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河北冀州中学2014届高三一轮复习第三次检测 数学理试题


冀州中学 2014 届高三一轮复习检测(3) 理科数学
第Ⅰ卷(选择题 一、选择题:每小题 4 分,共 60 分, 1.设集合 A ? {x | 2 x ?2 ? 1}, B ? {x |1 ? x ? 0} ,则 A ? B 等于 A. {x | x ? 1} B. {x |1 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 1} ( D. {x | 0 ? x ? 1} ) ) 共 60 分)

2.已知复数 z 满足 z ? A.第一象限 3.下列说法正确的是

(3 ? i) 2 ,则复数 z 所对应的点所在象限为 ( (i 为虚数单位) 1? i

B. 第二象限

C.第三象限

D.第四象限 ( )

A. 命题“ ?x ? R 使得 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ” B. “ a ? 1 ”是“ f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在 (0,??) 上为增函数”的充要条件 C. “ p ? q 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的必要不充分条件 D. 命题 p:“ ?x ? R, sin x ? cos x ? 2 ”,则 ? p 是真命题 4.若 a ? b ? c ,则函数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b ? ? ? x ? b ?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? 的两个零点分别位于区间 ( ) B. ? ??, a ? 和 ? a, b ? 内 C. ? b, c ? 和 ? c, ?? ? 内 D. ? ??, a ? 和 ? c, ?? ? 内 ( )

A ? a, b ? 和 ? b, c ? 内

5.等差数列 {an } 中, a5 ? a6 ? 4 ,则 log 2 (2a1 ? 2a2 ??? 2a10 ) ? A.10 B.20 C.40 D.2+log25

6.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图 1 所示,则该几何体的三视图为(



7. 已知箱中共有 6 个球,其中红球、黄球、蓝球各 2 个.每次从该箱中取 1 个球 (有放回, 每球取到的机会均等),共取三次.设事件 A: “第一次取到的球和第二次取到的球颜色相 同” ,事件 B: “三次取到的球颜色都相同” ,则 P(B|A)=( A.
1 6



B.

1 3

C.

2 3

D. 1

? 8.设函数 f ( x) ?| sin(2 x ? ) | ,则下列关于函数 f ( x) 的说法中正确的是( 3
A. f ( x) 是偶函数 C. f ( x) 图象关于点 (? , 0) 对称
6



B. f ( x) 最小正周期为π
?

D. f ( x) 在区间 [ ,
3

?

7? ] 上是增函数 12

3 9.在 ( x ? ) n 的展开式中,各项系数之和为 A ,各项的二项式系数之和 x

为 B ,且 A ? B ? 72 ,则展开式中常数项为( A.6 B.9 C.12

) D.18 )

10.已知三条不重合的直线 m,n,l 和两个不重合的平面α ,β ,下列命题正确的是:( A. 若 m//n,n ? α ,则 m// α B. 若α ⊥β, α ? β=m, n⊥m ,则 n⊥α . C.若 l⊥n ,m⊥n, 则 l//m D. 若 l⊥α ,m⊥β , 且 l⊥m ,则α ⊥β 11.已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线均和圆 C: x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相 2 a b

切,则该双曲线离心率等于( A.
3 5 5

) C.
3 2

B.

6 2

D.

5 5

12. 如图,用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使 用) , 要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色, 则不同的涂色种数有( A.96 种 13.高为 ) C.108 种 D.120 种
第 12 题图

B.72 种

2 的四棱锥 S ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,点 S 、A、B、C、D 均在半径为 1 4

的同一球面上,则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为 C. 2 D. 1

( )

A.

2 4

B.

2 2

14. 已知集合 M ? ?( x, y ) y ? f ( x)? ,若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y 2 ) ? M ,使 得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 成立,则称集合 M 是“ ? 集合”. 给出下列 4 个集合:
| x| ① M ? ?( x, y ) y ? e ?

