伤城文章网 >  > 高等教育自学考试高等数学(一)第二章 极限和连续

高等教育自学考试高等数学(一)第二章 极限和连续


高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)
第二章 极限和连续
2.1 数列极限

一、概念的引入(割圆术) 概念的引入(割圆术) “割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2 n-1 正 6×2 形的面积 An A1,A2,A3,…,An,…→…S

二、数列的定义 定义:按自然数 1,2,3…编号依次排列的一列数 x1,x2,…,xn,… (1) 称为无穷数列,简称数列。其中的每个数称为数列的项,xn 称为通项(一般项)。数列(1)记 为{ xn }。 例如 n n 2,4,8,…,2 ,…;{ 2 }

-1-

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

注意: (1)数列对应着数轴上一个点列,可看作一动点在数轴上依次取 (2)数列是整标函数 xn=f(n) 三、数列的极限 如果存在常数 a, n 无限增大时, n 无限接近于常数 a, 当 x 则称数列{ xn } 1.定义 设{xn}是一数列, 收敛,a 是数列{ xn }的极限,或者称数列 xn 收敛于 a,记为 。 如果数列没有极限,就说数列是发散的。 例如 n n 2,4,8,…,2 ,…;{ 2 },发散 ,发散

收敛于 0

2.数列极限的性质 (1)唯一性 定理 每个收敛的数列只有一个极限。 (2)有界性 定义: 对数列 xn, 若存在正数 M,使得一切自然数 n, 恒有|xn|≤M 成立, 则称数列 xn 有界,
-2-

高等教育自学考试
否则,称为无界。

高等数学(一 高等数学 一)

例如,数列

有界,数列

无界

数轴上对应于有界数列的点 xn 都落在闭区间[-M,M]上。

定理 收敛的数列必定有界。 注意:有界性是数列收敛的必要条件。 推论 无界数列必定发散。 (3)保号性 收敛数列的保号性:假设数列{αn}收敛,其极限为 α, 1)若有正整数 N,n>N 时,αn>0(或<0),则 α≥0(或 α≤0) 2)若 α>0(或<0,则有正整数 N,使得当 n>N 时,αn>0(或<0) 2.2 1.级数的定义: 级数

称为数项无穷级数(或简称数项级数),un 为一般项。

2.级数的部分和

-3-

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

3.部分和数列

4.级数的收敛与发散

当 n 无限增大时, 如果级数

的部分和数列 Sn 有极限 S,即

则称无穷级数

收敛,这时极限 S 叫做级数

的和,并写成



如果 Sn 没有极限,则称无穷级数 数项级数收敛 存在

发散。

例 1.讨论等比级数(几何级数)

(a≠0)的收敛性。 0101】

-4-

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

解:如果 q≠1 时,

当|q|<1 时, 当|q|>1 时 如果|q|=1 时 当|q|=1 时, ,级数发散

收敛 发散

当 q=-1 时,级数变为 α-α+α-α+… 不存在,级数发散

综上 例 2.(56 页 1(3))判断下列级数的敛散性,并在收敛时求出其和:

-5-

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

0102】

解:



得级数收敛,其和为



例 3.判断级数 0103】

的敛散性

例 4.判断级数 0104】

的敛散性,并在收敛时求出其和

-6-

高等教育自学考试
例 5.判别无穷级数

高等数学(一 高等数学 一)

的收敛性。 0105】



∴级数收敛,和为

。 2.3 函数极限

-7-

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

两种情形: (1)x→∞情形: (2)x→x0 情形: 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 定义:设 M 是任意一个正数,函数 f(x)在 上有定义,如果存在常数 A,

当|x|无限增大(即|x|→∞)时,f(x)无限接近于 A,则称 A 为函数 f(x)当 x→∞时的极限,或 简称为 f(x)在无穷大处的极限,记为 或 f(x)→A,当 x→∞时。

定理: 例 1.(60 页例 5、例 6)求下列函数的极限

(1) 0201】
-8-

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

(2) 0202】

解:对于函数

对于函数 f(x)=arctanx,由反正切曲线 y=arctanx 的图形,易见

所以,极限 例 2. 0203】

不存在。

-9-

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例 3. 0204】

例 4. 0205】

二、函数在有限点处的极限(自变量趋于有限值时函数的极限) 函数在有限点处的极限(自变量趋于有限值时函数的极限)
- 10 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)
,如

1.定义:给定函数 y=f(x)在(x∈D)上有定义,假设点 x0 的某一去心邻域

果存在常数 A,使得当 x→x0 时,函数值 f(x)无限接近于 A,则称 A 为函数 f(x)当 x→x0 时的极 限,记为 或 f(x)→A,当 x→x0 时。

