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高等教育自学考试高等数学(一)第二章 极限和连续


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第二章 极限和连续
2.1 数列极限

一、概念的引入(割圆术) 概念的引入(割圆术) “割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2 n-1 正 6×2 形的面积 An A1,A2,A3,…,An,…→…S

二、数列的定义 定义:按自然数 1,2,3…编号依次排列的一列数 x1,x2,…,xn,… (1) 称为无穷数列,简称数列。其中的每个数称为数列的项,xn 称为通项(一般项)。数列(1)记 为{ xn }。 例如 n n 2,4,8,…,2 ,…;{ 2 }

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注意: (1)数列对应着数轴上一个点列,可看作一动点在数轴上依次取 (2)数列是整标函数 xn=f(n) 三、数列的极限 如果存在常数 a, n 无限增大时, n 无限接近于常数 a, 当 x 则称数列{ xn } 1.定义 设{xn}是一数列, 收敛,a 是数列{ xn }的极限,或者称数列 xn 收敛于 a,记为 。 如果数列没有极限,就说数列是发散的。 例如 n n 2,4,8,…,2 ,…;{ 2 },发散 ,发散

收敛于 0

2.数列极限的性质 (1)唯一性 定理 每个收敛的数列只有一个极限。 (2)有界性 定义: 对数列 xn, 若存在正数 M,使得一切自然数 n, 恒有|xn|≤M 成立, 则称数列 xn 有界,
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否则,称为无界。

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例如,数列

有界,数列

无界

数轴上对应于有界数列的点 xn 都落在闭区间[-M,M]上。

定理 收敛的数列必定有界。 注意:有界性是数列收敛的必要条件。 推论 无界数列必定发散。 (3)保号性 收敛数列的保号性:假设数列{αn}收敛,其极限为 α, 1)若有正整数 N,n>N 时,αn>0(或<0),则 α≥0(或 α≤0) 2)若 α>0(或<0,则有正整数 N,使得当 n>N 时,αn>0(或<0) 2.2 1.级数的定义: 级数

称为数项无穷级数(或简称数项级数),un 为一般项。

2.级数的部分和

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3.部分和数列

4.级数的收敛与发散

当 n 无限增大时, 如果级数

的部分和数列 Sn 有极限 S,即

则称无穷级数

收敛,这时极限 S 叫做级数

的和,并写成



如果 Sn 没有极限,则称无穷级数 数项级数收敛 存在

发散。

例 1.讨论等比级数(几何级数)

(a≠0)的收敛性。 0101】

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解:如果 q≠1 时,

当|q|<1 时, 当|q|>1 时 如果|q|=1 时 当|q|=1 时, ,级数发散

收敛 发散

当 q=-1 时,级数变为 α-α+α-α+… 不存在,级数发散

综上 例 2.(56 页 1(3))判断下列级数的敛散性,并在收敛时求出其和:

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0102】

解:



得级数收敛,其和为



例 3.判断级数 0103】

的敛散性

例 4.判断级数 0104】

的敛散性,并在收敛时求出其和

-6-

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例 5.判别无穷级数

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的收敛性。 0105】



∴级数收敛,和为

。 2.3 函数极限

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两种情形: (1)x→∞情形: (2)x→x0 情形: 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 定义:设 M 是任意一个正数,函数 f(x)在 上有定义,如果存在常数 A,

当|x|无限增大(即|x|→∞)时,f(x)无限接近于 A,则称 A 为函数 f(x)当 x→∞时的极限,或 简称为 f(x)在无穷大处的极限,记为 或 f(x)→A,当 x→∞时。

定理: 例 1.(60 页例 5、例 6)求下列函数的极限

(1) 0201】
-8-

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(2) 0202】

解:对于函数

对于函数 f(x)=arctanx,由反正切曲线 y=arctanx 的图形,易见

所以,极限 例 2. 0203】

不存在。

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例 3. 0204】

例 4. 0205】

二、函数在有限点处的极限(自变量趋于有限值时函数的极限) 函数在有限点处的极限(自变量趋于有限值时函数的极限)
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,如

