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【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义:第七章 7.6


§ 7.6

数学归纳法

数学归纳法 证明某些与正整数 n 有关的命题,它的基本步骤是: (1)验证:当 n 取第一个值 n0(如 n0=1 或 2 等)时,命题成立; (2)在假设当 n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立的前提下,推出当 n=k+1 时,命题成立. 根据(1)(2)可以断定命题对一切从 n0 开始的正整数 n 都成立.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当 n=1 时结论成立. (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明. (3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用. ( × ( × ( × ) ) )

(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由 n=k 到 n=k+1 时,项数都增加 了一项.
+ +

( ×

)

(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+?+2n 2=2n 3-1”, 验证 n=1 时, 左边式子应 为 1+2+22+23. (6)用数学归纳法证明凸 n 边形的内角和公式时,n0=3. ( √ ( √ ) ) )

1 2.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步检验 n 等于 ( 2 A.1 答案 C 解析 凸 n 边形的边最少有三条,故第一个值 n0 取 3. 1 1 1 3.若 f(n)=1+ + +?+ (n∈N+),则 f(1)为 2 3 6n-1 A.1 1 B. 5 1 1 1 1 C.1+ + + + 2 3 4 5 D.非以上答案 答案 C ( B.2 C.3 D.0

)

解析 等式右边的分母是从 1 开始的连续的自然数, 且最大分母为 6n-1, 则当 n=1 时, 最大分母为 5,故选 C. 1 1 1 4.设 f(n)= + +?+ ,n∈N+,那么 f(n+1)-f(n)=________. n+1 n+2 n+n 答案 解析 +?+ 1 1 - 2n+1 2n+2 f(n + 1) - f(n) = 1 1 1 1 1 1 1 + +?+ + + -( + n+2 n+3 n+n n+1+n n+1+n+1 n+1 n+2

1 1 1 1 1 1 )= + - = - . n+n 2n+1 2n+2 n+1 2n+1 2n+2

1 1 1 5.用数学归纳法证明:“1+ + +?+ n <n(n∈N+,n>1)”时,由 n=k(k>1)不等式成 2 3 2 -1 立,推理 n=k+1 时,左边应增加的项数是________. 答案 2k 1 1 1 解析 当 n=k 时,要证的式子为 1+ + +?+ k <k; 2 3 2 -1 1 1 1 1 1 1 当 n=k+1 时,要证的式子为 1+ + +?+ k + k+ k +?+ k+1 <k+1. 2 3 2 -1 2 2 +1 2 -1 左边增加了 2k 项.

题型一 用数学归纳法证明等式 例1 求证:(n+1)(n+2)· ?· (n+n)=2n· 1· 3· 5· ?· (2n-1)(n∈N+). 思维启迪 证明时注意等式两边从 n=k 到 n=k+1 时的变化. 证明 ①当 n=1 时,等式左边=2,右边=2,故等式成立; ②假设当 n=k(k∈N+)时等式成立, 即(k+1)(k+2)· ?· (k+k)=2k· 1· 3· 5· ?· (2k-1), 那么当 n=k+1 时, 左边=(k+1+1)(k+1+2)· ?· (k+1+k+1) =(k+2)(k+3)· ?· (k+k)(2k+1)(2k+2) =2k· 1· 3· 5· ?· (2k-1)(2k+1)· 2 =2k 1· 1· 3· 5· ?· (2k-1)(2k+1),


这就是说当 n=k+1 时等式也成立. 由①②可知,对所有 n∈N+等式成立. 思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值 n0 的取值并验证 n=n0 时等式成立.

