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山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2015届高三第一次联考数学文试题含解析


山西省忻州一中等四校 2015 届高三第一次联考

数学试题(文)
【试卷综析】本试卷是高三理科试卷,以基础知识和基本技能为载体,以能力测试为主导, 在注重考查学科核心知识的同时, 突出考查考纲要求的基本能力, 重视学生科学素养运算能 力的考查.知识考查注重基础、突出主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查:集合、不等式、 复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、 、 三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、概率等;考查学生分析问题解决问题的综合能 力,是份较好的试卷.

第Ⅰ卷

客观卷 共 60 分

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项. 请将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)
x 【题文】1. 已知集合 M ? x 2 ? 1 , N ? x x ? 2 ,则 M ? N ?

?

?

?

?

A. [1,2] 【知识点】集合运算 A1

B. [0,2]

C. [-1,1]

D. (0,2)

【答案解析】B 由题意得 M=

?0, ???

N=

??2, 2?

? M ? N ? [0,2]故选 B

【思路点拨】先算出两个集合再求交集。 【题文】2. 若为虚数单位 ,则 ? i ? A. ? 2i B. 0

1? i ? 1? i
C.

1 i 2

D. 2i

【知识点】复数的基本概念与运算 L4 【答案解析】A ? i ?

?2i 1? i ? -i=-i-i=-2i 故选 A 1? i 2

【思路点拨】先化简分式子分子分母同时乘以 1-i 得到结果 【题文】3. 集合 A ? ?2,3?, B ? ? 1,2,3? ,从集合 A, B 中各任意取一个数,则这两个数的和等 于4 的 概率是 2 A. 3 1 B. 2 1 C. 3 1 D. 6

【知识点】古典概型 K2 【答案解析】C 从 A , B 中 各 取 任 意 一 个 数 共 有 2 × 3=6 种 分 法 , 而 两 数 之 和 为 4 的 有 :
( 2, 2) , ( 3, 1) 两 种 方 法 , 故 所 求 的 概 率 为 :

2 1 ? 故选 6 3

C

【思路点拨】由 分 步 计 数 原 理 可 得 总 的 方 法 种 数 为 2 × 3=6 ,由 列 举 法 可 得 符 合 条 件 的 有
2 种,由古典概型的概率公式可得答案.

1

x2 y2 6 【题文】 4. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 , 则此双曲线的渐近线方 2 a b
程为 A.y=±2x B. y=± 2x 2 C. y=± 2 x 1 D. y=±2x

【知识点】双曲线及其几何性质 H6 【答案解析】C∵ e =

c 6 = 故 可 设 a = 2 k ,c = 6k ,则 得 b = 2k ,∴ 渐 近 线 方 a 2

程为

y= ±

b 2 x= ± x, 故 选 C. a 2

【思路点拨】由 离 心 率 的 值 , 可 设 a = 2 k , c =
而得到渐近线方程.

6k , 则 得 b = 6k , 可 得

b a

的值,进

【题文】5. 已知等差数列 ?an ? 的前 13 项之和为 39 ,则 a6 ? a7 ? a8 ? A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【知识点】等差数列的钱 n 项和 D2 【答案解析】 B 根据等差数列的求和公式可得: s 1 3 =13a 1 +

13 ? 12 d=39 , 化简得: a 1 +6d=3 , 2

所 以 a 6 +a 7 +a 8 =a 1 +5d+a 1 +6d+a 1 +7d=3a 1 +18d=3 ( a 1 +6d ) =3 × 3=9 . 故 选 B

【思路点拨】
根 据 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 公 式 列 得 s 1 3 =39 ,化 简 得 到 一 个 关 系 式 ,然 后 利 用 等 差 数 列 的通项公式表示出所求的式子,整体代入可得值。