2.单侧极限 定义:设 f(x)在 x0 的一个左邻域中有定义,如果存在常数 A,使得当 数值 f(x)无限接近于 A,则称 A 为函数 f(x)当 时的左极限,记为 定理: 时,相应的函

或 f(x0-0)。

例 5.62 页 2:(5)(6)(7) 求函数在指定点的左右极限,判定该点极限是否存在。

- 11 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

(5) 0206】

x=2

(6) 0207】

x=0

(7) 0208】

,x=0

- 12 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

问题:函数 y=f(x)在 x→x0 的过程中,对应函数值 f(x)无限趋近于确定值 A。

例 6.求 0209】

注意:函数极限与 f(x)在点 x0 是否有定义无关 三、函数极限的性质 1.唯一性 定理 若 limf(x)存在,则极限唯一。 2.有界性 定理 (有极限函数的局部有界性)假设 存在,则 f(x)在 x0 点的某个邻域中有界,

- 13 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)
中,有

即有常数 M>0,使得在 x0 的某个去心邻域

3.保号性 若 ,且 A>0(或 A<0)

推论





f(x)≥0(或 f(x)≤0),则 A≥0(或 A≤0) 四、小结 函数极限的统一定义

2.4 一、极限运算法则

极限的运算法则

- 14 -

高等教育自学考试
定理

高等数学(一 高等数学 一)

设 (1) (2)

,则

(3) 例 7. 0210】

推论 1 如果 lim f(x)存在,而 c 为常数,则

常数因子可以提到极限记号外面。 推论 2 如果 lim f(x)存在,而 n 是正整数,则

- 15 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

二、求极限方法举例

例 8.求 0211】 解

(直接代入法)

例 9.求 0212】



解:x→1 时,分子,分母的极限都是零。(

型)

(消去零因子法或因式分解法)

- 16 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例 10.求 0213】

解:先变形再求极限。



例 11.求 0214】

三、小结 1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法 a.多项式与分式函数代入法求极限;
- 17 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

b.因式分解法消去零因子求极限; c.通分法 d.利用左右极限求分段函数极限。 2.5 无穷小和无穷大 一、无穷小 1.定义:极限为零的变量称为无穷小。 函数 f(x)当 x→x0 (或 x→∞)时为无穷小,记作

例如, ,∴函数 sinx 是当 x→0 时的无穷小。

,∴函数

是当 x→∞时的无穷小。

,∴数列

是当 n→∞时的无穷小。

注意: (1)无穷小是变量,不能与很小的数混淆; (2)零是可以作为无穷小的唯一的数。 2.无穷小与函数极限的关系: 定理 其中 α(x)是当 x→x0 时的无穷小。

- 18 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

3.无穷小的运算性质: (1)在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 (2)有限个无穷小的乘积也是无穷小。 (3)有界变量与无穷小的乘积是无穷小。

例如,当 x→0 时,

- 19 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

二、无穷大 1.定义:绝对值无限增大的变量称为无穷大。 函数 f(x)当 x→x0 (或 x→∞)时为无穷大,记作 。

2.特殊情形:正无穷大,负无穷大。

注意: (1)无穷大是变量,不能与很大的数混淆; (2)切勿将 认为极限存在。 (3)无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大。 例如, 是无界变量不是无穷大。
- 20 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

三、无穷小与无穷大的关系

1.定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。 2.意义:关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论。

例 1.求 0301】 解: 又



商的法则不能用

由无穷小与无穷大的关系,得

例 2.求 0302】



解:x→∞时,分子,分母的极限都是无穷大。( 先用 x3 去除分子分母,分出无穷小,再求极限。

型)

(无穷小因子分出法)

- 21 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例 3.求 0303】

例 4.求 0304】

- 22 -

高等教育自学考试
小结:当

高等数学(一 高等数学 一)
,m 和 n 为非负整数时有

无穷小分出法:以分子、分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极 限。

例 5. 0305】

例 6.求 0306】

例 7.求 0307】

- 23 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例 8(2007 年 10 月) 0308】

例 9(2007 年 10 月)、下面 A、B、C、D 四个极限中,哪一个极限存在()

A.

