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河北省唐山市2013—2014学年度高三年级摸底考试--数学(理)


河北省唐山市 2013-2014 学年度高三年级摸底考试

数学(理)试题
说明: 1.本试卷分为第Ⅰ卷和第 II 卷.第Ⅰ卷为选择题;第 II 卷为非选择题,分为必考和选考两部 分。 2.答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题。 3.做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改动,用橡 皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案。 4.考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一 项符合题目要求. 1.已知复数 z 满足 z(1+i)=i,则复数 z 的共轭复数为 A.

1 1 ? i 2 2

B.

1 1 ? i 2 2

C.1+i

D.1-i

2.设 U=R,已知集合 A={x|x ? 1},B={x|x ? a},且( ?U A ) ? B ? R ,则实数 A 的 取值范围是 A. (??,1) B. (1, ??) C. ? ??,1? D. ?1, ?? ?

3.已知点 A(6,2) ,B(l,14) ,则与 AB 共线的单位向量为 A. ? ?

??? ?

? 5 12 ? ? 5 12 ? , ?或? , ? ? ? 13 13 ? ? 13 13 ?

B. ?

? 5 12 ? ,? ? ? 13 13 ? ? 5 12 ? , ? ? 13 13 ?

C. ?

? 12 5 ? ? 12 5 ? , ? ?或? ? , ? ? 13 13 ? ? 13 13 ?

D. ? ?

4.已知 sin2a=

?? ? 1 ,则 cos2 ? ? ? 4 ? ? ? ? 3
2 3 1 D. ? 3
B. ?

2 3 1 C. 3
A.

5.执行右面的程序框图,那么输出 S 的值为 A.9 B.10 C.45 D.55

6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S5=13,S15=63,则 S20= A.100 B.90 C.120 D.110 7.某几何体的三视图如图所示,则它的侧面积为 A. 24 2 C.24 B. 12 5 D. 12 3

x2 y 2 8.已知双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 Fl,F2,以 F1 F2 为直径的圆与双曲线 a b
渐近线的一个交点为(3,4) ,则此双曲线的方程为 A.

x2 y 2 ? ?1 16 9

B.

x2 y 2 ? ?1 3 4

C.

x2 y 2 ? ?1 9 16

D.

x2 y 2 ? ?1 4 3

9. 直三棱柱 ABC-A1B1 C1 的六个顶点都在球 O 的球面上. AB=BC=1, ∠ABC=120o, 1=2 3 , 若 AA 则球 O 的表面积为 A. 4? B. 16? C. 24? D. 8? 10.设函数 f(x)=x2-23x+60, g(x)=f(x)+|f(x)|,则 g(1)+g(2)+…+g(20)= A.0 B.38 C. 56 D.112 11.在长度为 3 的线段上随机取两点,将其分成三条线段,则恰有两条线段的长大于 1 的概率为 A.

2 3

B.

5 9

C.

1 9

D.

1 3

12.设 x,y∈R,则(3-4y-cosx)2+(4+3y+sinx)2 的最小值为 A.4 B.5 C.16

D.25

第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在题中横线上. 13.过坐标原点与曲线 y=lnx 相切的直线方程为 。 2 2 2 14.抛物线 y =2px (p>0)的准线截圆 x +y -2y-1=0 所得弦长为 2,则 p= 15.若存在正数 x,使 2x+a>4x 成立,则实数 a 的取值范围是 。 16.已知数列{an}满足 a1=0,a2=1, an ? 2 ? 3an ?1 ? 2an ,则{an}的前 n 项和 Sn=





三、解答题:本大题共 70 分,其中 17—21 题为必考题,22,23,24 题为选考题.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.己知 csin A= (I)求 C; (II)若 c= 7 ,且 sin C ? sin( B ? A) ? 3sin 2 A, 求△ ABC 的面积。

3 acos C.

18. (本小题满分 12 分) 从某校高三上学期期末数学考试成绩中,随机抽取了 60 名学生的成绩得到频率分布直方图如 下:

(I)根据频率分布直方图,估计该校高三学生本次数学考试的平均分; (II)以上述样本的频率作为概率,从该校高三学生中有放回地抽取 3 人,记抽到的学生成绩不 低于 90 分的人数为 X;求 X 的分布列和期望.