【题文】6. 下列说法正确的是 A. 命题“ ? x0∈R,x02+x0+1<0”的否定是:“ ? x∈R,x2+x+1>0”; B. “x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件; C. 命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题是:若 x2=1,则 x≠1; D. 命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为真命题. 【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件 A2 【答案解析】D 命 题“ 存 在 x ∈ R ,使 得 x 2 +x+1 < 0 ”的 否 定 是 : “ 对 任 意 x ∈ R ,均 有 x 2 +x+1
> 0” , 故 排 除 A ; ∵ “ x 2 -5x-6=0 ” ? “ x=-1 或 x=6 ” , ∴ “ x=-1 ” 是 “ x 2 -5x-6=0 ” 的 充 分 不 必 要 条 件 , 排 除 B 命 题 “ 若 x 2 =1 , 则 x=1 ” 的 否 命 题 为 “ 若 x 2 ≠ 1 , 则 x ≠ 1 ” ,故排 除 C ; ∵ 命 题 “ 若 x=y , 则 sinx=siny ” 为 真 命 题 , 故 其 逆 否 命 题 为 真 命 题 , D 正 确 ;

【思路点拨】命 题 的 否 命 题 需 即 否 定 题 设 , 又 否 定 结 论 , 故 排 除 C ; 原 命 题 和 其 逆 否 命
题 互 为 等 价 命 题 ,同 真 假 ,故 只 需 判 断 原 命 题 的 真 假 即 可 ;特 称 命 题 的 否 定 是 全 称 命 题 , 排 除 A ; 解 方 程 x 2 -5x-6=0 , 即 可 发 现 此 结 论 为 充 分 不 必 要 条 件 , 排 除 B

【题文】7. 执行如图所示的程序框图,当输出值为 4 时, 输入 x 的值为 A.2 B. ? 2


开始 输入 x 是
x≥1?

y=1?x

y=x2

2
输出 y 结束

C.-2 或-3 【知识点】算法与程序框图 L1

D.2 或-3

【答案解析】由题意得 1-x=4 或者 x =4 所以 x=-3 或 x=2 或-2 又因为 x=-2 不符合 x ? 1 所以应设取,故选 D 【思路点拨】给定输出结果必须从两面考虑 都有可能等于 4 【题文】8. 函数 f ( x) ? 2 x ?1 ? log 2 x 的零点所在的一个区间是 1 1 A. (8,4) 1 1 B. (4,2) 1 C. (2,1) D. (1,2)

2

【知识点】 函数与方程 B9 【答案解析】C 因 为 2 × 0.5-1+log 2 0.5=log 2 0.5 < 0 , 2 × 1-1+log 2 1=1 > 0 , 又 在 ( 0.5 , 1 )
上 函 数 y=2x-1+log 2 x 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ,所 以 函 数 y=2x-1+log 2 x 在 区 间( 0.5 , 1) 上 存 在 零 点 . 故 选 C

【思路点拨】判 断 函 数 在 区 间 端 点 处 函 数 值 的 符 号 , 当 它 们 异 号 时 存 在 零 点 . 【题文】9. 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , M 为抛物线

C 上一点,若△ OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,且外接圆的面积为 9? ,则 p ?
A. 2 B. 4 C.6 D. 8

【知识点】 抛物线及其几何性质 H7 【答案解析】B∵ △ OFM 的 外 接 圆 与 抛 物 线 C 的 准 线 相 切 ,
∴ △ OFM 的 外 接 圆 的 圆 心 到 准 线 的 距 离 等 于 圆 的 半 径 , ∵ 圆 面 积 为 9π , ∴ 圆 的 半 径 为 3, 又 ∵ 圆 心 在 OF 的 垂 直 平 分 线 上 , |OF|= 故 选 : B.

P P P ,∴ + =3∴ p=4 2 2 4

【思路点拨】根 据 △ OFM 的 外 接 圆 与 抛 物 线 C 的 准 线 相 切 ,可 得 △ OFM 的 外 接 圆 的 圆 心
到准线的距离等于圆的半径,由此可求 p 的值.
2 2

【题文】10. 已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几 何体

2

1

1

1

1

的三视图如图所示,则该截面的面积为
1

正视图
2

侧视图

9 A. 2

B. 3

C. 4

3 10 D. 2

1

【知识点】 空间几何体的三视图和直观图 G2 【答案解析】

俯视图

9 2

由三视图知几何体为正方体切去一个棱台,且切去棱台的下底面直角

三 角 形 的 直 角 边 长 为 1, 其 直 观 图 如 图 : ∴截面为等腰梯形,且两底边长分别为

2 ,2

2 ,腰长为 5 ,

3

∴梯形的高为

5?

