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2013高考数学分类汇总 考点15 函数y=Asin(wx+¢)的图象及三角函数模型的简单应用


知识点 15 函数 y=Asin( wx ? ? )的图像及三角函 数模型的简单应用
一、选择题 1. (2013·大纲版全国卷高考文科·T9) 若函数 y ? sin ?? x ? ? ??? ? 0 ?的部分图象如图,则? = ( )

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2
?
4

【解题指南】观察图象可知, x0 到 x 0 ? 的图象为整个图象周期的一半. 【解析】选 B.由图像可知,
T ? ? p 2p ? x 0 ? ? x 0 ? ,即 T = = ,故 w = 4 . 2 4 4 2 w

2. (2013·山东高考理科·T5)将函数 y=sin(2x + ? )的图象沿 x 轴向左平移
? 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的一个可能取值为( ) 8 3? ? ? A. B. C.0 D. ? 4 4 4 ? 【解析】选 B. 将函数 y=sin(2x + ? )的图象沿 x 轴向左平移 个单位,得到 8

函数 y ? sin[2( x ? ) ? ? ] ? sin(2 x ? ? ? ) ,因为此时函数为偶函数,所以
8 4

?

?

?
4

?? ?

?
2

? k? , k ? Z ,即 ? ?

?
4

? k? , k ? Z .

3. (2013·四川高考理科·T5)函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), (? ? 0, ? ? ? ? ) 的部分
2 2

?

?

图象如图所示,则 ? , ? 的值分别是(



-1-

A. 2, ?

?
3

B. 2, ?

?
6

C. 4, ?

?
6

D. 4,

? 3

【解题指南】本题考查的是 ? , ? 对函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 图象的影响,需要重点 关注的是周期与最大值点. 【解析】选 A,根据图象可知 T ? 得 ? ? 2 ,根据图象过 (
3 4 5? ? 9? 3? ? (? ) ? ? ,所以函数的周期为 ? ,可 12 3 12 4

5? ? ? ? , 2) 代入解析式,结合 ? ? ? ? ,可得 ? ? ? ,故选 A. 12 2 2 3

4. (2013·四川高考文科·T6)函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ?)( ? ? 0, ? ? ? ? ) 的部分
2 2

?

?

图象如图所示,则 ? , ? 的值分别是(



A. 2, ? C. 4, ?

?
3

B. 2, ? D. 4,
?
3

?
6

?
6

【解题指南】本题考查的是 ? , ? 对函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 图象的影响,需要重点 关注的是周期与最大(小)值点. 【解析】选 A,根据图示可知 T ?
? ? 2 ,根据图象过 (
1 2 11? 5? 6? ? ? ? ? ,所以函数的周期为 ? ,可得 12 12 12 2

5? ? ? ? , 2) 代入解析式,结合 ? ? ? ? ,可得 ? ? ? ,故选 A. 12 2 2 3
-2-

5.(2013·福建高考文科·T9)
? 将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ??
? 2 ?? ?

? ? 的图像向右平移? ? ? 1 个单位长度后得到函数 ? ? ?
2?

? 3? g ? x ?的图像, 若f ? x ? , g ? x ?的图像都经过点P ? 0 , ? 2 ? ?,则?的值可以是 ( ? ?

) D.
? 6

A.

5? 3

B.

5? 6

C.

? 2

【解题指南】平移问题上,图象和式子的区别对待,务必认识清楚,方能正确 解题. 【解析】选 B. f ( x) 的图像向右平移 ? 个单位, g ? x ? ? sin ? ?2 ? x ? ? ? ? ? ? ?,
? 3 ?sin ? ? ? 5 2 由题 ? ,解得 ? ? 。经检验, ? ? ? . ? 3 6 ?sin ? ? 2? ? 3 ? ? ? ? 2

3 6.(2013·浙江高考文科·T6)函数 f(x)=sinxcosx+ 2 cos2x 的最小正周期和振幅分 别是 ( ) B.π ,2 C.2π ,1 D.2π ,2