② M ? ?( x, y ) y ?| cos x |?

x ? 1? ? ③ M ? ?( x, y ) y ? ? x ? ?
其中所有“ ? 集合”的序号是 ( 15.定义在(0, ( )

④ M ? ?( x, y ) y ? ln( x ? 2)? )A.①③ B.①④ C.②④ D.②③④
/

)上的函数 f ( x), f / ( x) 是它的导函数,且恒有 f ( x) ? f ( x) tan x 成立,则

? ? ? A. 3 f ( ) ? 2 f ( ) B. f (1) ? 2 f ( ) sin 1 C. 4 3 6

2f( )? f( ) 6 4

?

?

D.

3f ( ) ? f ( ) 6 3

?

?

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 16. 在等比数列 ? an ?中, a n ? 0 ,且 a5 ? a6 ? ? ? a12 ? 81 ,则 a 4 ? a13 的最小值 ______ 17.如右图所示的程序框图的输出值 y ? (1,2] ,则输入值
开始 输入 x

x?



18.已知 O 是坐标原点,点 A (1, 0) ,若点 M ( x, y ) 为平面
?x ? y ? 2 ??? ? ???? ? ? 区域 ? x ? 1 上的一个动点,则 | OA ? OM | 的最小值 ?y ? 2 ?

x ? 0?






.

y ? log 2 ( x ? 1)

y ? 2? x ? 1

19.设抛物线 C : y 2 ? 16 x 的焦点为 F ,过点 Q(?4,0) 的直 线 l 与抛物线 C 相交于 A, B 两点, 若 | QA |? 2 | QB | , 则 直线 l 的斜率 k ? .
输出 y
结束

20. 曲线 C 是平面内到定点 F (0,1) 和定直线 l : y ? ?1 的距 离之和等于 4 的点的轨迹,给出下列三个结论:其中,所有正确结论的序号是______. ① 曲线 C 关于 y 轴对称; ② 若点 P( x, y ) 在曲线 C 上,则 | y | ? 2 ; ③ 若点 P 在曲线 C 上,则 1 ? | PF | ? 4 . 三、解答题:本大题共 6 道题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 21.(本小题满分 12 分)如图,在等腰三角形 中,∠ACB=120?,BC=AC=3,点 D 在线段 上. ⑴若 CD ? 3 ,求 BD 的长;
C B A E D

ABC AB

⑵若点 E 在线段 DA 上,且∠DCE=30?,问:当∠DCB 取何值时,△CDE 的面积最小?并求出面 积的最小值. 22.(本题满分 12 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD∥BC, BC=2AD=4,AB=CD= 10 . (Ⅰ) 证明:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ) 若二面角 A-PC-D 的大小为 60°,求 AP 的值.
B (第 22 题图) C A D P

23.(本题满分 12 分) 交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念 性指数值,交通指数取值范围为 0~10,分为五个级别,0~2 畅 通;2~4 基本畅通;4~ 6 轻度拥堵;6~8 中度拥堵;8~10 严重拥堵.早高峰时段,从北京市交通指挥中心随机选 取了四环以内的 50 个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图. (Ⅰ)这 50 个路段为中度拥堵的有多少个? (Ⅱ)据此估计,早高峰四环以内的三个路段至少 个是严重拥堵的概率是多少? (III)某人上班路上所用时间若畅通时为 20 分 本畅通为 30 分钟,轻度拥堵为 36 分钟;中度 为 42 分钟;严重拥堵为 60 分钟,求此人所用 的数学期望.
0.24 0.2 0.16 0.1 频率 组距

有 一

钟, 基 拥 堵
3 4 5

时 间
6 7 8 9 交通指数

F2 为焦点的椭圆 C 上, 24. (本题满分 12 分) 已知两点 F1 (?1,0) 及 F2 (1,0) , 点 P 在以 F1 、 且 PF1 、
F1 F2 、 PF2 构成等差数列.
y

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

l

M N O F2 x

(Ⅱ)如图,动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点, H 点 M , N 是直线 l 上的两点,且 F1 M ? l , F2 N ? l . 求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值. 25.(本题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2lnx+ax2-1(a∈R) (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a=1,
F1

(i)若不等式 f(1+x)+f(1-x)<m 对任意的 0<x<1 恒成立,求 m 的取值范围; (ii)若 x1,x2 是两个不相等的正数,且 f(x1)+f(x2)=0,求证 x1+x2>2.

