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高一数学必修知识点(一)


高一数学必修 1 知识集合
? ()元素与集合的关系:属于(?)和不属于(?) ?1 ? ? ? ?集合与元素 (2)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性 ? ? (3)集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集 ? ? ? (4)集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法 ? ? ? ? ?子集:若x ? A ? x ? B,则A ? B,即A是B的子集。 ? ? ? ? ?1、若集合A中有n个元素,则集合A的子集有2n 个,真子集有(2n -1)个。 ? ? ? ? ? ? ? ?2、任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A ? ? 注? ? ? ?关系 ? ? ?3、对于集合A, B, C , 如果A ? B,且B ? C , 那么A ? C. ? ? ? ?4、空集是任何集合的(真)子集。 ? ? ? ? ? ?真子集:若A ? B且A ? B ? (即至少存在x0 ? B但x0 ? A),则A是B的真子集。 集合 ? ? ? ? ? ?集合相等:A ? B且A ? B ? A ? B ? ? ? ? ? ?定义:A ? B ? ? x / x ? A且x ? B? ?集合与集合 ? ? ?交集 ? ? ? ?性质:A ? A ? A,A ? ? ? ?,A ? B ? B ? A,A ? B ? A, A ? B ? B,A ? B ? A ? B ? A ? ? ? ? ? ? ? ? ?并集 ?定义:A ? B ? ? x / x ? A或x ? B? ? ? ? ? ? ? ?性质:A ? A ? A,A ? ? ? A,A ? B ? B ? A,A ? B ? A,A ? B ? B,A ? B ? A ? B ? B ? ? ? ?运算 ? ? ? Card ( A ? B ) ? Card ( A) ? Card ( B ) - Card ( A ? B ) ? ? ? ? ?定义:CU A ? ? x / x ? U 且x ? A? ? A ? ? ? ? ? ?补集 ?性质: U A) ? A ? ?, U A) ? A ? U,CU (CU A) ? A,CU ( A ? B ) ? (CU A) ? (CU B ), ? (C (C ? ? ? ? ? CU ( A ? B ) ? (CU A) ? (CU B ) ? ? ? ? ? ?