B. C.

D. 0309】 答案:D

- 24 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例 10(2007 年 4 月) A.0 B.1 C.-1 D.不存在 0310】 答案:B





- 25 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例 11(2007 年 7 月) 0311】

计算

- 26 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例 12(2005 年) 0312】

计算

2.6 两个重要极限

- 27 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

2.6.1 关于

例 1、计算 0401】 解:

- 28 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例 2、 0402】 解:

例 3、80 页第 1 题(5) 0403】 解:

例 4、 0404】 解:

- 29 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例 5、 0405】 解:

例 6、判断四个极限分别属于哪一种类型:

(1) 0406】

(2)
- 30 -

高等教育自学考试
0407】

高等数学(一 高等数学 一)

(3) 0408】

(4) 0409】 解:

解:

- 31 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例 7、求 0410】 解

- 32 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

2.6.2 关于

例 1、求 0501】 解:

- 33 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例 2、 0502】 解:

例 3、 0503】 解:

例 4、 0504】
- 34 -

高等教育自学考试
解: 方法一:

高等数学(一 高等数学 一)

方法二:

例 5、 0505】 解:

- 35 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例 6、 0506】 解:

例 7、 0507】 解:

- 36 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例 8、 0508】 解: 方法一:

方法二:

- 37 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例 9、81 页 4 题(8) 0509】 解:

小结: 第一类重要极限:

- 38 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

第二类重要极限:

2.5.4 无穷小的比较

例如,当 x→0 时, 观察各极限

都是无穷小。

,x 比 3x 要快得多;

2

,sinx 与 x 大致相同;

不存在,不可比。 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同。 定义: 设 α,β 是同一过程中的两个无穷小,且 α≠0.

(1)如果

,就说 β 是比 α 高阶的无穷小,记作 β=o(α);

(2)如果

,就说 β 与 α 是同阶的无穷小;

- 39 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

特殊地如果 等价无穷小:

,则称 β 与 α 是等价的无穷小;记作 α~β;

例: 0601】

- 40 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例: 0602】

得:当 x→0 时,

例: (1)73 页 8 题: 当 x→∝时,a,b,c 应满足什么条件可使下式成立?

(1)

- 41 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

(2)

等价无穷小代换 等价代换原理:在同一极限过程中的三个变量 u,v,w,如果 u,v 是无穷小量,且等价,则有



由 得:当 x→0 时,

- 42 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

常用等价无穷小: 当 x→0 时,

牢记常用的等价无穷小: 当 x→0 时,

例: 0603】

- 43 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例: 0604】



求 0605】 错解 当 x→0 时,

解 当 x→0 时,

- 44 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)



(1)80 页 1 题(7) 0606】

(2)80 页 1 题(9) 0607】

- 45 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

(3)80 页 1 题(10) 0608】

(4)80 页 2 题:设 0609】

,求 a,b

- 46 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例:94 页 3 题(4): 0610】

- 47 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例:94 页 4 题(1):证明当 0611】

时,sin(2cosx)与

是同阶无穷小。

例:81 页 8 题:设 0612】

,求 k。

- 48 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

小结 1.两个重要极限

2.无穷小的比较: 反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小;等价无穷小; 3.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法,注意适用条件. 2.7 函数的连续性和连续函数 一、函数的连续性

- 49 -

高等教育自学考试
1.函数的增量 设函数 f(x)在

高等数学(一 高等数学 一)

内有定义,

称为自变量在点

的增量。

2.连续的定义 定义 1 设函数 f(x)在 增量 续, 也趋向于零,即 称为 的连续点. 内有定义,如果当自变量的增量 或 趋向于零时,对应的函数的 连

,那么就称函数 f(x)在点

定义 2 设函数 f(x)在 在点 处的函数值 ,即

内有定义,如果函数 那么就称函数

当 在点

时的极限存在,且等于它 连续。

- 50 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例 1、 0701】 证

由定义 2 知

3.单侧连续 若函数 f(x)在 若函数 f(x)在 内有定义,且 内有定义,且 ,则称 f(x)在点 ,则称 f(x)在点 处左连续; 处右连续。

定理 函数 f(x)在 处连续 函数 f(x)在 处既左连续又右连续。

例 2、
- 51 -

高等教育自学考试
0702】 解

高等数学(一 高等数学 一)

右连续但不左连续,故函数 f(x)在点 x=0 处不连续。 4.连续函数与连续区间

在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的续函数,或者说函数在该区间上连续. 如果函数在开区间(a,b)内连续,并且在左端点 x=a 处右连续,在右端点 x=b 处左连续,则 称函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续。 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。 二、四则运算的连续性 定理 1

若函数 f(x),g(x)在点 处也连续。 例如, 故

处连续,则

在点

内连续, 在其定义域内连续。

三、反函数与复合函数的连续性 定理 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数。

例如, 同理 续。

上单调增加且连续, 故 上单调减少且连续;

上也是单调增加且连续。 上单调且连

反三角函数在其定义域内皆连续. 定理 3
- 52 -

高等教育自学考试
设函数 u=g(x)在点 (x)]在点 也连续。

高等数学(一 高等数学 一)
连续,且 而函数 y=f(u)在点 连续,则复合函数 y=f[g

例如,

四、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.

在(0,+∞)内连续,讨论 μ 不同值, (均在其定义域内连续 ) 基本初等函数在定义域内是连续的. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 注意 初等函数求极限的方法代入法.

