伤城文章网 > 高考 > 【备考2014】2013高考数学 (真题+模拟新题分类汇编) 三角函数 文

【备考2014】2013高考数学 (真题+模拟新题分类汇编) 三角函数 文


三角函数
C1 角的概念及任意的三角函数 π 14.C1,C2,C6[2013·四川卷] 设 sin 2α =-sin α ,α ∈ ,π ,则 tan 2α 的值 2 是________. 14. 3 [解析] 方法一:由已知 sin 2α =-sin α ,即 2sin α cos α =-sin α ,又 1 3 ?π ? α ∈? ,π ?,故 sin α ≠0,于是 cos α =- ,进而 sin α = ,于是 tan α =- 3, 2 2 ?2 ? 2tan α 2×(- 3) 所以 tan 2α = = = 3. 2 1-tan α 1-3 1 2π 4π ?π ? 方法二:同上得 cos α =- ,又 α ∈? ,π ?,可得 α = ,所以 tan 2α =tan 2 3 3 ?2 ? = 3.

C2

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

5 2.C2[2013·全国卷] 已知 α 是第二象限角,sin α = ,则 cos α =( 13 12 5 5 A.- B.- C. 13 13 13 12 D. 13

)

12 2 2.A [解析] cos α =- 1-sin α =- . 13

? π? 16.C2,C5[2013·广东卷] 已知函数 f(x)= 2cos?x- ?,x∈R. ? 12? ?π ? (1)求 f? ?的值; ?3?
π? 3 ?3π ? ? (2)若 cos θ = ,θ ∈? ,2π ?,求 f?θ - ?. 6? 5 ? 2 ? ? 16.解: π 14.C1,C2,C6[2013·四川卷] 设 sin 2α =-sin α ,α ∈ ,π ,则 tan 2α 的值 2 是________. 14. 3 [解析] 方法一:由已知 sin 2α =-sin α ,即 2sin α cos α =-sin α ,又 1 3 ?π ? α ∈? ,π ?,故 sin α ≠0,于是 cos α =- ,进而 sin α = ,于是 tan α =- 3, 2 2 ?2 ? 2tan α 2×(- 3) 所以 tan 2α = = = 3. 2 1-tan α 1-3

-1-

1 2π 4π ?π ? 方法二:同上得 cos α =- ,又 α ∈? ,π ?,可得 α = ,所以 tan 2α =tan 2 3 3 ?2 ? = 3.

C3

三角函数的图像与性质

π? ? 1.C3[2013·江苏卷] 函数 y=3sin?2x+ ?的最小正周期为________. 4? ? 1.π 2π [解析] 周期为 T= =π . 2

π 17.C3[2013·辽宁卷] 设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈0, . 2 (1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a·b,求 f(x)的最大值. 17.解:(1)由|a| =( 3sin x) +(sin x) =4sin x, 2 2 2 |b| =(cos x) +(sin x) =1. 2 及|a|=|b|,得 4sin x=1. π 1 π 又 x∈0, ,从而 sin x= ,所以 x= . 2 2 6 (2)f(x)=a·b= 3sin x·cos x+sin x= π π π x= ∈0, 时,sin2x- 取最大值 1. 3 2 6 3 所以 f(x)的最大值为 . 2 9.C3[2013·山东卷] 函数 y=xcos x+sin x 的图像大致为( )
2 2 2 2 2

3 1 1 π 1 sin 2x- cos 2x+ =sin2x- + ,当 2 2 2 6 2

9.D

图 1-3 [解析] ∵f(-x)=-xcos(-x)+sin(-x)=-(xcos x+sin x)=-f(x),∴y

π =xcos x+sin x 为奇函数,图像关于原点对称,排除选项 B,当 x= ,y=1>0,x=π ,y 2 =-π <0,故选 D. 16.C3、C5、C9[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取 得最大值,则 cos θ =________. 2 16.- 5? 5 5 [解析] f(x)=sin x-2cos x=

1 2 ? 1 sin x- 2 cos x? ?,令 cos α = ,sin α = , 5 ? 5 ? 5 5

-2-

π 则 f(x)= 5sin(x-α ).当 θ -α =2kπ + , 2 π 即 θ =2kπ + +α (上述 k 为整数)时, 2 2 f(x)取得最大值,此时 cos θ =-sin α =- 5 5 .

C4

函数 的图象与性质

? π? 16.C4[2013·安徽卷] 设函数 f(x)=sin x+sin?x+ ?. 3? ?
(1)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取最小值的 x 的集合; (2)不画图,说明函数 y=f(x)的图像可由 y=sin x 的图像经过怎样的变化得到. 1 3 3 3 π 16.解:(1)因为 f(x)=sin x+ sin x+ cos x= sin x+ cos x= 3sinx+ , 2 2 2 2 6 π π 2π 所以当 x+ =2kπ - (k∈Z),即 x=2kπ - (k∈Z)时,f(x)取得最小值- 3. 6 2 3 此时 x 的取值集合为 x错误!x=2kπ -错误!,k∈Z. (2)先将 y=sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 3倍(横坐标不变),得 y= 3 π sin x 的图像;再将 y= 3sin x 的图像上所有的点向左平移 个单位,得 y=f(x)的图像. 6 1 2 15.C4,C5,C6,C7[2013·北京卷] 已知函数 f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ cos 4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及最大值; (2)若 α ∈?