(2)由 n=k 证明 n=k+1 时,弄清左边增加的项,且明确变形目标. (3)掌握恒等变形常用的方法:①因式分解;②添拆项;③配方法. 1 1 1 用数学归纳法证明:对任意的 n∈N+, + +?+ = 1×3 3×5 ?2n-1??2n+1? n . 2n+1 证明 右边= 1 1 (1)当 n=1 时,左边= = , 1×3 3 1 1 = , 2×1+1 3

左边=右边,所以等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N+)时等式成立,即有 1 1 1 k + +?+ = , 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? 2k+1 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 + +?+ + 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? ?2k+1??2k+3? = k?2k+3?+1 k 1 + = 2k+1 ?2k+1??2k+3? ?2k+1??2k+3?

2k2+3k+1 k+1 k+1 = = = , ?2k+1??2k+3? 2k+3 2?k+1?+1 所以当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切 n∈N+等式都成立. 题型二 用数学归纳法证明不等式 例2 3 1 1 1 1 已知函数 f(x)=ax- x2 的最大值不大于 ,又当 x∈[ , ]时,f(x)≥ . 2 6 4 2 8 (1)求 a 的值; 1 1 (2)设 0<a1< ,an+1=f(an),n∈N+,证明:an< . 2 n+1 思维启迪 (1)利用题中条件分别确定 a 的范围,进而求 a;

(2)利用数学归纳法证明. (1)解 3 3 a a2 由题意,知 f(x)=ax- x2=- (x- )2+ . 2 2 3 6

1 a a2 1 又 f(x)max≤ ,所以 f( )= ≤ . 6 3 6 6 所以 a2≤1. 1 1 1 又 x∈[ , ]时,f(x)≥ , 4 2 8

?f?2?≥8, 所以? 1 1 ?f?4?≥8,
解得 a≥1.

1

1

?2-8≥8, 即? a 3 1 ?4-32≥8,

a 3 1

又因为 a2≤1,所以 a=1. (2)证明 用数学归纳法证明: 1 ①当 n=1 时,0<a1< ,显然结论成立. 2 1 1 因为当 x∈(0, )时,0<f(x)≤ , 2 6 1 1 所以 0<a2=f(a1)≤ < . 6 3 故 n=2 时,原不等式也成立. ②假设当 n=k(k≥2,k∈N+)时,不等式 0<ak< 3 1 因为 f(x)=ax- x2 的对称轴为直线 x= , 2 3 1 所以当 x∈(0, ]时,f(x)为增函数. 3 1 1 1 所以由 0<ak< ≤ ,得 0<f(ak)<f( ). k+1 3 k+1 k+4 1 3 1 1 1 1 1 于是,0<ak+1=f(ak)< - · - = - < . 2+ 2 2 k+1 ?k+1? k+2 k+2 k+2 2?k+1? ?k+2? k+2 所以当 n=k+1 时,原不等式也成立. 1 根据①②,知对任何 n∈N+,不等式 an< 成立. n+1 思维升华 用数学归纳法证明不等式的关键是由 n=k 时命题成立证 n=k+1 时命题也成 立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应 用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化. 1 1 用数学归纳法证明:对一切大于 1 的自然数,不等式(1+ )(1+ )· ?· (1+ 3 5 2n+1 1 )> 均成立. 2 2n-1 证明 右边= 1 4 (1)当 n=2 时,左边=1+ = ; 3 3 5 . 2 1 成立. k+1

∵左边>右边,∴不等式成立. (2)假设 n=k(k≥2,且 k∈N+)时不等式成立,即

2k+1 1 1 1 (1+ )(1+ )· ?· (1+ )> . 3 5 2 2k-1 则当 n=k+1 时, 2k+1 2k+2 2k+2 1 1 1 1 (1+ )(1+ )· ?· (1+ )[1+ ]> · = 3 5 2 2k-1 2?k+1?-1 2k+1 2 2k+1 = 4k2+8k+4 4k2+8k+3 > 2 2k+1 2 2k+1 2k+3 2k+1 2?k+1?+1 = . 2 2 2k+1



∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)(2)知,对于一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立. 题型三 归纳—猜想—证明 例3 an 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn= + -1,且 an>0,n∈N+. 2 an (1)求 a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式; (2)证明通项公式的正确性. 思维启迪 通过计算 a1,a2,a3 寻求规律猜想{an}的通项公式,然后用数学归纳法证明. (1)解 当 n=1 时, a1 1 由已知得 a1= + -1,a2 1+2a1-2=0. 2 a1 ∴a1= 3-1(a1>0). a2 1 当 n=2 时,由已知得 a1+a2= + -1, 2 a2 将 a1= 3-1 代入并整理得 a2 2+2 3a2-2=0. ∴a2= 5- 3(a2>0). 同理可得 a3= 7- 5. 猜想 an= 2n+1- 2n-1(n∈N+). (2)证明 ①由(1)知,当 n=1,2,3 时,通项公式成立. ②假设当 n=k(k≥3,k∈N+)时,通项公式成立, 即 ak= 2k+1- 2k-1. ak+1 1 ak 1 由 ak+1=Sk+1-Sk= + - - , 2 ak+1 2 ak 将 ak= 2k+1- 2k-1代入上式并整理得 a2 k+1+2 2k+1ak+1-2=0, 解得:ak+1= 2k+3- 2k+1(an>0).

即当 n=k+1 时,通项公式也成立. 由①和②,可知对所有 n∈N+,an= 2n+1- 2n-1都成立. 思维升华 (1)猜想{an}的通项公式是一个由特殊到一般的过程,注意两点:①准确计算

a1,a2,a3 发现规律(必要时可多计算几项);②证明 ak+1 时,ak+1 的求解过程与 a2、a3 的求解过程相似,注意体会特殊性与一般性的辩证关系. (2)“归纳—猜想—证明”的模式,是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式, 这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用,它的模式是先由合情推理发 现结论,然后经逻辑推理证明结论的正确性,这种思维方式是推动数学研究和发展的重 要方式. 1 已知函数 f(x)= x3-x,数列{an}满足条件:a1≥1,an+1≥f′(an+1),试比 3 较 解 1 1 1 1 + + +?+ 与 1 的大小,并说明理由. 1+a1 1+a2 1+a3 1+an ∵f′(x)=x2-1,且 an+1≥f′(an+1),

∴an+1≥(an+1)2-1, ∵函数 g(x)=(x+1)2-1 在[1,+∞)上单调递增. 于是由 a1≥1 得 a2≥(a1+1)2-1≥22-1, 进而 a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1, 由此猜想:an≥2n-1. 下面用数学归纳法证明这个猜想: ①当 n=1 时,a1≥21-1=1,结论成立; ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N+)时结论成立,即 ak≥2k-1. 当 n=k+1 时, 由 g(x)=(x+1)2-1 在区间[1, +∞)上单调递增知 ak+1≥(ak+1)2-1≥22k -1≥2k 1-1,


即 n=k+1 时,结论也成立. 由①②知,对任意 n∈N+,都有 an≥2n-1, 1 1 即 1+an≥2n,∴ ≤ n, 1+an 2 ∴ 1 1 1 1 + + +?+ 1+a1 1+a2 1+a3 1+an

1 1 1 1 1 ≤ + 2+ 3+?+ n=1-( )n<1. 2 2 2 2 2

归纳—猜想—证明问题 ax ,令 a1=1,an+1=f(an),n∈N+. a+x

典例:(12 分)设 a>0,f(x)=

(1)写出 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论. 思维启迪 通过计算 a2,a3,a4 观察规律猜想 an,然后用数学归纳法证明. 规范解答 (1)解 ∵a1=1,∴a2=f(a1)=f(1)= a a a ;a3=f(a2)= ;a4=f(a3)= . [2 分] 1+a 2+a 3+a [4 分] [6 分] [8 分]

a 猜想 an= (n∈N+). ?n-1?+a (2)证明 ①易知,n=1 时,猜想正确. a ②假设 n=k 时猜想正确,即 ak= , ?k-1?+a a a· ? k - 1 ?+a a· ak 则 ak+1=f(ak)= = a a+ak a+ ?k-1?+a = a a = . ?k-1?+a+1 [?k+1?-1]+a