例 3、 0703】 解:

例 4、 0704】

解:

例 5、
- 53 -

在 x=0 处连续。

高等教育自学考试
0705】 解:

高等数学(一 高等数学 一)

故当且仅当 a=1 时,函数 f(x)在 x=0 处连续。

例 6(95 页 6 题)、设 0706】

在(-∞,+∞)上连续,求 a,b

五、闭区间上的连续函数 定理 4(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。 定理 5(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。

若 f(x)∈C[a,b],则

,使得

,有

- 54 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

注意: (1)若区间是开区间,定理不一定成立; (2)若区间内有间断点,定理不一定成立. 零点定理: 定义: 定理 6(零点定理) 设函数 在闭区间 上连续,且 与 异号(即 ,

) 那么在开区间 , (a, 内至少有函数 f b) (x) 的一个零点, 即至少有一点 使 . 即方程 f(x)=0 在(a,b)内至少存在一个实根。

几何解释: 连续曲线弧 y=f(x)的两个端点位于 x 轴的不同侧,则曲线弧与 x 轴至少有一个交点。

- 55 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

定理 7(介值定理)在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.

几何解释:连续曲线弧 y=f(x)与水平直线 y=C 至少有一个交点。 例 7、

0707】 证 则 f(x)在[0,1]上连续,又 f(0)=1>0,f(1)=-2<0,由零点定理, 使

例 8( 95 页 9 题(3))、证明方程 0708】

在(-∞,+∞)中必有根。

- 56 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

2.8 函数的间断点

函数 f(x)在点

处连续必须满足的三个条件:

如果上述三个条件中只要有一个不满足,则称函数 f(x)在点 为 f(x)的不连续点(或间断点)。 一、定义 函数不连续的点称为它的间断点 二、第一类间断点 1.跳跃间断点 如果 f(x)在点 跳跃间断点。 例 1、 处左、右极限都存在,但

处不连续(或间断),并称点

,则称点

为函数 f(x)的

讨论函数 0801】 解

在 x=0 处的连续性。

- 57 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

∴x=0 为函数的跳跃间断点。

2.可去间断点 如果 f(x)在点 处的极限存在,但 处无定义则称点

为函数 f(x)的可去间断点。 例 2、

讨论函数 0802】

在 x=1 处的连续性。



∴x=1 为函数的可去间断点。

例 3、讨论 0803】

在 x=0 处的连续性

- 58 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 如上例中,

跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.

特点: 三、第二类间断点 如查 f(x)在点 点。
- 59 -

处的左、右极限至少有一个不存在,则称点

为函数 f(x)的第二类间断

高等教育自学考试
例 4、

高等数学(一 高等数学 一)

0804】 解

∴x=0 为函数的第二类间断点。 这种情况称为无穷间断点。 例 5、

0805】 解

∴x=0 为第二类间断点。 这种情况称为振荡间断点。

例 6(98 页例 5)、求函数 0806】

的间断点。

- 60 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

讨论



- 61 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例 7(99 页习题 2.8,1(1))、求 0807】

的间断点,并说明其类型。

- 62 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

例 8(99 页习题 2.8,1(2))、求 0808】

的间断点,并说明其类型。

例 9(99 页习题 2.8,1(3))、求 0809】

的间断点,并说明其类型。

四、小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 2.间断点的分类与判别;

第一类间断点

- 63 -

高等教育自学考试

高等数学(一 高等数学 一)

第二类间断点

- 64 -


搜索更多“高等教育自学考试高等数学(一)第二章 极限和连续”

学习资料共享网 | 文档资料共享网 | 兰溪范文 | 酷我资料网 | 省心范文网 | 海文库

晓灵聚合阅读网 | 弘亮中文吧 | 薇歌中文阅读平台 | 好看的阅读网站 | 允晨阅读小屋网 | 寒天阅读平台 | 水彤中文网 | 雨彤平台 | 伟泽中文阅读之家 | 梓舒阅读吧 | 嘉谊阅读家 | 好看的阅读站 | 修文中文阅读吧 | 康复中文阅读网 | 颐真中文小说网 | 初柔看书网 | 小凝小说网 | 桂月阅读之家 | 沛文阅读吧 | 如风聚合网 | 鑫鹏中文吧 | 兴学中文阅读平台 | 映阳中文看书网 | 淳雅阅读网 | 今雨阅读平台 | 又儿网 | 凝雨阅读网645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825 826 827 828 829 830 831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 848 849 850 851 852 853 854 855 856 857 858 859 860 861 862 863 864 865 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878 879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896 897 898 899 900 901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911 912 913 914 915 916 917 918 919 920 921 922 923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935 936 937 938 939 940 941 942 943 944 945 946 947 948 949 950 951 952 953 954 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971
网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。3088529994@qq.com