?π ,π ?,且 f(α )= 2,求 α 的值. ? 2 ?2 ?

1 2 15.解:(1)因为 f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ cos 4x 2 1 =cos 2x·sin 2x+ cos 4x 2 1 = (sin 4x+cos 4x) 2 = π? 2 ? sin?4x+ ?, 4? 2 ?

π 2 所以 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2 π? 2 ? ,所以 sin?4α + ?=1. 4? 2 ? π ?9π 17π ? ?π ? 因为 α ∈? ,π ?,所以 4α + ∈? , . 4 ? 4 ? 4 ?2 ? ? (2)因为 f(α )= π 5π 9π 所以 4α + = .故 α = . 4 2 16

-3-

9.C4[2013·全国卷] 若函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0)的部分图像如图 1-1 所示,则 ω =( )

图 1-1 A.5 B.4 C.3 D.2 π 2π π 9.B [解析] 根据对称性可得 为已知函数的半个周期,所以 =2× ,解得 ω =4. 4 ω 4 π? ? π 9. C4[2013·福建卷] 将函数 f(x)=sin(2x+θ )?- <θ < ?的图像向右平移 φ (φ >0) 2? ? 2 个单位长度后得到函数 g(x)的图像.若 f(x),g(x)的图像都经过点 P?0, 是( A. C. ) 5π 3 π 2 5π B. 6 π D. 6 3 π π ,- <θ < ,得 2 2 2

? ?

3? ?,则φ 的值可以 2?

9.B [解析] g(x)=f(x-φ )=sin[2(x-φ )+θ ],由 sin θ =

π 3 5π θ = ,又 sin(θ -2φ )= ,结合选项,知 φ 的一个值为 ,故选 B. 3 2 6 6.C4[2013·湖北卷] 将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R)的图像向左平移 m(m>0)个单位 长度后,所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( ) A. C. π π B. 12 6 π 3 5π D. 6

π ? π? 6.B [解析] 结合选项,将函数 y= 3cos x+sin x=2sin?x+ ?的图像向左平移 个 3? 6 ?

? π? 单位得到 y=2sin?x+ ?=2cos x,它的图像关于 y 轴对称,选 B. 2? ?
13.C4[2013·江西卷] 设 f(x)= 3sin 3x+cos 3x,若对任意实数 x 都有|f(x)|≤a, 则实数 a 的取值范围是________. 13.a≥2 [解析] |f(x)|max=2,则 a≥2. π 16. C4[2013·新课标全国卷Ⅱ] 函数 y=cos(2x+φ )(-π ≤φ <π )的图像向右平移 2 π? ? 个单位后,与函数 y=sin?2x+ ?的图像重合,则 φ =________. 3? ? 16. 5π 6 [解析] 由已知,y=cos(2x+φ )的图像向右平移 π 得到 y=cos(2x-π +φ ) 2

-4-

π? π? 5 ? ? ?π ? =-cos(2x+φ ).y=sin?2x+ ?=-cos? +2x+ ?=-cos?2x+ π ?,两个函数图像重 3? 3? 6 ? ? ?2 ? 5 合,故 φ = π . 6 18.C4,C7[2013·山东卷] 设函数 f(x)= 3 2 - 3sin ω x-sin ω x cos ω x(ω >0), 2

π 且 y=f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 . 4 (1)求 ω 的值; 3π (2)求 f(x)在区间π , 上的最大值和最小值. 2 18.解:(1)f(x)= = = 3 2 - 3sin ω x-sin ω xcos ω x 2

3 1-cos 2ω x 1 - 3· - sin 2ω x 2 2 2 3 1 cos 2ω x- sin 2ω x 2 2

π? ? =-sin?2ω x- ?. 3? ? π 因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 , 4 又 ω >0, 2π π 所以 =4× . 2ω 4 因此 ω =1. π? ? (2)由(1)知 f(x)=-sin?2x- ?. 3? ? 3π 5π π 8π 当π ≤x≤ 时, ≤2x- ≤ . 2 3 3 3 所以- π? 3 ? ≤sin?2x- ?≤1. 3? 2 ? 3 . 2

因此-1≤f(x)≤

3π ? 3 ? 故 f(x)在区间?π , ?上的最大值和最小值分别为 ,-1. 2 ? 2 ? π π 6.C4[2013·天津卷] 函数 f(x)=sin2x- 在区间 0, 上的最小值为( 4 2 A.-1 B.- C. 2 2 D.0 π ? π 3π ? π π ? π? [解析] ∵x∈?0, ?,∴2x- ∈?- , ?,当 2x- =- 时,f(x)有最 2? 4 ? 4 ? 4 4 4 ? 2 2 )

