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最新高考数学(理)一轮复习选修4-5 不等式选讲达标测试(六十六) 不等式的证明习题及答案


课时达标检测(六十六) 不等式的证明 1.已知函 f(x)=|x+3|+|x-1|,其最小值为 t. (1)求 t 的值; 1 4 9 (2)若正实 a,b 满足 a+b=t,求证: + ≥ . a b 4 解:(1)因为|x+3|+|x-1|=|x+3|+|1-x|≥|x+3+1-x|=4,所以 f(x)min=4,即 t=4. a b 1 4 ?1 4??a b? 1 b (2)证明:由(1)得 a+b=4,故 + =1, + =? + ?? + ?= +1+ + 4 4 a b ?a b??4 4? 4 4a a 5 ≥ +2 b 4 4 9 ≥ . b 4 2.设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0 的解集为 M,a,b∈M. 1 ? 1 ?1 (1)证明:? a+ b?< ; 6 ? 4 ?3 (2)比较|1-4ab|与 2|a-b|的大小,并说明由. b a 5 9 4 8 1 × = +1= ,当且仅当 b=2a,即 a= ,b= 时取等号,故 + 4a b 4 4 3 3 a ?3,x≤-2, 解:(1)证明:记 f(x)=|x-1|-|x+2|=?-2x-1,-2<x<1, ?-3,x≥1. 1 1 由-2<-2x-1<0 解得- <x< , 2 2 ? 1 1? 则 M=?- , ?. ? 2 2? 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 ?1 所以? a+ b?≤ |a|+ |b|< × + × = . 6 ? 3 6 3 2 6 2 4 ?3 1 1 (2)由(1)得 a2< ,b2< . 4 4 因为 |1 - 4ab|2 - 4|a - b|2 = (1 - 8ab + 16a2b2) - 4(a2 - 2ab + b2) = (4a2 - 1)(4b2-1)>0. 所以|1-4ab|2>4|a-b|2,故|1-4ab|>2|a-b|. 3.(2017·广州模拟)已知定义在 R 上的函 f(x)=|x-m|+|x|,m∈N*,存 在实 x 使 f(x)<2 成立. (1)求实 m 的值; (2)若 α,β≥1,f(α)+f(β)=4,求证: 4 α β + 1 ≥3. 解:(1)因为|x-m|+|x|≥|(x-m)-x|=|m|. 要使不等式|x-m|+|x|<2 有解,则|m|<2,解得-2<m<2. 因为 m∈N*,所以 m=1. (2)因为 α,β≥1,f(x)=2x-1(x≥1), 所以 f(α)+f(β)=2α-1+2β-1=4,即 α+β=3, 所以 1? 1? 4 = ? + ?(α+β) α β 3?α β? 4 + 1 4β α? 1? + ? = ?5+ α β? 3? 1? ≥ ?5+2 3? (当且仅当 故 4 + 1 4β α 4β · α? ?=3. β? α = α ,即 α=2,β=1 时等号成立) β α β ≥3. 4.(1)已知 a,b 都是正,且 a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2; a2b2+b2c2+c2a2 (2)已知 a,b,c 都是正,求证: ≥abc. a+b+c 证明:(1)(a +b )-(a b+ab )=(a+b)(a-b) . 因为 a,b 都是正, 所以 a+b>0. 又因为 a≠b, 所以(a-b)2>0. 于是(a+b)(a-b)2>0, 3 3 2 2 2 即(a3+b3)-(a2b+ab2)>0, 所以 a3+b3>a2b+ab2. (2)因为 b2+c2≥2bc,a2>0, 所以 a2(b2+c2)≥2a2bc.① 同,b2(a2+c2)≥2ab2c.② c2(a2+b2)≥2abc2.③ ①②③相加得 2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2a2bc+2ab2c+2abc2,从而 a2b2+b2c2+ c2a2≥abc(a+b+c). 由 a,b,c 都是正,得 a+b+c>0, a2b2+b2c2+c2a2 因此 ≥abc(当且仅当 a=b=c 时取等号). a+b+c 5.已知 x,y∈R,且|x|<1,|y|<1. 求证: 1 1 2 . 2+ 2≥ 1-x 1-y 1-xy 2 1-x2+1-y2 证明:∵ ≤ 1 1 2 2+ 2 1-x 1-y 2-?x2+y2? 2-2|xy| = ≤ =1-|xy|, 2 2 1 1 2 2 ∴ ≥ , 2+ 2≥ 1-x 1-y 1-|xy| 1-xy ∴原不等式成立. 6.(2017·长沙模拟)设 α,β,γ 均为实. (1)证明:|cos(α+β)|≤|cos α|+|sin β|,|sin(α+β)|≤|cos α| +|cos β|; (2)若 α+β+γ=0,证明:|cos α|+|cos β|+|cos γ|≥1. 证明:(1)|cos(α+β)|=|cos αcos β-sin αsin β|≤|cos αcos β| +|sin αsin β|≤|cos α|+|sin β|; |sin(α+β)|=|sin αcos β+cos αsin β|≤|sin αcos β|+|cos αsin β|≤|cos α|+|cos β|. (2) 由 (1) 知,|cos|≤|cos α|+ |sin(β+ γ)|≤|cos α| + |cos β| + |cos γ|, 而 α+β+γ=0,故|cos α|+|cos β|+|cos γ|≥cos 0=1. 7.(2017·重庆模拟)设 a,b,c∈R+且 a+b+c=1. c2 1 求证:(1)2ab+bc+ca+ ≤ ; 2 2 (2) a2+c2 b2+a2 c2+b2 + + ≥2. b c a 证明:(1)因为 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥4ab+2bc+ 2ca+c2, 当且仅当 a=b 时等号成立, c2 1 1 所以 2ab+bc+ca+ = (4ab+2bc+2ca+c

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