1 3 2 ,∴截面面积 ? 2 2

S=

2?2 2 3 2 9 ? ? 故选 A 2 2 2

【思路点拨】由 三 视 图 知 几 何 体 为 正 方 体 切 去 一 个 棱 台 , 画 出 其 直 观 图 , 判 断 截 面 为 等
腰梯形,求出底边长、腰长,再求出梯形的高,代入公式计算可得答案.

?? x 2 ? x, x ? 1 【 题 文 】 11. 已 知 函 数 f ( x) ? ? , 若 对 于 任 意 x?R , 不 等 式 ? log0.5 x, x ? 1
f ( x) ? t2 ? t ? 1 恒成立,则实数的取值范围是 4
B.

A. ?? ?,1? ? ?2,???

?? ?,1? ? ?3,???

C. ? 1,3?

D. ?? ?,2? ? ?3,???

【知识点】函数的单调性与最值 B3 【答案解析 B 对 于 f ( x ) , 当 x ≤ 1 时 , y=- ? x 2 + x = ? ( x ?
递 增 ,在(

1 2 1 1 ) + , 在 ( -∞ , ] 2 4 2

1 1 1 ,1 ] 上 递 减 ,故 此 时 y m a x =f( ) = ;当 x > 1 时 , y=log 0 . 5 x 是 减 函 数 , 2 2 4 1 t2 , 故 不 等 式 f( x) ≤ -t+1 恒 成 立 , 4 4

此 时 y < log 0 . 5 1=0 , ; 综 上 原 函 数 的 最 大 值 为

只需

t2 4

-t+1 ≥

1 即 可 , 解 得 t≤ 1 或 t≥ 3. 故 选 B. 4

【思路点拨】 这 是 一 个 不 等 式 恒 成 立 问 题 , 只 需
的最大值,解出关于 t 的不等式即为所求.

t2 ? t +1≥ f ( x ) m a x 4

即可,再求分段函数

B、 C 所对的边分别为 a 、 b、 【题文】 12. 在△ ABC 中, 角A、 且 BC 边上的高为 c,


3 a, 6

c b ? 的最大值是 b c
A. 8 B. 6 C. 3 2 D. 4

【知识点】解三角形 C8 【答案解析】4 ,

b c c2 ? b2 ? ? c b bc

,这 个 形 式 很 容 易 联 想 到 余 弦 定 理 : cosA=

c2 ? b2 ? a 2 2bc

而 条 件 中 的“ 高 ”容 易 联 想 到 面 积 ,a? 入①得:

3 a=bcbcsinA ,即 6

a 2 =2

3 bcsinA ② ,将 ② 代

4

b 2 +c 2 =2bc ( cosA+ ∴

3 sinA ) , 3 sinA ) =4sin ( A+

b c ? c b

=2 ( cosA+

? 6

) , 当 A=

【思路点拨】利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 、 余 弦 定 理 , 化 简
可求得结论.

? 时 取 得 最 大 值 4, 故 选 D. 3 b c ? ,再利用辅助角公式,即 c b

第Ⅱ卷

主观卷 共 90 分

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上)
?x ? y ?1 ? 0 【题文】13. 若实数 x, y 满足 ? ,则目标函数 ? x?0 ? y?2 ?

z ? x ? y 的最大值是
【知识点】 简单的线性规划问题 E5 【答案解析】3 由 约 束 条 件 作 出 可 行 域 如 图 由 z=x+y , 得
y=-x+z . 由 图 可 知 , 当 目 标 函 数 过 B ( 1 , 2 ) 时 , 目 标 函 数 z=x+y 有 最 大 值 . z=1+2=3 . 故 答 案 为 : 3 .

【思路点拨】由 约 束 条 件 作 出 可 行 域 ,化 目 标 函 数 为 直 线 方
程的斜截式,由图得到最优解,求出最优解的坐标,代入 目标函数得答案.

【题文】14. 已知 m, n 是夹角为 120 的单位向量,向量 a ? tm ? (1 ? t )n ,若 n ? a ,则实 数t ? 【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案解析】

2 3



m ,n 是夹角为

120 °的 单 位 向 量 ,向 量

a = tm ? (1 ? t )n , n ? a ,

2 ? =t m ?n +(1-t) n =tcos 120 +1-t=1- 3 t=0 tm ? (1 ? t ) n ? n?a = n ? ? ? 2 2 2 解 得 t= 故答案为: 3 3

【思路点拨】由 已 知 得 n ? a ? n ?tm ? (1 ? t )n ? ? 0 , 由 此 能 求 出 实 数 t .