函数
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?映射定义:设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个元素x, 在集合B中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :? B为从集合A到集合B的一个映射 ? ? 传统定义:如果在某变化中有两个变量x , y , 并且对于x在某个范围内的每一个确定的值, ? 按照某个对应关系f , y 都有唯一确定的值和它对应。那么y 就是x的函数。记作y ? f ( x ). ?定义 ? ? 近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。 ? 定义域 ?函数及其表示 ?函数的三要素 ?值域 ? ? ? ?对应法则 ? ? ?解析法 ? ? ?函数的表示方法 ?列表法 ? ? ?图象法 ? ? ?传统定义:在区间? a ,b ?上,若a? x1? x2 ?b ,如f ( x1 )? f ( x2 ) ,则f ( x ) 在? a ,b ?上递增, a ,b ?是 ? ? ? ? 递增区间;如f ( x1 )? f ( x2 ) ,则f ( x ) 在? a ,b ?上递减, a ,b ?是的递减区间。 ? ? ? ?单调性?导数定义:在区间 a ,b 上,若f ( x ) ?0,则f ( x ) 在 a ,b 上递增, a ,b 是递增区间;如f ( x )?0 ? ? ? ? ? ? ? ? 则f ( x ) 在? a ,b ?上递减, a ,b ?是的递减区间。 ? ? ? ? ? ? ? ? ?最大值:设函数y ? f ( x )的定义域为I,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x?I,都有f ( x )? M ; ? 函数 ? ( 2)存在x0?I,使得f ( x0 ) ? M 。则称M 是函数y ? f ( x ) 的最大值 函数的基本性质 ?最值? ?最小值:设函数y ? f ( x )的定义域为I,如果存在实数N 满足:(1)对于任意的x?I,都有f ( x )? N; ? ? ? ( 2)存在x0?I,使得f ( x0 ) ? N。则称N 是函数y ? f ( x ) 的最小值 ? ? ? ?(1) f ( ? x ) ?? f ( x ), x?定义域D,则f ( x ) 叫做奇函数,其图象关于原点对称。 ? ? ?奇偶性?( 2 ) f ( ? x ) ? f ( x ), x?定义域D,则f ( x ) 叫做偶函数,其图象关于y轴对称。 ? ? ? 奇偶函数的定义域关于原点对称 ? ?周期性:在函数f ( x )的定义域上恒有f ( x ?T ) ? f ( x )( T ?0的常数 ) 则f ( x ) 叫做周期函数,T 为周期; ? ? T的最小正值叫做f ( x )的最小正周期,简称周期 ? ? ? (1)描点连线法:列表、描点、连线 ? ? ? ?向左平移? 个单位:y1? y , x1? a ? x? y ? f ( x ? a ) ? ? ? ?向右平移a个单位:y ? y , x ? a ? x? y ? f ( x ?a ) ? ?平移变换?向上平移b个单位:x1? x , y1?b ? y ? y ?b ? f ( x ) 1 1 ? ? ? ? ? ? ?向下平移b个单位:x1? x , y1?b ? y ? y ?b ? f ( x ) ? ? ?横坐标变换:把各点的横坐标x1缩短(当w?1时)或伸长(当 0? w?1时) 52 求学网教育论坛 免费学习资料 ? ? ? ? 到原来的1 / w倍(纵坐标不变),即x1? wx? y ? f ( wx ) ? ?伸缩变换?纵坐标变换:把各点的纵坐标y 伸长(A?1) 或缩短(0? A?1) 到原来的A倍 1 ? ? ? ?函数图象的画法 ? (横坐标不变), 即y1? y / A? y ? f ( x ) ? ? ? ? ( 2)变换法? ? ? ? ?xy? x1?2 x0 x1?2 x0 ? x ?关于点 ( x0 , y0 ) 对称: ? y1? 2 y0 ?? y1? 2 y0 ? y ? 2 y0 ? y ? f ( 2 x0 ? x ) ? ? ? ? ?

?

x ? x1? 2 x0

x1? 2 x0 ? x

附: 一、函数的定义域的常用求法: 1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1;5、三 角函数正切函数 y ? tan x 中 x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ;余切函数 y ? cot x 中;6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其

取值范围。 二、函数的解析式的常用求法: 1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法 三、函数的值域的常用求法: 1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法 四、函数的最值的常用求法: 1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法 五、函数单调性的常用结论: 1、若 f ( x), g ( x) 均为某区间上的增(减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 在这个区间上也为增(减)函数 2、若 f ( x) 为增(减)函数,则 ? f ( x) 为减(增)函数 3、若 f ( x) 与 g ( x) 的单调性相同,则 y ? f [ g ( x)] 是增函数;若 f ( x) 与 g ( x) 的单调性不同,则 y ? f [ g ( x)] 是减函数。 4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论:

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1、如果一个奇函数在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 ,如果一个函数 y ? f ( x) 既是奇函数又是偶函数,则 f ( x) ? 0 (反之不成立) 2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合 函数是奇函数。 5、若函数 f ( x) 的定义域关于原点对称,则 f ( x) 可以表示为 f ( x) ? 一个偶函数的和。

