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内蒙古包头市第四中学2017_2018学年高二数学上学期期中试题理201811020234


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内蒙古包头市第四中学 2017-2018 学年高二数学上学期期中试题 理
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,选择一 个符合题目要求的选项。) 1.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,假设正确的是( ) A.假设三内角都不大于 60 度 B.假设三内角都大于 60 度

C.假设三内角至多有一个大于 60 度 D.假设三内角至多有两个大于 60 度 2. y ? f ?( x) 的图象如右图所示, 则 y ? f ( x) 的图象最有可能是 (
y
y

)
O
1 2

x

y

y

y

O 1

2

x

2

O

1

2

x

1

x

O 1

2

x

A B C D 3.推理“①正方形是平行四边形 ②梯形不是平行四边形 ③所以梯形不是正方形”中的小前 提是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ①②

4.从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有, 则不同的组队方案共有( A.70 种 ) C.100 种 D.140 种 ) D.

B.80 种

5.若 Z 为复数,且 (1 ? 3i) z ? (?2 ? i) z ? 1 ? i ,则 z ? ( A.

2 5

B.

2 2 5

C.

2 3

5 5

6.现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座, 不同选法的种数是( A. 5
6

)
5

B. 6

C. A6

5

D. A5

5

7.求函数 f ( x) ? A. ?

1 3 x ? 4 x ? 4 在[0,3]的最大值( 3
C.4 D.



4 3

B.1

28 3
)
-1-

8.有 5 盆菊花,其中黄菊花 2 盆、白菊花 2 盆、红菊花 1 盆,现把它们摆放成一排,要求 2 盆黄菊花必须相邻,2 盆白菊花不能相邻,则这 5 盆花的不同摆放种数是(

A.12

B.24

C.36

D.48 ) D. (2? ,3? )

9.函数 y ? x cos x ? sin x 在下面哪个区间内是增函数 ( A. (

? 3?
2 , 2

)

B. (? ,2? )

C. (

3? 5? , ) 2 2

10.已知 f ?x ? ? A. a?1

ex , (a ? 0 )在 R 上递增,则 a 的取值范围( 1 ? ax2
B. 0<a<1 C. 0<a ? 1 D. a>1

)

11.如果曲线 y ?

2 与直线 y ? x ? 1 及 x ? m 所围成的封闭图形的面积为 4 ? 2 ln 2 x
) C.3 D.4

则以下正确的一个 m 值为( A.1 B.2

12.用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 6 个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图 中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有( A.168 种 C.264 种 B.240 种 D.288 种 )

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。答案须填在题中横线上)

a ? i 2007 的值为________. 1 ? ai 1 3 14.如果曲线 f(x)=x +x-16,的某一切线与直线 y=- x+3 垂直, 4
13.若复数 z ? (a ? 2) ? 3i为纯虚数(a ? R),则 则切线方程_________. 15.现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导 游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项 工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是_______.
2 16.若 f ( x) 在 R 上可导, f ( x) ? x ? 2 f ' (2) x ? 3 ,则

?

3 0

f ( x)dx ? ____________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 4 2 17.若函数 f(x)=ax +2x- ln x 在 x=1 处取得极值. 3 (1)求 a 的值. (2)求函数 f(x)的极值.

-2-

18.如图:求曲线 y=e -1 与直线 x=-ln 2,

x

y=e-1 所围成的平面图形面积.

19.设函数 f ? x ? ?

x ( x ? 0 ),观察: x?2 x x f1 ? x ? ? f ? x ? ? , f 2 ? x ? ? f ? f1 ? x ? ? ? , x?2 3x ? 4 x x f3 ? x ? ? f ? f 2 ? x ? ? ? , f 4 ? x ? ? f ? f3 ? x ? ? ? ,… 7x ? 8 15 x ? 16

根据以上事实,归纳: 当 n ? N 且 n ? 2 时, f n ( x) 的解析式,并用数学归纳法证明.
*

20.已知 f ? x ? ? a ln x ? 2 ?

2 , a?R x

(1)讨论函数

f ( x) 的单调性. f ( x) ? 2(a ? 1) 对 x ? (0,??) 恒成立,求 a 的取值范围.

(2)若 a ? 0 ,

21.设函数 f ( x) ? x e (1)求 a 和 b 的值. (2)设 g ( x ) ?

2 x ?1

? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x) 的极值点.

2 3 x ? x 2 试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小. 3

22.已知 f ?x? ? ( x ? 6x ? 3x ? t )e
3 2

x

(1)当 t=-3 时,求函数 f ?x ? 的单调递增区间. (2)如果 f ?x ? 有三个不同的极值点,求 t 的取值范围.