这说明,n=k+1 时猜想正确. a 由①②知,对于任何 n∈N+,都有 an= . ?n-1?+a

[11 分] [12 分]

归纳—猜想—证明问题的一般步骤: 第一步:计算数列前几项或特殊情况,观察规律猜测数列的通项或一般结论; 第二步:验证一般结论对第一个值 n0(n0∈N+)成立. 第三步:假设 n=k(k≥n0)时结论成立,证明当 n=k+1 时结论也成立. 第四步:下结论,由上可知结论对任意 n≥n0,n∈N+成立. 温馨提醒 解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时,还有以下几点容 易造成失分,在备考时要高度关注: (1)归纳整理不到位得不出正确结果,从而给猜想造成困难. (2)证明 n=k 到 n=k+1 这一步时,忽略了假设条件去证明,造成使用的不是纯正的数

学归纳法. (3)不等式证明过程中,不能正确合理地运用分析法、综合法来求证. 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧,只有这样,才能快速正确地解决 问题.

方法与技巧 1.数学归纳法的两个步骤相互依存,缺一不可 有一无二,是不完全归纳法,结论不一定可靠;有二无一,第二步就失去了递推的基础. 2.归纳假设的作用 在用数学归纳法证明问题时,对于归纳假设要注意以下两点: (1)归纳假设就是已知条件;(2)在推证 n=k+1 时,必须用上归纳假设. 3.利用归纳假设的技巧 在推证 n=k+1 时,可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标,又 要掌握 n=k 与 n=k+1 之间的关系.在推证时,分析法、综合法、反证法等方法都可以 应用. 失误与防范 1.数学归纳法证题时初始值 n0 不一定是 1; 2.推证 n=k+1 时一定要用上 n=k 时的假设,否则不是数学归纳法.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1.用数学归纳法证明 2n>2n+1,n 的第一个取值应是 A.1 答案 C 解析 ∵n=1 时,21=1,2×1+1=3,2n>2n+1 不成立; n=2 时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1 不成立; n=3 时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1 成立. ∴n 的第一个取值应是 3. 1-an 2 + 2.用数学归纳法证明“1+a+a2+?+an 1= (a≠1)”,在验证 n=1 时,左端计算所 1-a


(

)

B.2

C.3

D.4

得的项为 A.1 C.1+a+a2 答案 C B.1+a D.1+a+a2+a3

(

)

3.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)· ?· (n+n)=2n· 1· 2· ?· (2n-1)(n∈N+)”时,从“n=k 到 n =k+1”时,左边应增添的式子是 A.2k+1 C.2(2k+1) 答案 C 解析 左边应增添的式子等于 ?k+2??k+3?· ?· [?k+1?+?k+1?] ?k+1??k+2?· ?· ?k+k? = ?k+2??k+3?· ?· ?2k??2k+1??2k+2? ?k+1??k+2?· ?· ?2k? B.2k+3 D.2(2k+3) ( )

=2(2k+1). 4.对于不等式 n2+n<n+1(n∈N+),某同学用数学归纳法证明的过程如下: (1)当 n=1 时, 12+1<1+1,不等式成立. (2) 假 设 当 n = k(k∈N + ) 时 , 不 等 式 成 立 , 即 k2+k <k + 1 , 则 当 n = k + 1 时 , ?k+1?2+?k+1?= k2+3k+2< ?k2+3k+2?+?k+2?= ?k+2?2=(k+1)+1. ∴当 n=k+1 时,不等式成立,则上述证法 A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 答案 D 解析 在 n=k+1 时,没有应用 n=k 时的假设,不是数学归纳法. 1 5.在数列{an}中,a1= ,且 Sn=n(2n-1)an,通过求 a2,a3,a4,猜想 an 的表达式为( 3 1 A. ?n-1??n+1? 1 C. ?2n-1??2n+1? 答案 C 1 1 解析 当 n=2 时, +a2=(2×3)a2,∴a2= . 3 3×5 1 B. 2n?2n+1? 1 D. ?2n+1??2n+2? ) ( )