请考生在题 26.

27.

28 中任选一题作答,如果多做,则按所做的的第一题计分.

26.(本题满分 10 分)选修 4—1 几何证明选讲: 如图,圆 O1 与圆 O2 相交于 A、B 两点,AB 是圆 O2 的直 过 A 点作圆 O1 的切线交圆 O2 于点 E,并与 BO1 的延长 交于点 P,PB 分别与圆 O1 、圆 O2 交于 C,D 两点。 求证:(Ⅰ)PA· PD=PE· PC;
? x ? 2 cos? 已知圆锥曲线 C: ? ? y ? 3 sin ?

径, 线

(Ⅱ)AD=AE.

27.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
(? 为参数)和定点 A(0, 3 ) , F1 , F2 是此圆锥曲线的左、

右焦点。 (Ⅰ)以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AF2 的极坐标方程; (Ⅱ)经过点 F1 ,且与直线 AF2 垂直的直线 l 交此圆锥曲线于 M、N 两点, 求 || MF1 | ? | NF1 || 的值. 28.(本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 4) ? 8 ;
b (Ⅱ)若 | a |? 1,| b |? 1 ,且 a ? 0 ,求证: f (ab) ?| a | f ( ) . a

已知函数 f ( x) ?| x ?1| 。

(理科 3)答案 一.选择题 AABAB 二.填空题 16. 2 3 17. (1,3] ? [? log 2 3,?1) 18.
2 2 3 2 19. ? 20 ① ② ③ 2 3

CBDBD

AADCD

20.【解析】设点 P( x, y ) 在曲线 C 上,则有 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? y ? 1 ? 4,? x 2 ? ( y ? 1)2 ? 4- y ? 1 , 两 边平方化简得:
? x2 2 ? ( y ? ?1) ? ? 4 y?? 2 ? ?2 ? x ( y ? ?1) 。将 x 换为-x,表达式不变,故(1)正确; ? ? 12

x2 x2 ? y ? 2 ? ( y ? ?1),??1 ? y ? 2; y ? ?2 ? ( y ? ?1),??1 ? y ? ?2,? y ? 2. 故(2)正确; 4 12

?| PF | ? x 2 ? ( y ? 1) 2 , 当 y ? ?1 | PF | ? x 2 ? (2 ? ,

x2 x2 x2 ? 1) 2 ? ( ? 1) 2 ? ? 1 ? 1, 4 4 4

? 当 y ? ?1,

x2 x2 x2 x2 ? 1,?| PF | ? x 2 ? (?2 ? ? 1) 2 ? ( ? 3) 2 ? ? 3 ? 4, 故 1 ? | PF | ? 4 , 12 12 12 12

故(3)正确. 三.21 .解⑴在△CDB 中,∠CBD=30?,BC=3, CD ? 3 ,由余弦定理, 得 CD 2 ? BC 2 ? BD 2 ? 2CB ? BD ? cos30? ,????????2 分 即 BD 2 ? 3 3BD ? 6 ? 0 ,解得, BD ? 3或2 3 .????????4 分 ⑵设∠DCB= ? , 0? ? ? ? 90? ,在△CDB 中,由正弦定理,得 即 CD ?
CD BC , ? sin ?CBD sin ?CDB

BC ? sin 30 ? BC ? sin 30? ,同理 CE ? ,????????6 分 sin(150 ? ? ? ) sin(120 ? ? ? ) 1 9 CE ? CD ? sin 30? ? 2 16 sin(150 ? ? ? ) sin(120 ? ? ? )
9

所以, S ?CDE ?
? ?