19. (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD、ADEF、ABGF 均为全等的直角梯形,且 BC∥AD, AB=AD=2BC. (I)求证:CE∥平面 ABGF; (II)求二面角 G-CE-D 的余弦值。

20. (本小题满分 12 分) 已知点 M 是椭圆 C:

x2 y2 ? =1(a>b>0)上一点,F1、F2 分别为 C 的左、右焦点,|F1F2|=4, a 2 b2
4 3 3

∠F1MF2 =60o,∠F1 MF2 的面积为

(I)求椭圆 C 的方程; ( II)设 N(0,2),过点 p(-1,-2)作直线 l,交椭圆 C 异于 N 的 A、B 两点,直线 NA、NB 的 斜率分别为 k1、k2,证明:k1+k2 为定值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=21n x-ax+a(a∈R) . (I)讨论 f(x)的单调性; (II)若 f(x)≤0 恒成立,证明:当 0<x1<x2 时,

?1 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? ? 1? . x2 ? x1 ? x1 ?

请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 为圆 O 的直径,CD 为垂直于 AB 的一条弦,垂足为 E,弦 BM 与 CD 交于点 F. (I)证明:A、E、F、M 四点共圆; (II)证明:AC2+BF· BM=AB2.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴.已知

1 ? ?x ? 2 ? 2 t ? 2 , (t 为参数) 直线 l 的参数方程为 ? ,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin ? ? 8cos ? . ?y ? 3 t ? ? 2
(I)求 C 的直角坐标方程; (II)设直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求弦长|AB|.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x+l|-|x-2|. (I)求不等式 f(x)≥2 的解集; (II)若不等式 f(x)≤|a-2|的解集为 R,求实数 a 的取值范围.

参考答案

(18)解: (Ⅰ)由频率分布直方图,得该校高三学生本次数学考试的平均分为 0.0050× 40+0.0075× 60+0.0075× 80+0.0150× 100 20× 20× 20× 20× +0.0125× 120+0.0025× 140=92. 20× 20× …5 分 (Ⅱ)样本中成绩不低于 90 分的频率为 0.0150× 20+0.0125× 20+0.0025× 20=0.6, 所以从该校高三学生中随机抽取 1 人,分数不低于 90 分的概率为 0.6. …7 分 - k 由题意,X~B (3,0.6),P(X=k)=C30.6k0.43 k(k=0,1,2,3) , 其概率分布列为: X P X 的期望为 E(X)=3× 0.6=1.8. (19)解: (Ⅰ)连结 BF,由题意,可知 BC∥EF, ? 故四边形 BCEF 是平行四边形,所以 CE∥BF. 又 CE?平面 ABGF,BF?平面 ABGF, / 所以 CE∥平面 ABGF. …5 分 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216 …10 分 …12 分

z F G E

A B x C

D y

(21)解: 2-ax (Ⅰ)f ?(x)= ,x>0. x 若 a≤0,f ?(x)>0,f (x)在(0,+∞)上递增;

若 a>0,当 x∈ 0,

( 2 )时,f ?(x)>0,f (x)单调递增; a 2 当 x∈( ,+∞)时,f ?(x)<0,f (x)单调递减. a ( )

…5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,若 a≤0,f (x)在(0,+∞)上递增, 又 f (1)=0,故 f (x)≤0 不恒成立. 2 若 a>2,当 x∈ ,1 时,f (x)递减,f (x)>f (1)=0,不合题意. a 2 若 0<a<2,当 x∈ 1, 时,f (x)递增,f (x)>f (1)=0,不合题意. a 若 a=2,f (x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, f (x)≤f (1)=0,合题意. 故 a=2,且 ln x≤x-1(当且仅当 x=1 时取“=”) . x2 当 0<x1<x2 时,f (x2)-f (x1)=2ln -2(x2-x1)+2 x1 x2 <2 -1 -2(x2-x1)+2 x1 1 =2 -1 (x2-x1), x1 f (x2)-f (x1) 1 所以 <2 -1 . x1 x2-x1

(

)

…8 分

( (

) )

(

)

…12 分

(24)解:

?-3, x≤-1, ? (Ⅰ)f (x)=?2x-1,-1<x<2, ? x≥2. ?3,
当 x≤-1 时,f (x)≥2 不成立;

…2 分


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