A.π ,1

【解题指南】先利用公式把函数 f(x)转化为 y=Asin(ω x+φ )的形式再求解. 【解析】选 A. f ( x) ? sin x cos x ? A=1,T=π . 二、填空题 7.(2013· 江西高考理科· T11) 函数 y=sin2x+2 3 sin2x 的最小正周期 T 为_______ 【解题指南】将函数解析式转化为 y ? Asin(?x ? ?) ? h 的形式解决. 【解析】因为 y ? sin 2x ? 3(1 ? cos 2x) ? sin 2x ? 3 cos 2x ? 3
? 2? ? 2sin(2x ? ) ? 3 ,所以最小正周期 T ? ? ?. 3 2
-3-

3 1 3 ?? ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin ? 2 x ? ? ,所以 2 2 2 3? ?

【答案】 ? 8.(2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T16)函数 y ? cos(2 x ? ? )(?? ? ? ? ? ) 的图象向 右平移 个单位后,与函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象重合,则 ? ? _________。
2

?

?

【解题指南】将 y ? sin(2 x ? ) 化为余弦型函数,然后利用平移的知识,即可确定
3

?

3

? 值.

【解析】函数 y ? cos(2 x ? ? ) 向右平移 个单位,得到 y ? sin(2 x ? ) 的图象,即
y ? sin(2 x ? ) 的图象向左平移 个单位得到函数 y ? cos(2 x ? ? ) 的图象, 3 2 y ? sin(2 x ? ) 的图象向左平移 个单位,得到 3 2

?

?

? ?

? ?

2

3

y ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ? ? ) ? ? sin(2 x ? ) ? cos( ? 2 x ? ) 2 3 3 3 2 3 5? 5? ? cos(2 x ? ) ,即 ? ? 。 6 6 5? 【答案】 6

?

?

?

?

?

?

9.(2013·江西高考文科·T13)设 f(x)= 有|f(x)|≤a,则实数 a 的取值范围是 【解题指南】根据题意只需 a ? f (x) max 即可.

3 sin3x+cos3x,若对任意实数

x都

.

【解析】 f (x) ? 2sin(3x ? ?) ,其最大值为 2,所以 a ? 2 .
6

【答案】 a ? 2 10. (2013·新课标Ⅰ高考文科·T16)与(2013·新课标Ⅰ高考理科·T15) 相同 设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2 cos x 取得最大值,则 cos ? ? _____. 【解题指南】利用辅助角公式 f ( x) ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) (其中
tan ? ? b )构造求解 cos ? 的值. a

【解析】 f ( x) ? sin x ? 2 cos x ? 5 sin(x ? ? ) ,其中 tan? ? ?2 ,当 x ? ? ? 2k? ?
-4-

?
2

时,函

数 f ( x) 取得最大值,即 ? ? 2k? ?

?
2

? ? .所以 cos ? ? cos(

?
2

? ? ) ? sin ? ,又因为

tan? ? ?2 , ? 在第四象限,所以 sin ? ? ?

2 5 2 5 ,即 cos? ? ? . 5 5

【答案】 ?

2 5 5

三、解答题 11.(2013·上海高考理科·T21)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 ; (1)若 y ? f ( x) 在 [? ,
4

? 2?
3

] 上单调递增,求 ? 的取值范围;

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位, 得到函数 y ? g ( x) 的图像,区间 [a, b] ( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x) 在 [a, b] 上至 少含有 30 个零点,在所有满足上述条件的 [a, b] 中,求 b ? a 的最小值. 【解析】(1)因为函数 y=f(x)在 所以 ≥ ,且- ≤- ,所以 0<ω ≤ . (2)ω =2,f(x)=2sin2x,将函数 y=f(x)的图像向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位 后得到 y=2sin +1 的图像,所以 g(x)=2sin +1, 上单调递增,且ω >0,

? 6

令 g(x)=0,得 x=kπ + 或 x=kπ + (k∈Z), 所以相邻两个零点间的距离为 或 . 若 b-a 最小,则 a 和 b 都是零点,此时在区间[a,π +a],[a,2π +a],…,[a,mπ +a](m∈N*) 上分别恰有 3,5,…,2m+1 个零点.所以在区间[a,14π +a]上恰有 29 个零点, 从而在区间(14π +a,b]上至少有一个零点,所以 b-a-14π ≥ . 另一方面,在区间 上恰有 30 个零点,

因此,b-a 的最小值为 14π + = . 12.(2013·上海高考文科·T21)已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x) ,其中常数ω >0.
-5-

?? (1)令ω =1,判断函数 F ( x) ? f ( x) ? f ? ? x ? ? 的奇偶性,并说明理由;
? 2?

