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2018版高考数学一轮总复习第7章立体几何7.3空间点直线平面之间的位置关系模拟演练文


2018 版高考数学一轮总复习 第 7 章 立体几何 7.3 空间点、直线、 平面之间的位置关系模拟演练 文
[A 级 基础达标](时间:40 分钟) 1.[2017·福州质检]已知命题 p:a,b 为异面直线,命题 q:直线 a,b 不相交,则 p 是 q 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 A 解析 若直线 a,b 不相交,则 a,b 平行或异面,所以 p 是 q 的充分不必要条件,故选 A. 2.设 A,B,C,D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( A.若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 B.若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 C.若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC D.若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC 答案 D 解析 ABCD 可能为平面四边形,也可能为空间四边形,故 D 不成立. 3.[2017·泉州模拟]设 a,b 是互不垂直的两条异面直线,则下列命题成立的是( A.存在唯一直线 l,使得 l⊥a,且 l⊥b B.存在唯一直线 l,使得 l∥a,且 l⊥b C.存在唯一平面 α ,使得 a? α ,且 b∥α D.存在唯一平面 α ,使得 a? α ,且 b⊥α 答案 C ) )

解析 a,b 是互不垂直的两条异面直线,把它放入正方体中如图,由图可知 A 不正确; 由 l∥a,且 l⊥b,可得 a⊥b,与题设矛盾,故 B 不正确;由 a? α ,且 b⊥α ,可得 a⊥b, 与题设矛盾,故 D 不正确,故选 C. 4.[2017·温州模拟]如图所示的是正方体或四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点, 这四个点不共面的是( )
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答案 D 解析 A 中 PS∥QR,故共面;B 中 PS 与 QR 相交,故共面;C 中四边形 PQRS 是平行四边 形,故共面. 5.[2016·全国卷Ⅰ]平面 α 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,α ∥平面 CB1D1,α ∩平 面 ABCD=m,α ∩平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 1 D. 3 )

答案 A 解析 如图,延长 B1A1 至 A2,使 A2A1=B1A1,延长 D1A1 至 A3,使 A3A1=D1A1,连接 AA2,AA3,

A2A3,A1B,A1D.易证 AA2∥A1B∥D1C,AA3∥A1D∥B1C.∴平面 AA2A3∥平面 CB1D1,即平面 AA2A3 为
平面 α .于是 m∥A2A3, 直线 AA2 即为直线 n.显然有 AA2=AA3=A2A3, 于是 m、 n 所成的角为 60°, 其正弦值为 3 .选 A. 2

6.[2017·福建六校联考]设 a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出四个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ③若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; ④若 a? 平面 α ,b? 平面 β ,则 a,b 一定是异面直线. 上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号). 答案 ① 解析 由公理 4 知①正确;当 a⊥b,b⊥c 时,a 与 c 可以相交、平行或异面,故②错; 当 a 与 b 相交,b 与 c 相交时,a 与 c 可以相交、平行,也可以异面,故③错;a? α ,b? β ,
2

并不能说明 a 与 b“不在任何一个平面内”,故④错.

7. 如图,在三棱锥 C-ABD 中,E、F 分别是 AC 和 BD 的中点,若 CD=2AB=4,EF⊥AB,则

EF 与 CD 所成的角是________.
答案 30°

解析 取 CB 的中点 G,连接 EG,FG, ∵EG∥AB,FG∥CD, ∴EF 与 CD 所成的角为∠EFG, 又∵EF⊥AB,∴EF⊥EG. 1 1 1 在 Rt△EFG,EG= AB=1,FG= CD=2,∴sin∠EFG= , 2 2 2 ∴∠EFG=30°,∴EF 与 CD 所成的角为 30°.

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8.如图所示,是正方体的平面展开图,在这个正方体中, ①BM 与 ED 平行; ②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60°角; ④DM 与 BN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________.

答案 ③④ 解析 如图所示,把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,显然 BM 与 ED 为异面直 线,故命题①不成立;而 CN 与 BE 平行,故命题②不成立. ∵BE∥CN,∴CN 与 BM 所成角为∠MBE. ∵∠MBE=60°,故③正确;∵BC⊥面 CDNM, ∴BC⊥DM,又∵DM⊥NC,∴DM⊥面 BCN, ∴DM⊥BN,故④正确,故填③④.