?

?

【题文】15. 三棱锥 P ? ABC 的四个顶点均在同一球面上,其中△ ABC 为等边三角形,

PA ? 平面ABC , PA ? 2 AB ? 2a ,则该球的体积是
【知识点】棱柱与棱锥 G7 【答案解析】

32 3 3 ?a 27

由 题 意 画 出 几 何 体 的 图 形 如 图 , 把 A、 B、 C、 P 扩 展 为 三 棱 柱 ,

上下底面中心连线的中点与 A 的距离为球的半径, PA=2AB=2a , OE=a , △ ABC 是 正 三 角 形 ,

5

∴ AB=a , ∴ AE=

2 3

a a 2 ? ( )2 = 2
故答案为:

3 a 3 32 3 3 ?a 27

? AO=

AE 2 ? OE 2 ?

2 3 a 3

4 2 3 3 32 3 3 ( )= ?a , ? V球 = ? 3 3 27

【思路点拨】由 题 意 把 A 、 B 、 C 、 P 扩 展 为 三 棱 柱 如 图 , 求 出 上 下 底 面 中 心 连 线 的 中 点
与 A 的距离为球的半径,然后求出球的体积.

【题文】16. 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3sin 2 x ? 3 ,将 y ? f ( x) 的图像向左平 移

? 个单位,再向上平移个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,若函数 y ? g ( x) 在 [ a, b] 上 6

至少含有 1012 个零点,则 b ? a 的最小值为 【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C4 【答案解析】
=2sin ( 2x-

? ? ) , y=f ( x ) 的 图 象 向 左 平 移 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函 3 6 ? ? 数 y=g ( x ) =2sin[2 ( x+ )]+1=2sin2x+1 的 图 象 , 由 题 意 可 得 , g ( x ) 在 6 3 1 7? [a , b] 上 至 少 含 有 1012 个 零 点 . 令 g ( x ) =0 , 得 sin2x=, 可 得 2x=2k π + , 2 6 11? 7? 11? 或 2x=2k π + , k ∈ z . 求 得 x=k π + , 或 x=k π + 函 数 g( x) 在 每 个 周 期 6 12 12
上 恰 有 两 个 零 点 , 若 y=g ( x ) 在 [0 , b] 上 至 少 含 有 1012 个 零 点 , 则 b 不 小 于 第 1012 个 零 点 的 横 坐 标 即 可 , 故 b 的 最 小 值 为 505 π +

1516 π 3

函 数 f ( x ) =2sinxcosx+2

3 sin 2 x ?

3 =sin2x-

3 cos2x

6071? 12

-

7? 1516 1516 = π, 故 答 案 为 : π. 12 3 3 1 2

11? 12

=

6071? 12

, 故 b-a 的 最 小 值 为

【思路点拨】 根 据 函 数 图 象 平 移 的 公 式 ,得 出 函 数 g ( x )的 解 析 式 为 g ( x )=2sin2x+1 .由
此 解 g ( x ) =0 得 sin2x=, 利 用 正 弦 函 数 的 图 象 解 出 x, 可 见 g( x) 在 每 个 周 期 上

恰 有 两 个 零 点 , 若 g ( x ) 在 [0 , b] 上 至 少 含 有 10 个 零 点 , 则 b 大 于 或 等 于 g ( x ) 在 原 点 右 侧 的 第 10 个 零 点 , 由 此 即 可 算 出 b 的 最 小 值 , 可 得 b-a 的 最 小 值 .

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答 写在答卷纸的相应位置上) 【题文】17. (本小题满分 12 分) 在公差不为零的等差数列{ an }中, a2 ? 3 , a1 , a3 , a7 成等比数列. (1)求数列{ an }的通项公式;

6

(2)设数列{ an }的前 n 项和为 S n ,记 bn ? 【知识点】等差数列 数列求和 D2 D4 【答案解析】 (1) an ? n ? 1 (2)

1 . 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . S 3n

2n 9(n ? 1)

?a1 ? d ? 3 ? 2 ①设{ an }的公差为 d ,依题意得 ?(a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 6d ) ,???3 分 ?d ? 0 ?
解得 a1 ? 2 , d ? 1 ∴ an ? 2 ? (n ? 1) ?1 ② S 3n ? 即 an ? n ? 1 . ???????5 分 ???????6 分

3n(a1 ? a3n ) 3n(2 ? 3n ? 1) 9n(n ? 1) ? ? . 2 2 2
??????9 分

bn ?

