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第一讲 参数方程与极坐标知识归纳与达标验收_图文


第 一 讲

本 讲 知 识 归 纳 与 达 标 验 收

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考情分析 通过对近几年新课标区高考试题的分析可知,高考对本 讲的考查集在考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化 等.预计今后的高考中,仍以考查圆、直线的极坐标方程为 主.

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真题体验 1.(2012· 安徽高考)在极坐标系中,圆 ρ=4sin θ 的圆心到直 π 线 θ= (ρ∈R)的距离是________. 6 解析:将 ρ=4sin θ 化成直角坐标方程为 x2+y2=4y,即 x2
π +(y-2) =4,圆心为(0,2).将 θ= (ρ∈R)化成直角坐标方 6
2

程为 x- 3y=0,由点到直线的距离公式可知圆心到直线的 |0-2 3| 距离 d= = 3. 2

答案: 3

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2.(2012· 上海高考)如图,在极坐标系中, π 过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α= . 6 若将 l 的极坐标方程写成 ρ=f(θ)的形式, 则 f(θ)=________.

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解析:在直线 l 上任取点 P(ρ,θ),在△OPM 中,由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 = ,即 = ,化简得 ρ π 5π sin∠OPM sin∠OMP sin? -θ? sin 6 6 1 1 = ,故 f(θ)= . π π sin? -θ? sin? -θ? 6 6
1 答案: π sin? -θ? 6

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3.(2011· 江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,

则该曲线的直角坐标方程为________.
解析:∵ρ=2sin θ+4cos θ,∴ρ2=2ρsin θ+4ρcos θ, ∴x2+y2=2y+4x,即x2+y2-4x-2y=0. 答案:x2+y2-4x-2y=0.

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利用问题的几何特征,建立适当坐标系,主要就是兼

顾到它们的对称性,尽量使图形的对称轴(对称中心)正好
是坐标系中的x轴,y轴(坐标原点). 坐标系的建立,要尽量使我们研究的曲线的方程简 单.

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[例1]

已知圆的半径为6,圆内一定点P离圆心的距离

为4,A、B是圆上的两动点且满足∠APB=90°,求矩形 APBQ的顶点Q的轨迹方程. [解 ] 如图,以圆心O为原点,OP

所在直线为x轴建立直角坐标系,则圆
的方程为x2+y2=36,P(4,0).

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设 Q(x,y),PQ 与 AB 相交于 P1, 4+x y 则 P1=( , ). 2 2 由|PQ|=|AB|=2 r2-|OP1|2, 即 ?x-4? +y =2
2 2

4+ x 2 y 2 36-[? ? +? ? ], 2 2

化简,可得 x2+y2=56. 即所求顶点 Q 的轨迹方程为 x2+y2=56.

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设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
? x ?x′=λ· ? φ: ? y ?y′=μ·

?λ>0? 的作用下, 点 P(x, y)对应点 P′(x′, ?μ>0?

y′),称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.

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[ 例 2]
? ?x′=2x, ? ? ?y′=2y

在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 后, 曲线 C 变为曲线(x′-5)2+(y′+6)2=1,

求曲线 C 的方程,并判断其形状.
[解]
? ?x′=2x, 将? ? ?y′=2y

代入(x′-5)2+(y′+6)2=1 中,

得(2x-5)2+(2y+6)2=1. 52 1 2 化简,得(x- ) +(y+3) = . 2 4 5 1 该曲线是以( ,-3)为圆心,半径为 的圆. 2 2

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在给定的平面上的极坐标系下,有一个二元方程F(ρ,
θ) = 0 如果曲线C是由极坐标(ρ,θ)满足方程的所有点组成的, 则称此二元方程F(ρ,θ)=0为曲线C的极坐标方程. 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,因此曲线 的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处,一条曲线上 的点的极坐标有多组表示形式,有些表示形式可能不满足

方程,这里要求至少有一组能满足极坐标方程. 返回

求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法, 在极坐标中仍然适用,注意求谁设谁,找出所设点的坐标 ρ、 θ 的关系. [例 3] 1 △ABC 底边 BC=10, ∠A= ∠B, 以 B 为极点, 2

BC 为极轴,建立极坐标系,求顶点 A 的轨迹的极坐标方程.

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[解]

如图:令 A(ρ,θ),

θ △ABC 内,设∠B=θ,∠A= , 2 又|BC|=10,|AB|=ρ. 10 由正弦定理,得 = θ, 3θ sin?π- ? sin2 2 化简,得 A 点轨迹的极坐标方程为 ρ=10+20cos θ. ρ

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互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点,x 轴 的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度. 互化公式为 x=ρcos θ,y=ρsin θ y ρ2=x2+y2,tan θ=x?x≠0?

直角坐标方程化极坐标方程可直接将x=ρcos θ,y= ρsin θ代入即可,而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极 坐标方程化为ρcos θ,ρsin θ的整体形式,然后用x,y代替 较为方便,常常两端同乘以ρ即可达到目的,但要注意变形 的等价性.

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[例4]

已知圆的极坐标方程ρ=2cos θ,直线的极坐标

方程为ρcos θ-2ρsin θ+7=0,则圆心到直线的距离为
________.
[解析] 将 ρ=2cos θ 化为 ρ2=2ρcos θ,即有

x2+y2-2x=0,亦即(x-1)2+y2=1. 将 ρcos θ-2ρsin θ+7=0 化为 x-2y+7=0, |1+7| 8 5 故圆心到直线的距离 d= 2 = . 5 1 +?-2?2

[答案]

8 5 5

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[例 5]

π 在极坐标系中,点 M 坐标是(2, ),曲线 C 的 3

π 方程为 ρ=2 2sin(θ+ ); 以极点为坐标原点, 极轴为 x 轴的 4 正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 经过点 M 和极点. (1)写出直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)直线 l 和曲线 C 相交于两点 A、B,求线段 AB 的长.

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[解]

π (1)∵直线 l 过点 M(2, )和极点, 3

π ∴直线 l 的直角坐标方程是 θ= (ρ∈R). 3 π ρ=2 2sin(θ+ )即 ρ=2(sin θ+cos θ), 4 两边同乘以 ρ 得 ρ2=2(ρsin θ+ρcos θ), ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x-2y=0.
(2)点 M 的直角坐标为(1, 3),直线 l 过点 M 和原点, ∴直线 l 的直角坐标方程为 y= 3x. 曲线 C 的圆心坐标为(1,1),半径 r= 2,圆心到直线 l 的 3-1 距离为 d= ,∴|AB|= 3+1. 2

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