6.B

-5-

小值-

2 . 2

图 1-3 π π 6.C4[2013·四川卷] 函数 f(x)=2sin(ω x+φ )ω >0,- <φ < 的部分图像如图 1- 2 2 3 所示,则 ω ,φ 的值分别是( π A.2,- 3 π B.2,- 6 π C.4,- 6 π D.4, 3 T 11π 5π π 6.A [解析] 由半周期 = - = ,可知周期 T=π ,从而 ω =2,于是 f(x)= 2 12 12 2 5π ?5π ? ?5π +φ ?=1, 5π +φ =2kπ +π (k∈Z), 2sin(2x+φ ). x= 时, ? ?=2, sin? 当 f 即 于是 ? 12 6 2 ? 12 ? ? 6 ? π π π 因为- <φ < ,取 k=0,得 φ =- . 2 2 3 1? ? 16.F3,C4[2013·陕西卷] 已知向量 a=?cos x,- ?,b=( 3sin x,cos 2x),x∈R, 2? ? 设函数 f(x)=a·b. (1)求 f(x)的最小正周期; )

? π? (2)求 f(x)在?0, ?上的最大值和最小值. 2? ?
1? 1 3 ? 16.解: f(x)=?cos x,- ?·( 3sin x,cos 2x)= 3cos xsin x- cos 2x= sin 2? 2 2 ? π? 1 π π ? 2x- cos 2x=cos sin 2x-sin cos 2x=sin ?2x- ?. 6? 2 6 6 ? (1)f(x)的最小正周期为 T= 2π 2π = =π ,即函数 f(x)的最小正周期为π . ω 2

π π π 5π (2)∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ . 2 6 6 6 由正弦函数的性质, π π π 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 1. 6 2 3

-6-

π π 1 当 2x- =- ,即 x=0 时,f(0)=- , 6 6 2 π 5 π ?π ? 1 当 2x- = π ,即 x= 时,f? ?= , 6 6 2 ?2? 2 1 ∴f(x)的最小值为- . 2 π 1 因此,f(x)在 0, 上最大值是 1,最小值是- . 2 2 6.C4[2013·浙江卷] 函数 f(x)=sin xcos x+ ( ) A.π ,1 B.π ,2 C.2π ,1 D.2π ,2 1 3 π 6.A [解析] f(x)= sin 2x+ cos 2x=sin2x+ ,则最小正周期为π ;振幅为 1, 2 2 3 所以选择 A. 3 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 2

C5

两角和与差的正弦、余弦、正切

1 2 15.C4,C5,C6,C7[2013·北京卷] 已知函数 f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ cos 4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及最大值; (2)若 α ∈?

?π ,π ?,且 f(α )= 2,求 α 的值. ? 2 ?2 ?

1 2 15.解:(1)因为 f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ cos 4x 2 1 =cos 2x·sin 2x+ cos 4x 2 1 = (sin 4x+cos 4x) 2 = π? 2 ? sin?4x+ ?, 4? 2 ?

π 2 所以 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2 (2)因为 f(α )= π? 2 ? ,所以 sin?4α + ?=1. 4? 2 ?

π ?9π 17π ? ?π ? 因为 α ∈? ,π ?,所以 4α + ∈? , . 4 ? 4 ? 4 ?2 ? ? π 5π 9π 所以 4α + = .故 α = . 4 2 16

? π? 16.C2,C5[2013·广东卷] 已知函数 f(x)= 2cos?x- ?,x∈R. ? 12?
-7-

?π ? (1)求 f? ?的值; ?3?
π? 3 ?3π ? ? (2)若 cos θ = ,θ ∈? ,2π ?,求 f?θ - ?. 6? 5 ? 2 ? ? 16.解: α 3 3.C5[2013·江西卷] 若 sin = ,则 cos α =( 2 3 2 1 A.- B.- 3 3 C. 1 2 D. 3 3
2

)

3.C [解析] cos α =1-2sin

α 1 = ,故选 C. 2 3

17.C5,C8,F1[2013·四川卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos(A 3 -B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=- . 5 (1)求 sin A 的值; (2)若 a=4 → → 2,b=5,求向量BA在BC方向上的投影.

3 17.解:(1)由 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=- , 5 3 得 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=- . 5 3 3 则 cos(A-B+B)=- ,即 cos A=- . 5 5 4 又 0<A<π ,则 sin A= . 5 a b (2)由正弦定理,有 = , sin A sin B bsin A 2 所以,sin B= = . a 2 由题知 a>b,则 A>B,故 B= 根据余弦定理,有 (4 π . 4

? 3? 2 2 2 2) =5 +c -2×5c×?- ?, ? 5?

解得 c=1 或 c=-7(负值舍去). 2 → → → 故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B= . 2 16.C3、C5、C9[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取 得最大值,则 cos θ =________. 2 16.- 5 5 [解析] f(x)=sin x-2cos x=

-8-

5?

1 2 ? 1 sin x- 2 cos x? ?,令 cos α = ,sin α = , 5 ? 5 ? 5 5

π 则 f(x)= 5sin(x-α ).当 θ -α =2kπ + , 2 π 即 θ =2kπ + +α (上述 k 为整数)时, 2 2 f(x)取得最大值,此时 cos θ =-sin α =-
2 2

5 5

.
2

18.C5 和 C8[2013·重庆卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a = b +c + 3bc. (1)求 A; (2)设 a= 3,S 为△ABC 的面积,求 S+3cos Bcos C 的最大值,并指出此时 B 的值. b +c -a - 3bc 3 18.解:(1)由余弦定理得 cos A= = =- . 2bc 2bc 2 5π 又因为 0<A<π ,所以 A= . 6 1 (2)由(1)得 sin A= ,又由正弦定理及 a= 3得 2 1 1 asin B S= bcsin A= · ·asin C=3sin Bsin C, 2 2 sin A 因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C)=3cos(B-C). π -A π 所以,当 B=C,即 B= = 时,S+3cos Bcos C 取最大值 3. 2 12
2 2 2

C6

二倍角公式

1 2 15.C4,C5,C6,C7[2013·北京卷] 已知函数 f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ cos 4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及最大值; (2)若 α ∈?