8 3 sin (120 ? ? ? ) ? 8 sin(120 ? ? ? ) cos( 120 ? ? ? )
2

4 3 ? 8 sin?(240 ? ? 2? ) ? 60??

9

?

9 4 3 ? 8 sin 2?

??????????10 分

∵ 0? ? ? ? 90? ,∴ 0? ? 2? ? 180? . ∴当 ? ? 45? 时, S ?CDE 的最小值为
9 4( 3 ? 2) ? 9( 2 ? 3 ) .????12 分 4

22 (Ⅰ) 设 O 为 AC 与 BD 的交点,作 DE⊥BC 于点 E.由四边形 ABCD 是等腰梯形得 CE=
BC ? AD =1, DE= DC 2 ? CE 2 =3, 2

所以 BE=DE,从而得∠DBC=∠BCA=45°, 所以∠BOC=90°,即 AC⊥BD. 由 PA⊥平面 ABCD 得 PA⊥BD,所以 BD⊥平面 PAC. 方法一: (Ⅱ) 作 OH⊥PC 于点 H,连接 DH.由(Ⅰ)知 DO⊥平面 PAC,故 DO⊥PC. 所以 PC⊥平面 DOH,从而得 PC⊥OH,PC⊥DH. 故∠DHO 是二面角 A-PC-D 的平面角,所以∠DHO=60°……8 分. 在 Rt△DOH 中,由 DO= 2 ,得 OH=
6 . 3
B A O E (第 22 题图) C H D P

????4 分

在 Rt△PAC 中, 解得 x=

PA 3 x OH = .设 PA=x,可得 = . 2 6 PC OC x ? 18

3 22 3 22 ,即 AP= . 11 11

???? 12 分
z P

方法二:
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 AC⊥BD. 以 O 为原点, OB, OC 所在直线为 x,

y 轴,建立空间直角坐标系 O-xyz,如图所示.由题意知 各点坐标如下: A(0,- 2 ,1), C(0, 2 2 ,0), B( 2 2 ,0, 0), D(- 2 ,0, 0).
x (第 22 题图) B C y A O D

由 PA⊥平面 ABCD,得 PA∥z 轴,故设点 P(0,- 2 ,t) 0).设 m=(x,y,z)为平面 PDC 的法向量, 由 CD =(- 2 ,- 2 2 ,0), PD =(- 2 , 2 ,-t) 知
? ? ? 2 x ? 2 2 y ? 0, ? ? ? ? 2 x ? 2 y ? tz ? 0.

(t



??? ?

??? ?

取 y=1,得 m=(-2,1,

3 2 ).………….8 分 t

又平面 PAC 的法向量为 n=(1,0,0), 于是|cos< m,n>|=
|m ? n| = | m |?| n |

2 5? 18 t2



1 3 22 .解得 t= ,即 11 2

AP=

3 22 . 11

???? 12 分

23.(Ⅰ) (0.2 ? 0.16) ? 1? 50 ? 18 这 50 路段为中度拥堵的有 18 个. (Ⅱ)设事件 A “一个路段严重拥堵”,则 P( A) ? 0.1 事件 B “至少一个路段严重拥堵”,则 P( B) ? (1 ? P( A))3 ? 0.729
P( B) ? 1 ? P( B) ? 0.271

……………………4 分

所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是 0.271 (III)分布列如下表:

…………8 分

X
P

30 0.1

36 0.44

42 0.36

60 0.1

EX ? 39.96
此人经过该路段所用时间的数学期望是 39.96 分钟.
x2 y 2 24. 解: (1)依题意,设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 . a b

……………12 分

F1 F 2 、 PF2 构成等差数列, ? PF1 、

? 2a ? PF1 ? PF 2 ? 2 F1F2 ? 4 , a ? 2 .
又? c ? 1,? b 2 ? 3 .