1.定义:给定函数 y=f(x)在(x∈D)上有定义,假设点 x0 的某一去心邻域

果存在常数 A,使得当 x→x0 时,函数值 f(x)无限接近于 A,则称 A 为函数 f(x)当 x→x0 时的极 限,记为 或 f(x)→A,当 x→x0 时。

2.单侧极限 定义:设 f(x)在 x0 的一个左邻域中有定义,如果存在常数 A,使得当 数值 f(x)无限接近于 A,则称 A 为函数 f(x)当 时的左极限,记为 定理: 时,相应的函

或 f(x0-0)。

例 5.62 页 2:(5)(6)(7) 求函数在指定点的左右极限,判定该点极限是否存在。

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(5) 0206】

x=2

(6) 0207】

x=0

(7) 0208】

,x=0

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问题:函数 y=f(x)在 x→x0 的过程中,对应函数值 f(x)无限趋近于确定值 A。

例 6.求 0209】

注意:函数极限与 f(x)在点 x0 是否有定义无关 三、函数极限的性质 1.唯一性 定理 若 limf(x)存在,则极限唯一。 2.有界性 定理 (有极限函数的局部有界性)假设 存在,则 f(x)在 x0 点的某个邻域中有界,

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中,有

即有常数 M>0,使得在 x0 的某个去心邻域

3.保号性 若 ,且 A>0(或 A<0)

推论





f(x)≥0(或 f(x)≤0),则 A≥0(或 A≤0) 四、小结 函数极限的统一定义

2.4 一、极限运算法则

极限的运算法则

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定理

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设 (1) (2)

,则

(3) 例 7. 0210】

推论 1 如果 lim f(x)存在,而 c 为常数,则

常数因子可以提到极限记号外面。 推论 2 如果 lim f(x)存在,而 n 是正整数,则

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二、求极限方法举例

例 8.求 0211】 解

(直接代入法)

例 9.求 0212】



解:x→1 时,分子,分母的极限都是零。(

型)

(消去零因子法或因式分解法)

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例 10.求 0213】

解:先变形再求极限。



例 11.求 0214】

三、小结 1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法 a.多项式与分式函数代入法求极限;
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b.因式分解法消去零因子求极限; c.通分法 d.利用左右极限求分段函数极限。 2.5 无穷小和无穷大 一、无穷小 1.定义:极限为零的变量称为无穷小。 函数 f(x)当 x→x0 (或 x→∞)时为无穷小,记作

例如, ,∴函数 sinx 是当 x→0 时的无穷小。

,∴函数

是当 x→∞时的无穷小。

,∴数列

是当 n→∞时的无穷小。

注意: (1)无穷小是变量,不能与很小的数混淆; (2)零是可以作为无穷小的唯一的数。 2.无穷小与函数极限的关系: 定理 其中 α(x)是当 x→x0 时的无穷小。

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3.无穷小的运算性质: (1)在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 (2)有限个无穷小的乘积也是无穷小。 (3)有界变量与无穷小的乘积是无穷小。

例如,当 x→0 时,

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二、无穷大 1.定义:绝对值无限增大的变量称为无穷大。 函数 f(x)当 x→x0 (或 x→∞)时为无穷大,记作 。

2.特殊情形:正无穷大,负无穷大。

注意: (1)无穷大是变量,不能与很大的数混淆; (2)切勿将 认为极限存在。 (3)无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大。 例如, 是无界变量不是无穷大。
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三、无穷小与无穷大的关系

1.定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。 2.意义:关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论。

例 1.求 0301】 解: 又



商的法则不能用

由无穷小与无穷大的关系,得

例 2.求 0302】



解:x→∞时,分子,分母的极限都是无穷大。( 先用 x3 去除分子分母,分出无穷小,再求极限。

型)

(无穷小因子分出法)

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例 3.求 0303】

例 4.求 0304】

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小结:当

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,m 和 n 为非负整数时有

无穷小分出法:以分子、分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极 限。

例 5. 0305】

例 6.求 0306】

例 7.求 0307】

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例 8(2007 年 10 月) 0308】

例 9(2007 年 10 月)、下面 A、B、C、D 四个极限中,哪一个极限存在()

A.