?π ,π ?,且 f(α )= 2,求 α 的值. ? 2 ?2 ?

1 2 15.解:(1)因为 f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ cos 4x 2 1 =cos 2x·sin 2x+ cos 4x 2 1 = (sin 4x+cos 4x) 2 = π? 2 ? sin?4x+ ?, 4? 2 ?

π 2 所以 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2

-9-

(2)因为 f(α )=

π? 2 ? ,所以 sin?4α + ?=1. 4? 2 ?

π ?9π 17π ? ?π ? 因为 α ∈? ,π ?,所以 4α + ∈? , . 4 ? 4 ? 4 ?2 ? ? π 5π 9π 所以 4α + = .故 α = . 4 2 16 π? 2 2? 6.C6[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知 sin 2α = ,则 cos ?α + ?=( 4? 3 ? A. C. 1 1 B. 6 3 1 2 D. 2 3 )

π? ? 1+cos?2α + ? 2 ? 1-sin 2α 1 π? ? 2? 6.A [解析] cos ?α + ?= = = ,故选 A. 4? 2 2 6 ? π 14.C1,C2,C6[2013·四川卷] 设 sin 2α =-sin α ,α ∈ ,π ,则 tan 2α 的值 2 是________. 14. 3 [解析] 方法一:由已知 sin 2α =-sin α ,即 2sin α cos α =-sin α ,又 1 3 ?π ? α ∈? ,π ?,故 sin α ≠0,于是 cos α =- ,进而 sin α = ,于是 tan α =- 3, 2 2 ?2 ? 2tan α 2×(- 3) 所以 tan 2α = = = 3. 2 1-tan α 1-3 1 2π 4π ?π ? 方法二:同上得 cos α =- ,又 α ∈? ,π ?,可得 α = ,所以 tan 2α =tan 2 2 3 3 ? ? = 3. 2 15.C6、E1 和 E3[2013·重庆卷] 设 0≤α ≤π ,不等式 8x -(8sin α )x+cos 2α ≥0 对 x∈R 恒成立,则 α 的取值范围为________.

? π ? ?5π ? 2 15.?0, ?∪? ,π ? [解析] 根据二次函数的图像可得 Δ =(8sin α ) -4×8cos 2 6? ? 6 ? ?
α ≤0,即 2sin α -cos 2α ≤0,转化为 2sin α -(1-2sin α )≤0,即 4sin α ≤1,即 1 1 ? π ? ?5π ? - ≤sin α ≤ .因为 0≤α ≤π ,故 α ∈?0, ?∪? ,π ?. 6? ? 6 2 2 ? ?
2 2 2 2

C7

三角函数的求值、化简与证明

1 2 15.C4,C5,C6,C7[2013·北京卷] 已知函数 f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ cos 4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及最大值;

- 10 -

(2)若 α ∈?

?π ,π ?,且 f(α )= 2,求α 的值. ? 2 ?2 ?

1 2 15.解:(1)因为 f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ cos 4x 2 1 =cos 2x·sin 2x+ cos 4x 2 1 = (sin 4x+cos 4x) 2 = π? 2 ? sin?4x+ ?, 4? 2 ?

π 2 所以 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2 (2)因为 f(α )= π? 2 ? ,所以 sin?4α + ?=1. 4? 2 ?

π ?9π 17π ? ?π ? 因为 α ∈? ,π ?,所以 4α + ∈? , . 4 ? 4 ? 4 ?2 ? ? π 5π 9π 所以 4α + = .故 α = . 4 2 16 18.C7、C8[2013·全国卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,(a+b+c)(a -b+c)=ac. (1)求 B; (2)若 sin Asin C= 3-1 ,求 C. 4

18.解:(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac, 2 2 2 所以 a +c -b =-ac. a +c -b 1 由余弦定理得 cos B= =- , 2ac 2 因此 B=120°. (2)由(1)知 A+C=60°, 所以 cos (A-C) =cos Acos C+sin Asin C =cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C =cos(A+C)+2sinAsin C 1 3-1 = +2× 2 4 3 , 2 故 A-C=30°或 A-C=-30°, 因此 C=15°或 C=45°. = 18.C4,C7[2013·山东卷] 设函数 f(x)= 3 2 - 3sin ω x-sin ω x cos ω x(ω >0), 2
2 2 2

π 且 y=f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 . 4 (1)求 ω 的值;
- 11 -

3π (2)求 f(x)在区间π , 上的最大值和最小值. 2 18.解:(1)f(x)= = = 3 2 - 3sin ω x-sin ω xcos ω x 2