1 2 2 1 1 ? ? ( ? ) S 3n 9n(n ? 1) 9 n n ? 1

2 1 1 1 1 1 2n Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 9 2 2 3 n n ?1 9(n ? 1)
故 Tn=

2n . 9(n ? 1)

????????12 分

【思路点拨】利用等差等比数列的性质求出通项,然后利用裂项求和法对数列进行求和。 【题文】18. (本小题满分 12 分) 如图五面体中,四边形 CBB1C1 为矩形, B1C1 ? 平面ABB1 N ,四边形 ABB 1 N 为梯形, 且 AB ? BB1 , BC ? AB ? AN ? (1)求证: BN ? 平面C1 B1 N ; (2)求此五面体的体积. 【知识点】空间中的垂直关系 多面体 G5 G8 【答案解析】 (1) 略 (2) 垂足为 M ,
B

1 BB1 ? 4 . 2

160 (1) 证明: 连 BN , 过 N 作 NM ? BB1 , 3

C

C1

M

∵ B1C1 ? 平面ABB1 N , BN ? 平面ABB1 N ,
A

B1

∴ B1C1 ? BN ,

N

?????????2 分

7

又,BC=4,AB=4,BM=AN=4, BA ? AN , ∴ BN ?
2
2 2 2 2 4 2 ? 4 2 ? 4 2 , B1 N ? NM ? B1M ? 4 ? 4 = 4 2 ,

∵ BB1 ? 8 ? 64, B1 N ? BN ? 32 ? 32 ? 64 ,? BN ? B1 N ,?????? 4 分
2 2

∵ B1C1 ? 平面B1C1 N , B1 N ? 平面B1C1 N , B1 N ? B1C1 ? B1

? BN ? 平面C1 B1 N
(2)连接 CN, VC ? ABN ?

????????????? 6 分

1 1 1 32 , ?????? 8 分 ? BC ? S ?ABN ? ? 4 ? ? 4 ? 4 ? 3 3 2 3

又 B1C1 ? 平面ABB1 N ,所以平面 CBB1C1 ? 平面 ABB 1 N ,且平面

CBB1C1 ? ABB1 N ? BB1 , NM ? BB1 , NM ? 平面B1C1CB ,
∴ NM ? 平面B1C1CB , ????????9 分 ???????11 分 ????????12 分

1 1 128 ? NM ? S 矩形B1C1CB ? ? 4 ? 4 ? 8 ? 3 3 3 32 128 160 此几何体的体积 V ? VC ? ABN ? V N ? B1C1CB ? ? ? 3 3 3 V N ? B1C1CB ?
【题文】19.(本小题满分 12 分)

【思路点拨】利用线线垂直证明线面垂直,分成两部分求体积。 近几年出现各种食品问题, 食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病.为 了解三高疾病是否与性别有关,医院随机对入院的 60 人进行了问卷调查,得到了如下的列联 表: (1) 请将如图的列联表补充完整; 若用分层抽 样的方法在患三高疾病的人群中抽 9 人,其中 女性抽多少人? (2)为了研究三高疾病是否与性别有关,
2

患三高疾病 男 女 合计 36

不患三高疾病 6

合计 30

请计算出统计量 K ,并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关? 下面的临界值表供参考:
P( K ? k )
2

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

(参考公式 K ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

【知识点】随机抽样 变量的相关性与统计案例 I1 I4 【答案解析】 (1)3 (2)有 99.5% 的把握认为是否患三高疾病与性别有关系 患三高疾病 不患三高疾病 合计

8

男 女 合计

24 12 36

6 18 24

30 30 60 ?????3 分

在患三高疾病人群中抽 9 人,则抽取比例为 ∴女性应该抽取 12 ? (2)∵ K ?
2

9 1 ? 36 4
???????6 分

1 ? 3 人. 4

60(24 ? 18 ? 6 ? 12) 2 30 ? 30 ? 36 ? 24

?????8 分

?????10 分 那么,我们有 99.5% 的把握认为是否患三高疾病与性别有关系.?????12 分 【思路点拨】利用比例关系确定抽样人数,利用给的公式确定相关性 【题文】20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

? 10 ? 7.879 ,

x?a ,其中 a 为常数,且 a ? 0 . x

(1) 若曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1)? 处的切线与直线 y ? x ? 1 垂直, 求函数 f ( x) 的单调递 减区间; (2)若函数 f ( x) 在区间 ? 1,3? 上的最小值为 【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】 (1) ?0,2? (2) a ? e 3
1

1 ,求 a 的值. 3

f ?( x) ?

