?? 2 2 (2n ? 1) 4n ? 4n ? 1
………………10 分

? ??

? 1 ? 1 1 ? ? 2 ? ? 4 n ?n 4 n(n ? 1) 4n ? 4n
2

?

?
4

?(

1 1 ? )(n ? 2) …………………………………………11 分 n ?1 n

?Tn ? S1 ? S2 ? S3 ? ? ? Sn

-8-

? 1? 1 1 1 1 1 1 ?? ? ? ? ?1 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? ? ……………12 分 2 3 n ?1 n ? ? ? 4? 1 2

1 ? 1 1 1 ? ? ? ? ?1 ? ( ? ) ? ? ? ? (1 ? ) 4 ? 4 1 n ? ? 5 ? 6 ? 3 ? ? ? 4 4 2

……………………………13 分

…………………………………………14 分

-9-


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