3 1-cos 2ω x 1 - 3· - sin 2ω x 2 2 2 3 1 cos 2ω x- sin 2ω x 2 2

π? ? =-sin?2ω x- ?. 3? ? π 因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 , 4 又 ω >0, 2π π 所以 =4× . 2ω 4 因此 ω =1. π? ? (2)由(1)知 f(x)=-sin?2x- ?. 3? ? 3π 5π π 8π 当π ≤x≤ 时, ≤2x- ≤ . 2 3 3 3 所以- π? 3 ? ≤sin?2x- ?≤1. 3? 2 ? 3 . 2

因此-1≤f(x)≤

3π ? 3 ? 故 f(x)在区间?π , ?上的最大值和最小值分别为 ,-1. 2 ? 2 ? 16.C7,C8[2013·天津卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 bsin 2 A=3csin B,a=3,cos B= . 3 (1)求 b 的值; π (2)求 sin2B- 的值. 3 a b 16.解:(1)在△ABC 中,由 = ,可得 bsin A=asin B,又由 bsin A=3csin B, sin A sin B 可得 a=3c,又 a=3,故 c=1. 2 2 2 2 由 b =a +c -2accos B,cos B= ,可得 b= 6. 3 2 5 1 2 (2)由 cos B= ,得 sin B= ,进而得 cos 2B=2cos B-1=- ,sin 2B=2sin Bcos 3 3 9 4 B= 5 9 . 5+ 3 . 18

π π π 4 所以 sin2B- =sin 2Bcos -cos 2Bsin = 3 3 3

- 12 -

C8

解三角形

9.C8[2013·安徽卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 b+c=2a, 3sin A=5sin B,则角 C=( ) A. C. π 3 3π 4 2π B. 3 5π D. 6

3a 9.B [解析] 根据正弦定理,3sin A=5sin B 可化为 3a=5b,又 b+c=2a,解得 b= , 5 7a a +b -c c= .令 a=5t(t>0),则 b=3t,c=7t,在△ABC 中,由余弦定理得 cos C= = 5 2ab 25t +9t -49t 1 2π =- ,所以 C= . 2×5t×3t 2 3 1 5.C8[2013·北京卷] 在△ABC 中,a=3,b=5,sin A= ,则 sin B=( 3 A. C. 1 5 B. 5 9 5 3 D.1 )
2 2 2 2 2 2

a b 3 5 5 5.B [解析] 由正弦定理得 = ,即 = ,解得 sin B= . sin A sin B 1 sin B 9 3 18.C7、C8[2013·全国卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,(a+b+c)(a -b+c)=ac. (1)求 B; (2)若 sin Asin C= 3-1 ,求 C. 4

18.解:(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac, 2 2 2 所以 a +c -b =-ac. a +c -b 1 由余弦定理得 cos B= =- , 2ac 2 因此 B=120°. (2)由(1)知 A+C=60°, 所以 cos (A-C) =cos Acos C+sin Asin C =cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C =cos(A+C)+2sinAsin C 1 3-1 = +2× 2 4 = 3 , 2
2 2 2

- 13 -

故 A-C=30°或 A-C=-30°, 因此 C=15°或 C=45°. 21.C8,C9[2013·福建卷] 如图 1-6,在等腰直角△OPQ 中,∠POQ=90°,OP=2 点 M 在线段 PQ 上. 2,

(1)若 OM= 5,求 PM 的长; (2)若点 N 在线段 MQ 上,且∠MON=30°,问:当∠POM 取何值时,△OMN 的面积最小? 并求出面积的最小值.

图 1-6 21.解:(1)在△OMP 中,∠OPM=45°,OM= 5,OP=2 2, 2 2 2 2 由余弦定理得,OM =OP +MP -2OP·MP·cos 45°,得 MP -4MP+3=0, 解得 MP=1 或 MP=3. (2)设∠POM=α ,0°≤α ≤60°, 在△OMP 中,由正弦定理,得 所以 OM= OM OP = , sin∠OPM sin∠OMP

OPsin 45° OPsin 45° ,同理 ON= . sin(45°+α ) sin(75°+α )

1 故 S△OMN= OM·ON·sin∠MON 2 1 OP sin 45° = × 4 sin(45°+α )sin(75°+α ) = = 1 sin(45°+α )sin(45°+α +30°) 1 sin(45°+α )? = 1 ? 3 ? sin(45°+α )+ cos(45°+α )? 2 ?2 ? 1 1 2 sin (45°+α )+ sin(45°+α )cos(45°+α ) 2 2 1 1 [1-cos(90°+2α )]+ sin(90°+2α ) 4 4 1 3 4 = 3 + 3 1 sin 2α + cos 2α 4 4 3 3
2 2





1 . 1 + sin(2α +30°) 4 2

因为 0°≤α ≤60°,30°≤2α +30°≤150°,所以当 α =30°时,sin(2α +30°) 的最大值为 1,此时△OMN 的面积取到最小值.即∠POM=30°时,△OMN 的面积的最小值为 8

- 14 -

-4

3. 18.C8[2013·湖北卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c.已知 cos 2A -3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sinB sin C 的值. 2 18.解:(1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1,得 2cos A+3cos A-2=0, 1 即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得 cos A= 或 cos A=-2(舍去). 2 π 因为 0<A<π ,所以 A= . 3 1 1 3 3 (2)由 S= bc sin A= bc· = bc=5 2 2 2 4
2 2 2

3,得 bc=20,又 b=5,知 c=4.