1 x ? ( x ? a) x ? a ? ? 2 (x ?0) x x2 x

???????2 分

(1)因为曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线与直线 y ? x ? 1 垂直, , 所以 f ?(1) ? ?1 ,即 1 ? a ? ?1 解得 a ? 2 当 a ? 2 时, f ( x) ? ln x ? 令 f ?( x ) ? ????????4 分

x?2 x?2 , f ?( x) ? 。 x x2

x?2 ? 0 ,解得 0 ? x ? 2 所以函数的递减区间为: ?0,2? ??????6 分 x2

(2)当 0 ? a ? 1 时, f '( x) ? 0 在(1,3)上恒成立,这时 f ( x) 在[1,3]上为增函数

? f ( x) min ? f (1) ? a ? 1

令 a ?1 ?

1 4 ,得 a ? ? 1 (舍去) ???7 分 3 3

当 1 ? a ? 3 时,由 f '( x) ? 0 得, x ? a ? (1,3) 对于 x ? (1, a ) 有 f '( x) ? 0, f ( x) 在 ?1, a? 上为减函数,

9

对于 x ? (a,3) 有 f '( x) ? 0, f ( x) 在 ? a,3? 上为增函数,

1 ? f ( x) min ? f (a ) ? ln a ,令 ln a ? ,得 a ? e 3 3

1

?????9 分

当 a ? 3 时, f '( x) ? 0 在(1,3)上恒成立,这时 f ( x) 在 ?1,3? 上为减函数, ∴ f ?( x) min ? f (3) ? ln 3 ? 综上, a ? e
1 3

a a 1 ? 1 . 令 ln 3 ? ? 1 ? 得 a ? 4 ? 3 ln 3 ? 2 (舍去) 3 3 3
????????12 分

【思路点拨】求导数确定斜率求出方程确定单调区间,遇到参数分类讨论,确定单调性。利 用单调性确定最值去确定 a。 【题文】21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,离心率为 ,两焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F1 的直 2 a b 2

线交椭圆 C 于 M , N 两点,且△ F2 MN 的周长为 8 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 P ?m,0 ? 作圆 x 2 ? y 2 ? 1的切线交椭圆 C 于 A, B 两点,求弦长 AB 的最大值. 【知识点】抛物线及其几何性质 直线与圆锥曲线 H7 H8 【答案解析】 (1)

x2 ? y 2 ? 1(2)2 4
????3 分

(1)由题得:

c 3 , 4a ? 8 ,所以 a ? 2 , c ? 3 。 ? a 2

x2 ? y 2 ? 1. ?????4 分 又 b ? a ? c ,所以 b ? 1 即椭圆 C 的方程为 4
2 2 2

(2)由题意知, | m |? 1 .

当 m ? 1 时,切线 l 的方程 x ? 1 ,点 A、B 的坐标分别为 (1, 此时 | AB |?

3 3 ), (1,? ), 2 2
?????5 分

3 ; 当 m=-1 时,同理可得 | AB |? 3

当 | m |? 1 时,设切线的方程为 y ? k ( x ? m), (k ? 0)

? y ? k ( x ? m), ? 由 ? x2 得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 m x ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ? 1. ?4
10

设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) , 则 ? ? 64k 4 m 2 ? 16(1 ? 4k 2 )(4k 2 m 2 ? 4) ? 48k 2 ? 0

x1 ? x2 ?

8k 2 m 1 ? 4k
2

, x1 x2 ? 2
2

4k 2 m 2 ? 4 1 ? 4k 2
| km | k ?1
2

又由 l 与圆 x ? y ? 1相切, 得

? 1, 即m 2 k 2 ? k 2 ? 1. 得 k 2 ?