?椭圆 C 的方程为
(2)

x2 y 2 ? ? 1 . ???????????????????4 分 4 3

将 直 线 l 的 方 程 y ? kx ? m 代 入 椭 圆 C 的 方 程 3x 2 ? 4 y 2 ? 12 中 , 得 ????????5 分

(4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 .

由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知, ? ? 64k 2 m2 ? 4(4k 2 ? 3)(4m2 ? 12) ? 0 , 化简得: m2 ? 4k 2 ? 3 . 设 d1 ? F1M ?
?k ? m k 2 ?1

, d 2 ? F2 M ?

k ?m k 2 ?1



??????????8 分

(法一)当 k ? 0 时,设直线 l 的倾斜角为 ? ,则 d1 ? d 2 ? MN ? tan ? ,
? MN ? d1 ? d 2 , k
y l H M N O F2 x

2m d 2 ? d22 1 d1 ? d 2 S? (d1 ? d 2 ) ? 1 ? 2 2 k 2k k ?1
F1

?

2m m ?3 ?1 4
2

?

8 1 m? m

,??10 分

? m2 ? 4k 2 ? 3 ,?当 k ? 0 时, m ? 3 , m ?

1 1 4 ? 3? ? 3,S ? 2 3. m 3 3

当 k ? 0 时,四边形 F1MNF2 是矩形, S ? 2 3 . 所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2 3 . (法二)? d12 ? d 2 2 ? (
?k ? m k 2 ?1 )2 ? ( k ?m k 2 ?1 )2 ?

??????????12 分

2(m 2 ? k 2 ) 2(5k 2 ? 3) ? , k 2 ?1 k 2 ?1

d1d 2 ?

?k ? m

3k 2 ? 3 ? ? 2 ? 2 ? 3. k ?1 k ?1 k 2 ?1 k 2 ?1
2 k 2 ?1

k ?m

m2 ? k 2

? MN ? F1 F2 2 ? (d1 ? d 2 ) 2 ? 4 ? (d12 ? d 2 2 ? 2d1d 2 ) ?



四边形 F1MNF2 的面积 S ?
2

1 MN (d1 ? d 2 ) ? 2

1 k 2 ?1

(d1 ? d 2 ) ,

???10 分

1 16 k 2 ? 12 2 2 S ? 2 ( d 1 ? d 2 ? 2d 1 d 2 ) ? 2 k ?1 (k ? 1) 2

? 16 ? 4(

1 ? 2) 2 ? 12 . k ?1
2

????????????????12 分

当且仅当 k ? 0 时, S 2 ? 12, S ? 2 3 ,故 S max ? 2 3 . 所以四边形 F1MNF2 的面积 S 的最大值为 2 3 . 25. (Ⅰ)f(x)的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?
2 ? 2ax , x

令 f ?( x) ? 0, ? x ? 0 ,? 2ax 2 ? 2 ? 0 ,

①当 a ? 0 时, f / ( x ) ? 0 在 (0, ?? ) 恒成立,? f(x)递增区间是 (0, ??) ; …….2 分 ②当 a ? 0 时,? 2ax 2 ? 2 ? 0 ? x 2 ? ? 又 x>0, ? f ( x) 递增区间是 (0, (Ⅱ) (ⅰ) 设 F ( x) ? f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 2 ln(1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? 1 ? 2 ln(1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? 1 ,
3 化简得: F ( x) ? 2 ln(1 ? x) ? 2 ln(1 ? x) ? 2 x 2 , F / ( x) ? 2 ? 2 ? 4 x ? ? 4 x 2 ,…6 分