由余弦定理得 a =b +c -2bc·cos A=25+16-20=21,故 a= 21. b c bc 20 3 5 2 又由正弦定理得 sin Bsin C= sin A· sin A= 2 sin A= × = . a a a 21 4 7 5.C8[2013·湖南卷] 在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B= 3 b,则角 A 等于( ) A. C. π 3 π 6 π B. 4 π D. 12 3 . 2

5.A [解析] 由正弦定理可得 2sin Asin B= 3sin B.又 sin B≠0,所以 sin A= π 因为 A 为锐角,故 A= ,选 A. 3

17.C8[2013·江西卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin Asin B +sin Bsin C+cos 2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列; 2π a (2)若 C= ,求 的值. 3 b 17.解:(1)证明:由题意得 sin Asin B+sin Bsin C=2sin B, 因为 sin B≠0,所以 sin A+sin C=2sin B, 由正弦定理,有 a+c=2b,即 a,b,c 成等差数列. 2π 2 2 2 (2)由 C= ,c=2b-a 及余弦定理得(2b-a) =a +b +ab, 3 a 3 2 即有 5ab-3b =0,所以 = . b 5 6.C8[2013·辽宁卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 asin Bcos C 1 +csin Bcos A= b,且 a>b,则∠B=( 2 A. C. π 6 2π 3 π B. 3 5π D. 6 )
2

- 15 -

1 6.A [解析] 由正弦定理可以得到 sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A= sin B,所以 2 1 1 π 可以得到 sin Acos C+sin Ccos A= ,即 sin(A+C)=sin B= ,则∠B= ,故选 A. 2 2 6 4.C8[2013·新课标全国卷Ⅱ] △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2, π π B= ,C= ,则△ABC 的面积为( 6 4 A.2 C.2 3+2 B. 3+1 3-2 D. 3-1 b c = ? c=2 sin B sin C )

4.B [解析] 7 ∴A= π , 12

2.又 A+B+C=π ,

1 ∴△ABC 的面积为 ×2×2 2 b= 3,则 c=( ) A.2 3 B.2 C. 2

7π 6+ 2 2×sin =2 2× = 3+1. 12 4

7.C8[2013·山东卷] △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 B=2A,a=1, D.1

a b 1 3 3 3 7.B [解析] 由正弦定理 = ,即 = = ,解之得 cosA= , sinA sinB sinA sinB 2sinAcosA 2 π π π 2 2 ∴A= ,B= ,C= ,∴c= a +b = 6 3 2

( 3)

2 +1 =2.
2

9.C8[2013·陕西卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 9.A [解析] 结合已知 bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦定理可知 sin Bcos C+ 2 2 sin Ccos B=sin Asin A,即 sin (B+C)=sin A ? sin A=sin A ? sin A=1,故 A=90°, 故三角形为直角三角形. 16.C7,C8[2013·天津卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 bsin 2 A=3csin B,a=3,cos B= . 3 (1)求 b 的值; π (2)求 sin2B- 的值. 3 a b 16.解:(1)在△ABC 中,由 = ,可得 bsin A=asin B,又由 bsin A=3csin B, sin A sin B 可得 a=3c,又 a=3,故 c=1. 2 2 2 2 由 b =a +c -2accos B,cos B= ,可得 b= 6. 3 2 5 1 2 (2)由 cos B= ,得 sin B= ,进而得 cos 2B=2cos B-1=- ,sin 2B=2sin Bcos 3 3 9

- 16 -

4 B=

5 9

. 5+ 3 . 18

π π π 4 所以 sin2B- =sin 2Bcos -cos 2Bsin = 3 3 3 3 -B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=- . 5 (1)求 sin A 的值; (2)若 a=4

17.C5,C8,F1[2013·四川卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos(A

→ → 2,b=5,求向量BA在BC方向上的投影.

3 17.解:(1)由 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=- , 5 3 得 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=- . 5 3 3 则 cos(A-B+B)=- ,即 cos A=- . 5 5 4 又 0<A<π ,则 sin A= . 5 a b (2)由正弦定理,有 = , sin A sin B bsin A 2 所以,sin B= = . a 2 由题知 a>b,则 A>B,故 B= 根据余弦定理,有 (4 π . 4

? 3? 2 2 2 2) =5 +c -2×5c×?- ?, ? 5?

解得 c=1 或 c=-7(负值舍去). 2 → → → 故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B= . 2 15.H1,C8,E8[2013·四川卷] 在平面直角坐标系内,到点 A(1,2),B(1,5),C(3, 6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是________. 15.(2,4) [解析] 在以 A,B,C,D 为顶点构成的四边形中,由平面几何知识:三角 形两边之和大于第三边,可知当动点落在四边形两条对角线 AC,BD 交点上时,到四个顶点的 距离之和最小.AC 所在直线方程为 y=2x,BD 所在直线方程为 y=-x+6,交点坐标为(2, 4),即为所求. 10.C8[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 2 23cos A+cos 2A=0,a=7,c=6,则 b=( ) A.10 B.9 C.8 D.5 10.D [解析] 由 23cos 2A+cos 2A=0,得 25cos 2A=1.因为△ABC 为锐角三角形,所 1 1 12 2 2 以 cos A= .在△ABC 中,根据余弦定理,得 49=b +36-12b× ,即 b - b-13=0,解得 5 5 5 13 b=5 或- (舍去). 5