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9. π 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,D 是 PC 的中点.已知∠BAC= ,AB=2,AC 2 =2 3,PA=2.求: (1)三棱锥 P-ABC 的体积; (2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值. 解 = 4 3 . 3 1 1 1 (1)S△ABC= ×2×2 3=2 3,三棱锥 P-ABC 的体积为 V= S△ABC·PA= ×2 3×2 2 3 3

(2)如图,取 PB 的中点 E,连接 DE,AE,则 ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线

BC 与 AD 所成的角.
在△ADE 中,DE=2,AE= 2,AD=2, 2 +2 -2 3 cos∠ADE= = . 2×2×2 4 3 故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 . 4
2 2

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10.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点. 求证:(1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点. 证明 (1)如图所示,连接 CD1、EF、A1B,

∵E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点, 1 ∴FE∥A1B 且 EF= A1B. 2 ∵A1D1 綊 BC, ∴四边形 A1BCD1 是平行四边形, ∴A1B∥D1C,∴FE∥D1C, ∴EF 与 CD1 可确定一个平面, 即 E、C、D1、F 四点共面. 1 (2)由(1)知 EF∥CD1,且 EF= CD1, 2 ∴四边形 CD1FE 是梯形, ∴直线 CE 与 D1F 必相交,设交点为 P, 则 P∈CE? 平面 ABCD,且 P∈D1F? 平面 A1ADD1, ∴P∈平面 ABCD 且 P∈平面 A1ADD1.
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又平面 ABCD∩平面 A1ADD1=AD, ∴P∈AD,∴CE、D1F、DA 三线共点. [B 级 知能提升](时间:20 分钟) 11.[2017·大连模拟]已知 a,b,c 为三条不同的直线,且 a? 平面 α ,b? 平面 β , α ∩β =c. ①若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a,b 中的一条相交; ②若 a 不垂直于 c,则 a 与 b 一定不垂直; ③若 a∥b,则必有 a∥c; ④若 a⊥b,a⊥c,则必有 α ⊥β . 其中正确的命题的个数是( A.0 C.2 答案 C 解析 ①中若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a,b 中的一条相交,故①正确;②中平面 α ⊥平面 β 时,若 b⊥c,则 b⊥平面 α ,此时不论 a,c 是否垂直,均有 a⊥b,故②错误; ③中当 a∥b 时,则 a∥平面 β ,由线面平行的性质定理可得 a∥c,故③正确;④中若 b∥c, 则 a⊥b,a⊥c 时,a 与平面 β 不一定垂直,此时平面 α 与平面 β 也不一定垂直,故④错 误,所以正确命题的个数是 2. ) B.1 D.3

12. 如图在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB=2,则异 面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为( A. C. 1 5 3 5 ) B. D. 2 5 4 5

答案 D

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解析 连接 BC1,易证 BC1∥AD1,则∠A1BC1 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角.连接 A1C1,由 AB 5+5-2 4 =1,AA1=2,则 A1C1= 2,A1B=BC1= 5,故 cos∠A1BC1= = .则异面直线 A1B 2× 5× 5 5 4 与 AD1 所成角的余弦值为 . 5 13.如下图,G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有________.

答案 ②④ 解析 ①中 HG∥MN;③中 GM∥HN 且 GM≠HN,所以直线 HG 与 MN 必相交. 14.如图所示,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E 是

PC 的中点.

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(1)求证:AE 与 PB 是异面直线; (2)求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值; (3)求三棱锥 A-EBC 的体积. 解 (1)证明:假设 AE 与 PB 共面,设平面为 α , ∵A∈α ,B∈α ,E∈α ,∴平面 α 即为平面 ABE, ∴P∈平面 ABE,这与 P?平面 ABE 矛盾,

∴AE 与 PB 是异面直线. (2)取 BC 的中点 F,连接 EF、AF,则 EF∥PB,所以∠AEF 或其补角就是异面直线 AE 和

PB 所成角.
∵∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面 ABC, ∴AF= 3,AE= 2,EF= 2, 2+2-3 1 cos∠AEF= = , 2× 2× 2 4 1 ∴异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为 . 4
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1 (3)因为 E 是 PC 的中点,所以 E 到平面 ABC 的距离为 PA=1, 2

? ? VA-EBC=VE-ABC= ×? ×2× 3?×1=
1 1 3 ?2

?

3 . 3

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