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【创新设计】2015高考数学(苏教理)一轮配套课件5-1平面向量的概念及其线性运算_图文


第 1讲 平面向量的概念及其线性运算 知识梳理 1.向量的有关概念 名称 定义 既有 大小 又有 方向的 向量 量;向量的大小叫做向量 的 长度 (或称 模 ) 零向 长度为 零 的向量;其方 量 向是任意的 单位 向量 长度等于 1个单位 的向量 备注 平面向量是自由 向量 记作0 非零向量a的单位 向量为 ±a |a| 续表 定义 备注 方向 相同 或 相反 的非 平行向量 零向量 0与任一向量平行或 方向相同或相反的非零 共线 共线向量 向量又叫做共线向量 两向量只有相等或 长度 相等 且方向相同的 相等向量 不等,不能比较大 向量 小 长度相等且方向相反 的 0的相反向量为0 相反向量 向量 名称 2.向量的线性运算 向量 定义 运算 法则(或几何意义) 运算律 求两 个向 加法 量和 的运 算 三角形法则 (1)交换律: a+b= b+a . (2)结合律: (a+b)+c= a+(b+c) . 平行四边形法则 续表 向量 运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 求a与b的相 反向量-b 减法 的和的运算 叫做a与b的 差 a-b=a+(-b) 三角形 法则 (1)|λa|= |λ||a| ; (2)当λ>0时,λa的方 向与a的方向 相同 ;当 λ<0时,λa的方向与a 相反 的方向 ;当 λ=0 0 时,λa= . λ(μa)= λμa ; (λ+μ)a= λa+μa ; λ(a+b)= λa+λb . 求实数λ与 数乘 向量a的积 的运算 3.共线向量定理 向量 a(a≠0) 与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ ,使 得 b=λa . 辨 析 感 悟 1.对共线向量的理解 (1)若向量 a,b 共线,则向量 a,b 的方向相同. (×) (2)若 a∥b,b∥c,则 a∥c. (×) (3)(2013· 郑州调研改编)设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 1 a+λb 与 2a-b 共线,则 λ=-2. (√) 2.对向量线性运算的应用 → → → → (4)AB+BC+CD=AD. (√) 1 → → (5)(教材习题改编)在△ABC 中, D 是 BC 的中点, 则AD=2(AC → +AB). (√) [感悟·提升] 1.一个区别 两个向量共线与两条线段共线不同,前者的起点 可以不同,而后者必须在同一直线上.同样,两个平行向量 与两条平行直线也是不同的,因为两个平行向量可以移到同 一直线上. 2.两个防范 一是两个向量共线,则它们的方向相同或相反; 如(1);二是注重零向量的特殊性,如(2). 考点一 【例 1】 给出下列命题: 平面向量的有关概念 ①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B,C,D 是不共线的四点, → =DC → 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; 则AB ③若 a =b,b=c,则 a=c;④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中真命题的序号是________. 解析 同. ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相 → =DC →, ②正确.∵AB → → → → ∴|AB|=|DC|且AB∥DC, 又∵A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 为平行四边形; → → → → 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则AB∥DC且|AB|=|DC|, → =DC →. 因此,AB ③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同; 又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同, ∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c. ④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a= b ,故 |a| = |b| 且 a∥b 不是 a = b 的充要条件,而是必要不充分条 件.综上所述,正确命题的序号是②③. 答案 ②③ 规律方法 对于向量的概念应注意以下几条: (1)向量的两个特征:有大小和方向,向量既可以用有向线段和 字母表示,也可以用坐标表示; (2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定 是平行向量,而平行向量则未必是相等向量; (3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量 的模是非负实数,故可以比较大小. 【训练1】 设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a= |a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1, 则a=a0.上述命题中,假命题的序号是________. 解析 向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相等,但 方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的 方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0, 故②③也是假命题. 答案 ①②③ 考点二 平面向量的线性运算 【例 2】 (1) (2013· 四川卷)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角 → +AD → =λ AO → ,则 λ=________. 线 AC 与 BD 交于点 O,AB → (2)(2013· 泉州模拟)已知 P,A,B,C 是平面内四点,且PA+ → → → → → PB+PC=AC,那么PB=________AP. → +AD → =AC → =2AO → ,∴λ=2. 解析 (1)∵AB → +PB → +PC → =AC → =PC → -PA →, (2)∵PA → → → ∴PB=-2PA=2AP. 答案 (1)2 (2)2 规律方法 (1)进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形 或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中 位线及相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向 量表示出来. (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去 括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算 中同样适用. 【训练 2】 如图,D,E,F 分别是△ABC 的边 AB,B

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