- 17 -

18.C8[2013·浙江卷] 在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asin B= 3b. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. 18.解:(1)由 2asin B= sin A= 3 a b 3b 及正弦定理 = ,得 sin A sin B

π .因为 A 是锐角,所以 A= . 2 3

28 2 2 2 2 2 (2)由余弦定理 a =b +c -2bc cos A 得 b +c -bc=36.又 b+c=8,所以 bc= . 3 1 7 3 由三角形面积公式 S= bcsin A,得△ABC 的面积为 . 2 3 18.C5 和 C8[2013·重庆卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a = b +c + 3bc. (1)求 A; (2)设 a= 3,S 为△ABC 的面积,求 S+3cos Bcos C 的最大值,并指出此时 B 的值. b +c -a - 3bc 3 18.解:(1)由余弦定理得 cos A= = =- . 2bc 2bc 2 5π 又因为 0<A<π ,所以 A= . 6 1 (2)由(1)得 sin A= ,又由正弦定理及 a= 3得 2 1 1 asin B S= bcsin A= · ·asin C=3sin Bsin C, 2 2 sin A 因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C)=3cos(B-C). π -A π 所以,当 B=C,即 B= = 时,S+3cos Bcos C 取最大值 3. 2 12
2 2 2 2 2 2

C9

单元综合

21.C8,C9[2013·福建卷] 如图 1-6,在等腰直角△OPQ 中,∠POQ=90°,OP=2 点 M 在线段 PQ 上.

2,

(1)若 OM= 5,求 PM 的长; (2)若点 N 在线段 MQ 上,且∠MON=30°,问:当∠POM 取何值时,△OMN 的面积最小? 并求出面积的最小值.

图 1-6 21.解:(1)在△OMP 中,∠OPM=45°,OM= 5,OP=2 2,
- 18 -

由余弦定理得,OM =OP +MP -2OP·MP·cos 45°,得 MP -4MP+3=0, 解得 MP=1 或 MP=3. (2)设∠POM=α ,0°≤α ≤60°, 在△OMP 中,由正弦定理,得 所以 OM= OM OP = , sin∠OPM sin∠OMP

2

2

2

2

OPsin 45° OPsin 45° ,同理 ON= . sin(45°+α ) sin(75°+α )

1 故 S△OMN= OM·ON·sin∠MON 2 1 OP sin 45° = × 4 sin(45°+α )sin(75°+α ) = = 1 sin(45°+α )sin(45°+α +30°) 1 sin(45°+α )? = 2 = 3 1 ? 3 ? sin(45°+α )+ cos(45°+α )? 2 ?2 ? 1 3 1 2 sin (45°+α )+ sin(45°+α )cos(45°+α ) 2 1 1 [1-cos(90°+2α )]+ sin(90°+2α ) 4 4 1 3 4 = 3 + 3 1 sin 2α + cos 2α 4 4 1
2 2



. 1 + sin(2α +30°) 4 2

因为 0°≤α ≤60°,30°≤2α +30°≤150°,所以当 α =30°时,sin(2α +30°) 的最大值为 1,此时△OMN 的面积取到最小值.即∠POM=30°时,△OMN 的面积的最小值为 8 -4 3. 18.C9[2013·江苏卷] 如图 1-4,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路 径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C. 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动 12 3 的速度为 130 m/min,山路 AC 长为 1 260 m,经测量,cos A= ,cos C= . 13 5 (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围 内?

- 19 -

图 1-4 12 3 18.解:(1)在△ABC 中,因为 cos A= ,cos C= , 13 5 5 4 所以 sin A= ,sin C= , 13 5 从而 sin B=sin[π -(A+C)] =sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C = 5 3 12 4 63 × + × = . 13 5 13 5 65

AB AC 由正弦定理 = ,得 sin C sin B AC 1 260 4 AB= ×sin C= × =1 040(m). sin B 63 5 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m,所以由余弦定理得 12 2 2 2 2 d =(100+50t) +(130t) -2×130t×(100+50t)× =200(37t -70t+50). 13 1 040 因为 0≤t≤ ,即 0≤t≤8, 130 35 故当 t= (min)时,甲、乙两游客距离最短. 37 BC AC (3)由正弦定理 = ,得 sin A sin B AC 1 260 5 BC= ×sin A= × =500(m). sin B 63 13 65 乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 500 710 1 250 625 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3≤ - ≤3,解得 ≤v≤ , v 50 43 14 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在

?1 250,625?(单位:m/min)范围内. ? 43 14 ? ? ?
15.C9[2013·江苏卷] 已知 a =(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β ),0<β <α < π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α ,β 的值. 2 15.解:(1)由题意得|a-b| =2, 2 2 2 即(a-b) =a -2a·b+b =2.

- 20 -

又因为 a =b =|a| =|b| =1,所以 2-2a·b=2,即 a·b=0,故 a⊥b. (2)因为 a+b=(cos α +cos β ,sin α +sin β )=(0,1),
? ?cos α +cos β =0, 所以? ?sin α +sin β =1, ?