1 1 [ f ( x) ? f (? x)] ? [ f ( x) ? f (? x)] ,该式的特点是:右端为一个奇函数和 2 2

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? ? ?零点:对于函数y ? f(x), 我们把使f ( x ) ? 0的实数x叫做函数y ? f ( x )的零点。 ? ? ?定理:如果函数y ? f ( x ) 在区间[ a , b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f ( a ) ? f ( b ) ? 0, ? ?零点与根的关系 ? 那么,函数y ? f ( x ) 在区间[ a , b ]内有零点。即存在c ? ( a , b ), 使得f ( c ) ? 0, 这个c也是方 ? ? ? 程f ( x ) ? 0的根。(反之不成立) ? ? ?关系:方程f ( x ) ? 0 有实数根 ? 函数y ? f ( x ) 有零点 ? 函数y ? f ( x )的图象与x轴有交点 ? ? ?(1) 确定区间[ a , b ], 验证f ( a ) ? f ( b ) ? 0, 给定精确度? ; 函数与方程 ? ? ?( 2 ) 求区间( a , b )的中点c ; ? ? 函数的应用 ? ?( 3) 计算f ( c ); ?二分法求方程的近似解 ? ①若f ( c ) ? 0, 则c就是函数的零点; ? ? ? c ? ? ②若f ( a ) ? f ( c ) ? 0, 则令b ? (此时零点x 0 ? ( a , b )); ? ? c ? ③若f ( c ) ? f ( b ) ? 0, 则令a ? (此时零点x 0 ? ( c , b )); ? ? ?( 4 ) 判断是否达到精确度? :即若 a - b ? ? , 则得到零点的近似值a ( 或b ); 否则重复 2 ? 4。 ? ? ? ?几类不同的增长函数模型 ?函数模型及其应用 ?用已知函数模型解决问题 ? ?建立实际问题的函数模型 ?

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m n ? ? ?根式: a , n为根指数,a为被开方数 ? n m ? ? ?an ? ? ? a ? ? ? ?分数指数幂 ? ? ? ? r a s ? a r ? s ( a ? 0, r , s ? Q ) ?a ? ?指数的运算 ? ? r s ? ?指数函数 ? rs ? ?性质 ?( a ) ? a ( a ? 0, r , s ? Q ) ? ? ? r r s ? ? ? ?( ab ) ? a b ( a ? 0, b ? 0, r ? Q ) ? ? ? x ? ?指数函数 ?定义:一般地把函数y ? a ( a ? 0且a ? 1)叫做指数函数。 ? ? ? ? ?性质:见表1 ? ? ? ?对数:x ? log a N , a为底数,N 为真数 ? ? ? ? ?log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N ; ? ? ? 基本初等函数 ? ? ? ? ? ?log a M ? log a M ? log a N ; ? ? ? . N ?对数的运算 ?性质 ? ? ? n ? n log M ; ( a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0) ? ? a ?log a M ?对数函数 ? ? ? ? ? log c b ? log ( a, c ? 0且a , c ? 1, b ? 0) ? ?换底公式: a b ? ? ? log c a ? ? ? ? ? ? ?对数函数 ?定义:一般地把函数y ? log a x ( a ? 0且a ? 1)叫做对数函数 ? ? ? ? ?性质:见表1 ? ? ? ? ? ?幂函数 ?定义:一般地,函数y ? x 叫做幂函数,x是自变量,? 是常数。 ? ? ?性质:见表2 ?

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表1 定 义 域 值 域

指数函数

y ? a x ? a ? 0, a ? 1?
x?R
y ? ? 0, ?? ?

对数数函数

y ? log a x ? a ? 0, a ? 1?
x ? ? 0, ?? ?
y?R

图 象

过定点 (0,1) 减函数 性 质 增函数 减函数

过定点 (1, 0) 增函数

x ? (??, 0)时,y ? (1, ??) x ? (??, 0)时,y ? (0,1) x ? (0,1)时,y ? (0, ??) x ? (0,1)时,y ? (??, 0) x ? (0, ??)时,y ? (1, ??) x ? (1, ??)时,y ? (??, 0) x ? (1, ??)时,y ? (0, ??) x ? (0, ??)时,y ? (0,1)

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a?b
表2

a?b
?

a?b
幂函数 y ? x (? ? R)

a?b

??

p q

? ?0

0 ? ? ?1

? ?1

? ?1

p为奇数 q为奇数

奇函数

p为奇数 q为偶数

p为偶数 q为奇数
第一象限性 质 本文由52求学网论坛微光整理
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偶函数

减函数

增函数

过定点 0, ( 1 )


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