1 m ?1
2

所以 | AB |?

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? (1 ? k 2 )[

64 k 4 m ? 4( 4 k 2 m 2 ? 4) ? ] (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2
???????9 分

?

4 3|m| m2 ? 3
所以 | AB |?

因为 | m |? 1

4 3|m| ? m2 ? 3

4 3 3 |m|? |m|

? 2,

且当 m ? ? 3 时,|AB|=2, 由于当 m ? ?1 时, | AB |? 3, 所以|AB|的最大值为 2. ???????12 分

【思路点拨】根据椭圆见 a b c 关系求出方程,利用根与系数的关系直线椭圆联立即可.

【题文】22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 内接于直径为 BC 的圆 O ,过点 A 作圆 O 的切线交 CB 的延长线于点 P ,

?BAC 的平分线分别交 BC 和圆 O 为点 D , E ,
若 PA ? 2 PB ? 10 . (1)求证: AC ? 2 AB ; (2)求 AD ? DE 的值. 【知识点】几何证明选讲 N1 【答案解析】 (1)略(2)50 (1) ∵PA 是圆 O 的切线 ∴ ?PAB ? ?ACB 是公共角 ∴ ?ABP ∽ ?CAP ∴ C O E 22 题图 ???2 分 ???4 分 ∴ PC ? 20 ???6 分
11

A

D

B

P

又 ?P

AC AP ? ?2 AB PB

∴ AC ? 2 AB
2

(2)由切割线定理得: PA ? PB ? PC 又 PB=5 ∴ BC ? 15

又∵AD 是 ?BAC 的平分线 ∴ ∴ CD ? 2 DB

AC CD ? ?2 AB DB ∴ CD ? 10, DB ? 5

???8 分 ???10 分

又由相交弦定理得: AD ? DE ? CD ? DB ? 50

【思路点拨】利用三角形相似的比例关系得到,利用切割线定理相交弦定理得到结果。 【题文】23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程选讲 已知直线: ?

? x ? ?1 ? t cos? (为参数,?为的倾斜角) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半 ? y ? t sin ?

轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 6? cos? ? 5 ? 0 . (1)若直线与曲线 C 相切,求 ? 的值; (2)设曲线 C 上任意一点的直角坐标为 ( x, y ) ,求 x ? y 的取值范围. 【知识点】参数与参数方程 N3 【答案解析】 (1)?=

?
6



5? (2) 3 ? 2 2 ,3 ? 2 2 6

?

?

(1)曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 即 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4 曲线 C 为圆心为(3,0),半径为 2 的圆. ???3 分

直线 l 的方程为: x sin ? ? y cos? ? sin ? ? 0 ∵直线 l 与曲线 C 相切 ∴

| 3 sin ? ? sin ? | sin 2 ? ? cos2 ?

?2
???5 分

即 sin ? ?

1 2
∴?=

∵ ??[0,π )

?
6



5? 6

???6 分

(2)设 x ? 3 ? 2 cos? , y ? 2 sin ? 则 x ? y = 3 ? 2 cos ? ? 2 sin ? ? 3 ? 2 2 sin(? ? ∴ x ? y 的取值范围是 3 ? 2 2 ,3 ? 2 2 .

?
4

)

???9 分 ???10 分

?

?

【思路点拨】利用直线和圆的位置关系求出角,用参数方程求出范围。 【题文】24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知正实数 a , b 满足: a ? b ? 2 ab .
2 2

(1)求

1 1 ? 的最小值 m ; a b

12

(2)设函数 f ( x) ? x ? t ? x ? (t ? 0) ,对于(1)中求得的 m ,是否存在实数 x ,使

1 t

f ( x) ?

m 成立,说明理由. 2

【知识点】不等式选讲 N4 【答案解析】 (1) m =2(2)略 (1)∵ 2 ab ? a ? b ? 2ab
2 2

即 ab ? ab

∴ ab ? 1

???2 分



1 1 2 ? ? ? 2 当且仅当 a ? b 时取等号 a b ab
???5 分

∴ m =2 (2) f ( x) ?| x ? t | ? | x ? |?| t ? ∴满足条件的实数 x 不存在. 【思路点拨】利用重要不等式求最小值,不等式的应用。

1 t

1 |? 2 t

???9 分 ???10 分

13


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