2

2

2

2

由此得,cos α =cos(π -β ),由 0<β <π ,得 0<π -β <π , 1 又 0<α <π ,故α =π -β .代入 sin α +sin β =1 得,sin α =sin β = ,而 α >β , 2 5π π 所以 α = ,β = . 6 6 16.C3、C5、C9[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取 得最大值,则 cos θ =________. 2 16.- 5? 5 5 [解析] f(x)=sin x-2cos x=

1 2 ? 1 sin x- 2 cos x? ?,令 cos α = ,sin α = , 5 ? 5 ? 5 5

π 则 f(x)= 5sin(x-α ).当 θ -α =2kπ + , 2 π 即 θ =2kπ + +α (上述 k 为整数)时, 2 2 f(x)取得最大值,此时 cos θ =-sin α =- 5 5 .

9.C9[2013·新课标全国卷Ⅰ] 函数 f(x)=(1-cos x)·sin x 在[-π ,π ]的图像大 致为( )

图 1-2 9.C [解析] 函数 f(x)是奇函数,排除选项 B.当 x∈[0,π ]时 f(x)≥0,排除选项 A. 对函数 f(x)求导, 2 得 f′(x)=sin xsin x+(1-cos x)cos x=-2cos x+cos x+1=-(cos x-1)(2cos 2π 2π x+1),当 0<x<π 时,若 0<x< ,则 f′(x)>0,若 <x<π ,则 f′(x)<0,即函数在(0, 3 3 π )上的极大值点是 x=错误!,故只能是选项 C 中的图像. 1.[2013·成都一诊] 已知 A.3 B.-3 C.2 D.-2 sin cos sin x+cos x 1.C [解析] 由 =3,可变形为 sin x-cos x sin cos x +1 x tan x+1 =3,即 =3,解得 tan x x tan x-1 -1 x
- 21 -

sin x+cos x =3,则 tan x 的值是( sin x-cos x

)

=2 sin x 2.[2013·广安一诊] 已知曲线 y= 在点 M(π ,0)处的切线为 l,若 θ 为 l 的倾斜 x 角,则点 P(sin θ ,tan θ )在( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 ?sin x? ′ = (sin x)′·x-x′·sin x = 2.A [ 解 析 ] 由 题 意 得 y′ = ? ? 2 x ? x ? xcos x-sin x π 1 ,所以 tan θ =kl=y′|x=π =- 2=- <0.又 θ 为 l 的倾斜角,则 0<θ < 2 x π π π ,所以 sin θ >0,所以 P(sin θ ,tan θ )在第四象限. 1? ? 3.[2013·烟台期中] 函数 y=sin x 的定义域为[a,b],值域为?-1, ?,则 b-a 的最 2? ? 大值与最小值之和等于( ) 8π A.4π B. 3 4π C.2π D. 3 π ? π ? 2π π 7π 3. [解析] 由正弦函数的图像知(b-a)min= -?- ?= , C (b-a)max= -(- ) 6 ? 2? 3 6 6 4π = ,所以和为 2π .故选 C. 3 π? ? 4.[2013·许昌模拟] 函数 y=sin?2x- ?的单调递减区间为____________________. 4? ? ?3π +kπ ,7π +kπ ?(k∈Z) [解析] 由π +2kπ ≤2x-π ≤3π +2kπ (k∈Z),得 4.? ? 8 2 4 2 ? 8 ? 3π 7π ?3π +kπ ,7π +kπ ?(k∈Z). +kπ ≤x≤ +kπ (k∈Z),即函数的单调递减区间为? ? 8 8 8 ? 8 ? π 5. [2013·吉林实验中学二模] 把函数 y=sin x(x∈R)的图像上所有点向左平行移动 个 3 1 单位长度,再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到的图像所表示 2 的函数是( ) π? ? A.y=sin?2x- ?,x∈R 3? ? ?x π ? B.y=sin? + ?,x∈R ?2 6 ? π? ? C.y=sin?2x+ ?,x∈R 3? ? 2π ? ? D.y=sin?2x+ ?,x∈R 3 ? ? π 5.C [解析] 将函数 y=sin x(x∈R)的图像上所有点向左平移 个单位长度可得函数 y 3 1 ? π? ? π? =sin?x+ ?的图像,将 y=sin?x+ ?的图像上所有点的横坐标缩小为原来的 (纵坐标不 3? 3? 2 ? ? π? ? 变),可得函数 y=sin?2x+ ?的图像,故选 C. 3? ? 6.[2013·南昌调研] K13-3 图是函数 y=sin(ω x+φ )(x∈R)的部分图像,为了得到 这个函数的图像,只要将 y=sin x(x∈R)的图像上所有点( )
- 22 -

π 1 A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变 3 2 π B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 π 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变 6 2 π D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 5 π 2π π 6.A [解析] 由图像可知原函数的周期为 T= π + =π ,ω = =2,代入 x=- , 6 6 T 6 π? π π ? 由五点法得- ×2+φ =0,解得φ = ,原函数的解析式为 y=sin?2x+ ?.将 y=sin x 3? 6 3 ? π 1 的图像向左平移 个单位长度,再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变, 3 2 π? ? 即可得 y=sin?2x+ ?的图像,故选 A. 3? ?

- 23 -


搜索更多“【备考2014】2013高考数学 (真题+模拟新题分类汇编) 三角函数 文”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com