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选修2-2《数学归纳法》课件


唐山市丰润区第二中学 高二教研组 陈宝双

一、创设情境,开启学生思维
情境一

我是 一毛

我是 二毛

我是 三毛

我不是 猜: 四毛! 四毛 我是小 明! ! 我是 谁?

情境二

对于数列{ an},已知
*

a1

(n ∈ N (1)求出数列前4项,你能得到什么猜 )
想?(2)你的猜想一定是正确的吗? 1 1 1 1 a3 ? a = 解: a1 ? a2 ? 1 3 4 2 4 1 * (n ? N ) 猜想数列的通项公式为an ?

an a = 1, n+1 = 1 + a n

1 1 1 验证:同理得 a5 = a6 = a7 = 7 6 5 1 1
a8 = 8 a9 = 9

n

???

正整数 无数个!

啊,有完 没完啊?

二、引导探究,寻求解决方法
(一)视频播放

你见过多米诺骨牌游戏吗?请欣赏一 下那场景! 对我们解决本题证明有什么启示?

(二)师生互助
请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个 条件

1、第一块骨牌倒下 2、任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块 倒下 条件(2)事实上给出了一个递推关系,换言之就是假 设第K块倒下,则相邻的第K+1块也倒下

三、类比问题,师生合作探究
(一)类比归纳

多米诺骨牌游戏原理 (1)第一块骨牌倒下。

1 通项公式为an ? 的证 n
明方法 (1)当n=1时,猜想成立

(2)若第k块倒下时, (2)若当n=k时猜想成 1 立,即 a k = ,则当 则 相 邻 的 第 k+1 块 也 k 倒下。 n=k+1时猜想也成立, 1 。 即 a = k +1 k +1 根据(1)和 (2),可 根据(1)和(2),可知 知不论有多少块骨牌, 对任意的正整数n,猜想 都能全部倒下。 都成立。

(二)理解升华

当一个命题满足上述(1)、(2) 两个条件时,我们能把证明无限问题 用有限证明解决吗?

(三)思维延伸

思考:
根据以上逻辑推理 ①条件(1),条件(2)分别起什么作用?

②条件(1),条件(2)为什么缺一不可?

(四)提炼概念 一般的,证明一个与正整数有关的命题,可按下列 步骤进行:

(1) 【归纳奠基】证明当n取第一个值n0(n0 ∈N* )
时命题成立;

(2) 【归纳递推】假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命
题成立,证明当n=k+1时命题也成立. 从而就可以断定命题对于n0开始的所有正整数n都成立。 这种证明方法叫做 数学归纳法。

四、例题研讨,学生实践应用
(一)典例析剖

an * a (n ∈ N ) 对于数列{an },已知 a1 = 1, n +1 = 1 + an
你的猜想是不是正确吗?

写出数列前4项,并猜想其通项公式 an ;同学们,你能验证

(二)变式精炼

用数学归纳法证明

1 ? 3 ? 5?? ? (2n ?1) ? n (n ? N )
2
?

(三)能力提升

用数学归纳法证明

n(n ? 1)(2n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ? ...? n ? ? (n ? N ) 6
2 2 2 2

证明: (1)当n=1时, 左边=12=1 右边=1 等式成立 (2)假设当n=k时等式成立,即
2 2 2 2

k (k + 1)( 2k + 1) 1 + 2 +3 +???+ k = 6 那么,当n=k+1时

用到归 纳假设

1 + 2 + 3 + ? ? ? + k + (k +1)
2 2 2 2

2
2

k (k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1) k (k + 1)( 2k + 1) 2 + (k + 1) = = 6 6 2 凑出目标 (k + 1)(2k + 7k + 6) (k + 1)( k + 2)( 2k + 3) = = 6 6 (k + 1)[( k + 1) + 1][ 2(k + 1) + 1] 即当n=k+1等式也成立 = 6

n ∈ N *都成立. 根据(1)和(2),可知等式对任何

五、小结反思,学生提高认识 (一)一种方法:一种用来证明某些“与 正整数n有关的命题”的方法— 数学归纳 法 (二)二个注意:1、“二步一结论”缺一不 可。 2、第(2)步证明“假设n=k成立则n=k+1也成 立”时一定要用到归纳假设

六、巩固作业,分层布置
课本P96习题2.3 A组 (选做题) 1、2(必做)

用数学归纳法证明 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? n(n ? N ?且n ? 1) n
2 3 2 ?1

时,由n=k(k>1)时不等式成立,推证n=k+1,左边 应增加的项数是( )项

A. 2k-1

B.2k+1

C.2k-1

D.2k


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