1 1 1 ?? ? ?x? ? , a a a
………4 分

?a ?a ) ,递减区间是 ( , ??) . ?a ?a

1? x 1? x

1? x

? 0 ? x ? 1 ,? F / ( x) ? 0 在 0 ? x ? 1 上恒成立,? F ( x) 在 x ? (0,1) 上单调递减,
所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ,? m ? 0 ,即 m 的取值范围是 [0,??) (ⅱ)? f (1) ? 0 , f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, ①若 x1 , x2 ? (0,1) , f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0, 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 与已知 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 矛盾, ②若 x1 , x2 ? (1, ??) , f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0, 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 与已知 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 矛盾, ③若 x1 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? 0 ,又 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,? f ( x2 ) ? 0 得 x2 ? 1 与 x1 ? x2 矛盾, ④不妨设 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,则由(Ⅱ)知当 0 ? x ? 1 时, f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 0 , 令 1 ? x ? x1 ,则 f (2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f (2 ? x1 ) ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 又 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,? 2 ? x1 ? x2 , 即 x1 ? x2 ? 2 . …………12 分 .……………8 分

证 2: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? 2 ln x1 ? x12 ? 1 ? 2 ln x2 ? x2 2 ? 1 ? 0
? 2 ln x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 2 ? 0 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 2 ln x1 x2 ? 2 ,

设 t ? x1 x2 ,则 t>0, g (t ) ? 2t ? 2 ln t ? 2 , g / (t ) ? 2 ?

2 2(t ? 1) , ? t t

令 g / (t ) ? 0 ,得 t ? 1 ,? g (t ) 在(0,1)单调递减,在 (1, ??) 单调递增,
? g (t ) min ? g (1) ? 4, ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 ,又因为 t ? 1 时, x1 ? x 2 ? 1 ,?" ?" 不成立.
? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 ,? x1 ? x2 ? 2 .

…………12 分

26. (Ⅰ)? PE 、 PB 分别是⊙ O2 的割线,
? PA ? PE ? PD ? PB ①

????2 分

又? PA 、 PB 分别是⊙ O1 的切线与割线,
? PA2 ? PC ? PB ②

????4 分 ????5 分

由①,②得? PA ? PD ? PE ? PC

(Ⅱ)连接 AC、DE ,设 DE 与 AB 相交与点 F

? BC 是⊙ O1 的直径,?∠ CAB ? 90 ? ? AC 是⊙ O2 的切线.
由(Ⅰ)知,
PA PC ? ,? AC // ED ? AB ? DE , ?CAD ? ?ADE PE PD

????6 分

????8 分 ????10 分

? AC 是⊙ O2 的切线. ??CAD ? ?AED

? AD ? AE

27. (Ⅰ)C:

x2 y2 ? ? 1 ,轨迹为椭圆,其焦点 F1 (?1,0), F2 (1,0) 4 3

k AF2 ? ? 3 AF2 : y ? ? 3 ( x ? 1) 即 AF2 : ? sin ? ? ? 3 cos? ? 3

即 ? sin(? ?

?
3

)?

3 2

????5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ) k AF2 ? ? 3 ,

? l ? AF2 ,?l 的斜率为

3 ,倾斜角为 30 ? , 3

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 所以 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ?y ? 1 t ? 2 ?

代入椭圆 C 的方程中,得:
13t 2 ? 12 3t ? 36 ? 0

因为 M、N 在 F1 的异侧
|| MF1 | ? | NF1 || ?| t1 ? t 2 |? 12 3 13

????10 分

? ?-2x-2,x<-3, -3≤x≤1, 28. (Ⅰ)f (x)+f (x+4)=|x-1|+|x+3|=?4, ? ?2x+2, x>1. 当 x<-3 时,由-2x-2≥8,解得 x≤-5; 当-3≤x≤1 时,f (x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. 所以不等式 f (x)≤4 的解集为{x|x≤-5,或 x≥3}. b (Ⅱ)f (ab)>|a|f ( a )即|ab-1|>|a-b|. 因为|a|<1,|b|<1, 所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|. 故所证不等式成立. ……………10 分 …………5 分


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