-3-

高二年级理科数学答案 一.选择题(每题 5 分,共 60 分) 1-4:BCBA,5-8:AACB.9-12:BCDC

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。答案须填在题中横线上。)

13. -i

14.y=4x-18 或 y=4x-14.

15 126

16

-18

三.解答题(70 分) 4 2 17. (10 分)若函数 f(x)=ax +2x- ln x 在 x=1 处取得极值. 3 (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值. 4 解:(1)f′(x)=2ax+2- , 3x 2 1 由 f′(1)=2a+ =0,得 a=- . 3 3 1 2 4 (2)f(x)=- x +2x- ln x(x>0). 3 3

f′(x)=- x+2- = 3 3x

2

4



x-
3x

x-

.

由 f′(x)=0,得 x=1 或 x=2. ①当 f′(x)>0 时 1<x<2; ②当 f′(x)<0 时 0<x<1 或 x>2. 当 x 变化时 f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(0,1) - ↘

1 0 5 3

(1,2) + ↗

2 0 8 4 - ln 2 3 3

(2,+∞) - ↘

因此,f(x)的单调递增区间是(1,2),单调递减区间是(0,1),(2,+∞). 5 8 4 函数的极小值为 f(1)= ,极大值为 f(2)= - ln 2. 3 3 3 18(12 分)如图:求曲线 y=e -1 与直线 x=-ln 2,y=e-1 所围成的平面图形的面 积.
x

-4-



如图所示,则所求面积为图中阴影部分的面积.

由?

?y=e-1, ? ? ?y=e -1,
x

解得 B(1,e-1).由?

?x=-ln 2, ? ? ?y=e -1,
x

1? ? 解得 A?-ln 2,- ?.…… 2? ?

此时,C(-ln 2,e-1),D(-ln 2,0). 所以 S=S 曲边梯形 BCDO+S 曲边三角形 OAD =? -ln 2(e-1)dx-? 0(e -1)dx+|
1 1

x

0 -ln 2 0

x



x|

=(e-1)x|-ln 2-(e -x)|0+|(e -x)|-ln 2| …… =(e-1)(1+ln 2)-(e-1-e )+|e -(e
0 0 -ln 2

1

x

1

x

+ln 2)|

1 1 =(e-1)(1+ln 2)-(e-2)+ln 2- =eln 2+ . 2 2 19: (12 分)归纳: f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ?

x (2 ? 1) x ? 2 n ,证明略
n

20(12 分) 略解:(1) a ? 0 时,在 (0,??) 减

a ? 0 时,在(0,2/a)减,(2/a,+∞)增 a ? 0 在(0,2/a)增,(2/a,+∞)减
(2)由上可得单调性(0,2/a)减,(2/a,+∞)增

f ( x) 的最小值= f (2 / a) , 解不等式 f (2 / a) ? 2(a ? 1) 得 0〈a〈2/e
21.(12 分) 解:(1)因为 f ?( x) ? e
x ?1

(2 x ? x2 ) ? 3ax2 ? 2bx ? xex?1 ( x ? 2) ? x(3ax ? 2b) ,

又 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点,所以 f ?(?2) ? f ?(1) ? 0 ,

因此 ?

1 ??6a ? 2b ? 0, 得 a ? ? , b ? ?1 . 3 ?3 ? 3a ? 2b ? 0,
2 x ?1

(2)由(1)可知 f ( x) ? x e

1 ? x 3 ? x 2 ,故 f ( x) ? g ( x) ? x2ex?1 ? x3 ? x2 (e x?1 ? x) , 3
-5-

令 h( x) ? e x?1 ? x ,则 h?( x) ? e x ?1 ? 1 . 令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,所以 h( x) 在 x ? ? ??, 1? 上递减.在 x ??1 , ? ?? 上递 增. h( x) ≥ h(1) ? 0 .故 f ( x ) ? g ( x) 。

22.(12 分) 略解: (1) f / ?x? ? ( x3 ? 3x2 ? 9x ? t ? 3)ex , t=-3 时, f / ?x? ? ( x3 ? 3x2 ? 9x)e x , f / ?x? ? 0

x3 ? 3x2 ? 9 x ? 0 得递增区间为: (

3?3 5 3?3 5 ,0) 与 ( ,??) 2 2

(2) f / ?x? ? ( x3 ? 3x2 ? 9x ? t ? 3)ex ? 0 有三个不同实根. 即 x ? 3x ? 9 x ? t ? 3 ? 0 有三个不等根.
3 2

故 g ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? t ? 3 有三个零点.应和 x 轴有三个交点.

g / ( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3( x ? 1)(x ? 3)
则极大,小值分别为 g (?1) , g (3)

g (?1) >0 且 g (3) <0,可得-8<t<24

-6-


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