B. C.

D. 0309】 答案:D

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例 10(2007 年 4 月) A.0 B.1 C.-1 D.不存在 0310】 答案:B





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例 11(2007 年 7 月) 0311】

计算

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例 12(2005 年) 0312】

计算

2.6 两个重要极限

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2.6.1 关于

例 1、计算 0401】 解:

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例 2、 0402】 解:

例 3、80 页第 1 题(5) 0403】 解:

例 4、 0404】 解:

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例 5、 0405】 解:

例 6、判断四个极限分别属于哪一种类型:

(1) 0406】

(2)
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0407】

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(3) 0408】

(4) 0409】 解:

解:

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例 7、求 0410】 解

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2.6.2 关于

例 1、求 0501】 解:

- 33 -

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例 2、 0502】 解:

例 3、 0503】 解:

例 4、 0504】
- 34 -

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解: 方法一:

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方法二:

例 5、 0505】 解:

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例 6、 0506】 解:

例 7、 0507】 解:

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例 8、 0508】 解: 方法一:

方法二:

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例 9、81 页 4 题(8) 0509】 解:

小结: 第一类重要极限:

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第二类重要极限:

2.5.4 无穷小的比较

例如,当 x→0 时, 观察各极限

都是无穷小。

,x 比 3x 要快得多;

2

,sinx 与 x 大致相同;

不存在,不可比。 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同。 定义: 设 α,β 是同一过程中的两个无穷小,且 α≠0.

(1)如果

,就说 β 是比 α 高阶的无穷小,记作 β=o(α);

(2)如果

,就说 β 与 α 是同阶的无穷小;

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特殊地如果 等价无穷小:

,则称 β 与 α 是等价的无穷小;记作 α~β;

例: 0601】

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例: 0602】

得:当 x→0 时,

例: (1)73 页 8 题: 当 x→∝时,a,b,c 应满足什么条件可使下式成立?

(1)

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(2)

等价无穷小代换 等价代换原理:在同一极限过程中的三个变量 u,v,w,如果 u,v 是无穷小量,且等价,则有



由 得:当 x→0 时,

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常用等价无穷小: 当 x→0 时,

牢记常用的等价无穷小: 当 x→0 时,

例: 0603】

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例: 0604】



求 0605】 错解 当 x→0 时,

解 当 x→0 时,

- 44 -

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(1)80 页 1 题(7) 0606】

(2)80 页 1 题(9) 0607】

- 45 -

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(3)80 页 1 题(10) 0608】

(4)80 页 2 题:设 0609】

,求 a,b

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例:94 页 3 题(4): 0610】

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例:94 页 4 题(1):证明当 0611】

时,sin(2cosx)与

是同阶无穷小。

例:81 页 8 题:设 0612】

,求 k。

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小结 1.两个重要极限

2.无穷小的比较: 反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小;等价无穷小; 3.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法,注意适用条件. 2.7 函数的连续性和连续函数 一、函数的连续性

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1.函数的增量 设函数 f(x)在

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内有定义,

称为自变量在点

的增量。

2.连续的定义 定义 1 设函数 f(x)在 增量 续, 也趋向于零,即 称为 的连续点. 内有定义,如果当自变量的增量 或 趋向于零时,对应的函数的 连

,那么就称函数 f(x)在点

定义 2 设函数 f(x)在 在点 处的函数值 ,即

内有定义,如果函数 那么就称函数

当 在点

时的极限存在,且等于它 连续。

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例 1、 0701】 证

由定义 2 知

3.单侧连续 若函数 f(x)在 若函数 f(x)在 内有定义,且 内有定义,且 ,则称 f(x)在点 ,则称 f(x)在点 处左连续; 处右连续。

定理 函数 f(x)在 处连续 函数 f(x)在 处既左连续又右连续。

例 2、
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0702】 解

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右连续但不左连续,故函数 f(x)在点 x=0 处不连续。 4.连续函数与连续区间

