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2017_2018学年高中数学课时作业17从力做的功到向量的数量积北师大版必修4


课时作业 17 |基础巩固|(25 分钟,60 分) 从力做的功到向量的数量积 ( 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.已知 a·b=-12 2,|a|=4,a 和 b 的夹角为 135°,则|b|=( ) A.12 B.3 C.6 D.3 3 解析:a·b=|a||b|cos135°=-12 2,又|a|=4,解得|b|=6. 答案:C 2.已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|=3,a·(b-a)=-1,则 a 与 b 的夹角为( ) π π A. B. 6 4 π π C. D. 3 2 解析:因为|a|=2,a·(b-a)=-1, 2 2 所以 a·(b-a)=a·b-a =a·b-2 =-1, 所以 a·b=3.又因为|b|=3,设 a 与 b 的夹角为 θ , a·b 3 1 则 cosθ = = = . |a||b| 2×3 2 π 又 θ ∈[0,π ],所以 θ = . 3 答案:C 3.若向量 a 与 b 的夹角为 60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量 a 的模是 ) A.2 B.4 C.6 D.12 2 2 解析:(a+2b)·(a-3b)=a -a·b-6b 2 2 =|a| -|a|·|b|cos60°-6|b| 2 =|a| -2|a|-96=-72. 2 ∴|a| -2|a|-24=0. 解得|a|=6 或|a|=-4(舍去). 答案:C → → 4.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,则AB·AC=( ) A.-16 B.-8 C.8 D.16 → 4 解析:设∠CAB=θ ,∴|AB|= , cosθ → → → → 4 AB·AC=|AB|·|AC|·cosθ = ·4cosθ =16. cosθ 答案:D → → → → → 5.如图,在△ABC 中,AD⊥AB,BC= 3 BD,|AD|=1,则AC·AD=( ) 1 A.2 3 C. 3 3 B. D. 3 3 2 → 解析:设|BD|=x, → 则|BC|= 3x, → → → → → → → AC·AD=(AB+BC)·AD=BC·AD → → 1 =|BC|·|AD|cos∠ADB= 3x·1· = 3. x 答案:D 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.若向量 a 的方向是正南方向,向量 b 的方向是北偏东 60°方向,且|a|=|b|=1, 则(-3a)·(a+b)=________. 2 解析:设 a 与 b 的夹角为 θ ,则 θ =120°,∴(-3a)·(a+b)=-3|a| -3a·b=- 1 3 3-3×1×1×cos120°=-3+3× =- . 2 2 3 答案:- 2 7.已知|a|=5,|b|=8,a 与 b 的夹角为 60°,则 b 在 a 方向上的射影的数量等于 ________. 解析:|b|cos〈a,b〉=8cos60°=4,所以 b 在 a 方向上的射影的数量等于 4. 答案:4 → → 8.若四边形 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BAD=60°,则|DC+BC|=________. → → 2 解析:∵四边形 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BAD=60°,∴∠DCB=60°,∴|DC+BC| → → → → → → 2 2 2 2 =|DC| +|BC| +2DC·BC=1 +1 +2×1×1cos∠DCB=3,∴|DC+BC|= 3. 答案: 3 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 60°,计算: (1)(2a+b)·(2a-b); (2)|4a-2b|. 2 2 解析:(1)(2a+b)·(2a-b)=(2a) -b 2 2 2 2 =4|a| -|b| =4×4 -8 =0. 2 2 (2)∵|4a-2b| =(4a-2b) 2 2 =16a -16a·b+4b 2 2 =16×4 -16×4×8×cos60°+4×8 =256. ∴|4a-2b|=16. 10.已知|a|=2|b|=2,且向量 a 在向量 b 方向上的投影为-1. (1)求 a 与 b 的夹角 θ ; (2)求(a-2b)·b; (3)当 λ 为何值时,向量 λ a+b 与向量 a-3b 互相垂直? 解析:(1)由题意知|a|=2,|b|=1. 又 a 在 b 方向上的投影为|a|cosθ =-1, 2 1 2π ∴cosθ =- ,∴θ = . 2 3 2 (2)易知 a·b=-1,则(a-2b)·b=a·b-2b =-1-2=-3. (3)∵λ a+b 与 a-3b 互相垂直, 2 2 ∴(λ a+b)·(a-3b)=λ a -3λ a·b+b·a-3b =4λ +3λ -1-3=7λ -4=0, 4 ∴λ = . 7 |能力提升|(20 分钟,40 分) → → 11.(2015·高考四川卷)设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4.若点 M,N → → → → → → 满足BM=3MC,DN=2NC,则AM·NM=( ) A.20 B.15 C.9 D.6 解析:如图所示,由题设知: → → → → → AM=AB+BM=AB+ AD, 1→ 1→ 3 4 → → ?→ →? ? → →? 1 → 3 → 2 1→ → 1→ → 3 1 1 2 所以AM·NM=?AB+ AD?·? AB- AD?= |AB| - |AD| + AB·AD- AB·AD 16 4 4 4 ? ?3 4 ? 3 ? 1 3 = ×36- ×16=9. 3 16 答案:C → → 12.已知圆 O 是△ABC 的外接圆,M 是 BC 的中点,AB=4,AC=2, 则AO·AM=________. → 1 → → → → 解析:∵M 是 BC 的中点,∴AM= (AB+AC),又 O 是△ABC 的外接圆圆心,∴AB·AO=

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