1 1 1 当 n=3 时, + +a3=(3×5)a3,∴a3= . 3 15 5×7 1 故猜想 an= . ?2n-1??2n+1? 二、填空题 1 1 1 1 6.设 Sn=1+ + + +?+ n,则 Sn+1-Sn=________. 2 3 4 2 答案 1 1 1 1 + + +?+ n n 2n+1 2n+2 2n+3 2 +2

1 1 1 1 解析 ∵Sn+1=1+ +?+ n+ n +?+ n n, 2 2 2 +1 2 +2 1 1 1 1 Sn=1+ + + +?+ n, 2 3 4 2 1 1 1 1 ∴Sn+1-Sn= n + n + n +?+ n n. 2 +1 2 +2 2 +3 2 +2 7.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,当第二步假设 n=2k- 1(k∈N+)命题为真时,进而需证 n=________时,命题亦真. 答案 2k+1 解析 因为 n 为正奇数,所以与 2k-1 相邻的下一个奇数是 2k+1. 8. 设平面内有 n 条直线(n≥3), 其中有且仅有两条直线互相平行, 任意三条直线不过同一点. 若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个数,则 f(4)=________;当 n>4 时,f(n)=________(用 n 表示). 答案 5 解析 1 (n+1)(n-2) 2

f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,

f(n)=f(3)+3+4+?+(n-1)=2+3+4+?+(n-1) 1 = (n+1)(n-2). 2 三、解答题 9.用数学归纳法证明下面的等式 12-22+32-42+?+(-1)n 1· n2=(-1)n
- -1

n?n+1? . 2

证明

(1)当 n=1 时,左边=12=1,

1×?1+1? 右边=(-1)0· =1, 2 ∴原等式成立. (2)假设 n=k(k∈N+,k≥1)时,等式成立, 即有 12-22+32-42+?+(-1)k 1· k2


=(-1)k

-1

k?k+1? . 2

那么,当 n=k+1 时,则有 12-22+32-42+?+(-1)k 1· k2+(-1)k(k+1)2


=(-1)k

-1

k?k+1? +(-1)k· (k+1)2 2

k+1 ?k+1??k+2? =(-1)k· [-k+2(k+1)]=(-1)k . 2 2 ∴n=k+1 时,等式也成立, 由(1)(2)知对任意 n∈N+有 12-22+32-42+?+(-1)n 1· n2=(-1)n
- -1

n?n+1? . 2

2 2 10.已知数列{an},an≥0,a1=0,an +1+an+1-1=an.

求证:当 n∈N+时,an<an+1. 证明 (1)当 n=1 时,因为 a2 是方程 a2 2+a2-1=0 的正根,所以 a1<a2.

(2)假设当 n=k(k∈N+,k≥1)时,0≤ak<ak+1,
2 2 2 则由 a2 k+1-ak =(ak+2+ak+2-1)-(ak+1+ak+1-1)

=(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1)>0, 得 ak+1<ak+2,即当 n=k+1 时,an<an+1 也成立, 根据(1)和(2),可知 an<an+1 对任何 n∈N+都成立. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) n4+n2 1.用数学归纳法证明 1+2+3+?+n2= ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加 2 上 A.k +1 B.(k+1)2 ?k+1?4+?k+1?2 C. 2 D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2 答案 D 解析 等式左边是从 1 开始的连续自然数的和,直到 n2. 故 n=k+1 时,最后一项是(k+1)2,而 n=k 时,最后一项是 k2,应加上(k2+1)+(k2+2) +(k2+3)+?+(k+1)2. 2.下列代数式(其中 k∈N+)能被 9 整除的是 A.6+6· 7k B.2+7k
-1

(
2

)

(

)

C.2(2+7k 1)


D.3(2+7k)

答案 D 解析 (1)当 k=1 时,显然只有 3(2+7k)能被 9 整除.