在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的续函数,或者说函数在该区间上连续. 如果函数在开区间(a,b)内连续,并且在左端点 x=a 处右连续,在右端点 x=b 处左连续,则 称函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续。 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。 二、四则运算的连续性 定理 1

若函数 f(x),g(x)在点 处也连续。 例如, 故

处连续,则

在点

内连续, 在其定义域内连续。

三、反函数与复合函数的连续性 定理 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数。

例如, 同理 续。

上单调增加且连续, 故 上单调减少且连续;

上也是单调增加且连续。 上单调且连

反三角函数在其定义域内皆连续. 定理 3
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设函数 u=g(x)在点 (x)]在点 也连续。

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连续,且 而函数 y=f(u)在点 连续,则复合函数 y=f[g

例如,

四、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.

在(0,+∞)内连续,讨论 μ 不同值, (均在其定义域内连续 ) 基本初等函数在定义域内是连续的. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 注意 初等函数求极限的方法代入法.

例 3、 0703】 解:

例 4、 0704】

解:

例 5、
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在 x=0 处连续。

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0705】 解:

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故当且仅当 a=1 时,函数 f(x)在 x=0 处连续。

例 6(95 页 6 题)、设 0706】

在(-∞,+∞)上连续,求 a,b

五、闭区间上的连续函数 定理 4(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。 定理 5(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。

若 f(x)∈C[a,b],则

,使得

,有

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注意: (1)若区间是开区间,定理不一定成立; (2)若区间内有间断点,定理不一定成立. 零点定理: 定义: 定理 6(零点定理) 设函数 在闭区间 上连续,且 与 异号(即 ,

) 那么在开区间 , (a, 内至少有函数 f b) (x) 的一个零点, 即至少有一点 使 . 即方程 f(x)=0 在(a,b)内至少存在一个实根。

几何解释: 连续曲线弧 y=f(x)的两个端点位于 x 轴的不同侧,则曲线弧与 x 轴至少有一个交点。

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定理 7(介值定理)在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.

几何解释:连续曲线弧 y=f(x)与水平直线 y=C 至少有一个交点。 例 7、

0707】 证 则 f(x)在[0,1]上连续,又 f(0)=1>0,f(1)=-2<0,由零点定理, 使

例 8( 95 页 9 题(3))、证明方程 0708】

在(-∞,+∞)中必有根。

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2.8 函数的间断点

函数 f(x)在点

处连续必须满足的三个条件:

如果上述三个条件中只要有一个不满足,则称函数 f(x)在点 为 f(x)的不连续点(或间断点)。 一、定义 函数不连续的点称为它的间断点 二、第一类间断点 1.跳跃间断点 如果 f(x)在点 跳跃间断点。 例 1、 处左、右极限都存在,但

处不连续(或间断),并称点

,则称点

为函数 f(x)的

讨论函数 0801】 解

在 x=0 处的连续性。

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∴x=0 为函数的跳跃间断点。

2.可去间断点 如果 f(x)在点 处的极限存在,但 处无定义则称点

为函数 f(x)的可去间断点。 例 2、

讨论函数 0802】

在 x=1 处的连续性。



∴x=1 为函数的可去间断点。

例 3、讨论 0803】

在 x=0 处的连续性

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注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 如上例中,

跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.

特点: 三、第二类间断点 如查 f(x)在点 点。
- 59 -

处的左、右极限至少有一个不存在,则称点

为函数 f(x)的第二类间断

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例 4、

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0804】 解

∴x=0 为函数的第二类间断点。 这种情况称为无穷间断点。 例 5、

0805】 解

∴x=0 为第二类间断点。 这种情况称为振荡间断点。

例 6(98 页例 5)、求函数 0806】

的间断点。

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讨论



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例 7(99 页习题 2.8,1(1))、求 0807】

的间断点,并说明其类型。

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例 8(99 页习题 2.8,1(2))、求 0808】

的间断点,并说明其类型。

例 9(99 页习题 2.8,1(3))、求 0809】

的间断点,并说明其类型。

四、小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 2.间断点的分类与判别;

第一类间断点

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第二类间断点

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