(2)令ω =2,将函数 y=f(x)的图像向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位, 得到函数 y=g(x)的图像.对任意 a∈R,求 y=g(x)在区间[a,a+10π ]上零点个数的 所有可能值. 【解析】(1)ω =1,f(x)=2sinx, F(x)=f(x)+f =2(sinx+cosx). F =2 ,F =0,F ≠F ,F ≠-F . =2sinx+2sin

? 6

所以,F(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)ω =2,f(x)=2sin2x, 将函数 y=f(x)的图像向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位后得到 y=2sin2 +1 的图像, +1.

所以 g(x)=2sin

令 g(x)=0,得 x=kπ + 或 x=kπ + (k∈Z). 因为[a,a+10π ]恰含 10 个周期,所以, 当 a 是零点时,在[a,a+10π ]上零点个数为 21; 当 a 不是零点时,a+kπ (k∈Z)也都不是零点,区间[a+kπ ,a+(k+1)π ]上恰有两个零 点,故在[a,a+10π ]上有 20 个零点. 综上,y=g(x)在[a,a+10π ]上零点个数的所有可能值为21或20. 13.(2013·北京高考文科·T15)已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x ? cos4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值
1 2

-6-

(2)若α ∈(

?
2

,π )且f(α )=

2 ,求α 的值 2

【解题指南】 (1)降幂转化为正弦型函数,再求最小正周期及最大值. (2)表示出 f (? ) ,再根据 ? 的范围求出 ? 的值。
1 1 1 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 4 x ? sin 4 x ? cos 4 x 2 2 2 【解析】

?

2 2 2 2 ? ( sin 4 x ? cos 4 x) ? sin(4 x ? ) 2 2 2 2 4
2? ? ? 。 4 2 k? ? 2 。 ? , k ? Z 时, f ( x) max ? 2 16 2

(1)最小正周期 T ? 当 4x ?
?
4 ? 2 k? ?

?
2

,即 x ?

(2) f (? ) ?
所以4 x ?

? 2 ? 2 , 所以 sin(4 x ? ) ? 1 , sin(4 x ? ) ? 4 2 4 2
?
2

?
4

? 2 k? ?

,所以 x ?

又 因为x ? ( , ? ) , 所以x ?
2

?

9? 。 16

k? ? ? ,k ?Z 。 2 16

14.(2013·天津高考理科·T15) 已知函数 f(x)= ?
?? 2 ? 2 sin ? 2 x ? ? +6sinxcosx-2cos x+1,x∈R. 4? ?

(1)求 f(x)的最小正周期.
?? (2)求 f(x)在区间 ? ?0, ? 上的最大值和最小值.
? 2?

【解题指南】(1)利用两角和的正弦公式及二倍角公式将 f(x)化为 Asin(ω x+φ ) 的形式求解. (2)根据正弦函数的单调性求解. 【解析】(1)f(x)=
? 2 sin 2 x ? cos

?
4

? 2cos2 x ? sin

?
4

? 3sin 2 x ? cos 2 x

=2sin 2x-2cos 2x= 2

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ?
2 ? ?. .
-7-

所以 f(x)的最小正周期 T ? 2?

3? ? ? 3? ? ? (2)因为 f(x)在区间 ? ? 0, ? 上是增函数,在区间 ? , ? 上是减函数,又 f(0)=-2, ? 8 ? ? 8 2?

f(

3? ? ) ? 2 2 , f ( ) ? 2 ,故函数 8 2

?? f(x)在区间 ? ?0, ? 上的最大值为 2
? 2?

2 ,最小值为-2.

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-8-


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