(2)假设当 k=n(n∈N+)时,命题成立, 即 3(2+7n)能被 9 整除, 那么当 k=n+1 时有 3(2+7n 1)=21(2+7n)-36.


这就是说,k=n+1 时命题也成立. 由(1)(2)知,命题对 k∈N+成立. 1 3. 已知数列{an}满足 a1=1, an+1= an+1(n∈N+), 通过计算 a1, a2, a3, a4, 可猜想 an=_____. 2 答案 2n-1 - 2n 1

1 3 解析 ∵a1=1,∴a2= a1+1= , 2 2 1 7 1 15 a3= a2+1= ,a4= a3+1= . 2 4 2 8 2n-1 猜想 an= n-1 . 2 1 1 1 1 3 1 4.已知 f(n)=1+ 3+ 3+ 3+?+ 3,g(n)= - 2,n∈N+. 2 3 4 n 2 2n (1)当 n=1,2,3 时,试比较 f(n)与 g(n)的大小; (2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系,并给出证明. 解 (1)当 n=1 时,f(1)=1,g(1)=1,所以 f(1)=g(1);

9 11 当 n=2 时,f(2)= ,g(2)= ,所以 f(2)<g(2); 8 8 251 312 当 n=3 时,f(3)= ,g(3)= ,所以 f(3)<g(3). 216 216 (2)由(1),猜想 f(n)≤g(n),下面用数学归纳法给出证明. ①当 n=1,2,3 时,不等式显然成立, ②假设当 n=k(k≥3)时不等式成立,即 1 1 1 1 3 1 1+ 3+ 3+ 3+?+ 3< - 2. 2 3 4 k 2 2k 1 3 1 1 那么,当 n=k+1 时,f(k+1)=f(k)+ < - 2+ . ?k+1?3 2 2k ?k+1?3 1 1 1 因为 ] 2-[ 2- 2 k 2?k+1? ?k+1?3 = k+3 -3k-1 1 - 2= <0, 2?k+1?3 2k 2?k+1?3k2

3 1 所以 f(k+1)< - =g(k+1). 2 2?k+1?2 由①②可知,对一切 n∈N+,都有 f(n)≤g(n)成立. 1 1 1 a 5.若不等式 + +?+ > 对一切正整数 n 都成立,求正整数 a 的最大值,并 24 n+1 n+2 3n+1 证明结论. 1 1 1 a 解 当 n=1 时, + + > , 1+1 1+2 3+1 24 即 26 a > ,所以 a<26. 24 24

而 a 是正整数,所以取 a=25,下面用数学归纳法证明 1 1 1 25 + +?+ > . 24 n+1 n+2 3n+1 (1)当 n=1 时,已证得不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N+)时,不等式成立, 即 1 1 1 25 + +?+ > . k+1 k+2 3k+1 24

则当 n=k+1 时, 有 = 1 1 1 + +?+ ?k+1?+1 ?k+1?+2 3?k+1?+1 1 1 1 1 1 1 1 25 1 1 + +?+ + + + - > +[ + - k+1 k+2 3k+1 3k+2 3k+3 3k+4 k+1 24 3k+2 3k+4

2 ]. 3?k+1? 6?k+1? 1 1 2 2 因为 + - = - 3k+2 3k+4 3?k+1? ?3k+2??3k+4? 3?k+1? = = 18?k+1?2-2?9k2+18k+8? ?3k+2??3k+4??3k+3? 2 >0, ?3k+2??3k+4??3k+3?

所以当 n=k+1 时不等式也成立. 1 1 1 25 由(1)(2)知, 对一切正整数 n, 都有 + +?+ > , 所以 a 的最大值等于 25. n+1 n+2 3n+1 24


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