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高考数学(文)大一轮复习一模考前专项训练 数学思想专项训练(一) 函数与方程思想 Word版含答案


数学思想专项训练(一) 函数与方程思想

一、选择题 1.已知函数 f(x)=ln x-x-a 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,-1] C.[-1,+∞) B.(-∞,-1) D.(-1,+∞) )

1 ? 2.已知关于 x 的不等式(ax-1)(x+1)<0 的解集是(-∞,-1)∪? ?-2,+∞?,则 a 等于 ( ) A.2 1 C.- 2 B.-2 1 D. 2

2 3.(2015· 天津六校联考)若等差数列{an}满足 a2 1+a100≤10,则 S=a100+a101+…+a199 的

最大值为( A.600 C.400

) B.500 D.200

4.已知 f(x)=log2x,x∈[2,16],对于函数 f(x)值域内的任意实数 m,则使 x2+mx+4>2m +4x 恒成立的实数 x 的取值范围为( A.(-∞,-2] C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
2 2

) B.[2,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

x y 5.(2015· 黄冈质检)已知点 A 是椭圆 + =1 上的一个动点,点 P 在线段 OA 的延长线 25 9 上,且 OA · OP =48,则点 P 的横坐标的最大值为( A.18 C.10 B.15 15 D. 2

??? ? ??? ?

)

a8 6. (2015· 杭州二模)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, (n+1)Sn<nSn+1(n∈N*). 若 <-1, a7 则( ) A.Sn 的最大值是 S8 C.Sn 的最大值是 S7 二、填空题 7.已知 f(x)为定义在 R 上的增函数,且对任意的 x∈R,都有 f[f(x)-2x]=3,则 f(3)= ________. 8.已知奇函数 f(x)的定义域为 R,当 x>0 时,f(x)=2x-x2.若 x∈[a,b]时,函数 f(x)的值 1 1? 域为? ?b,a?,则 ab=________.
-1-

B.Sn 的最小值是 S8 D.Sn 的最小值是 S7

9.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取 5 个班级,把每个班级 参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互不相同, 则样本数据中的最大值为________. 10.(2015· 东城期末)若函数 f(x)=m- x+3的定义域为[a,b],值域为[a,b],则实数 m 的取值范围是________. 二、解答题 11.如图,在平行四边形 ABCD 中,BC=2,BD⊥CD,四边形 ADEF 为正方形, 平面 ADEF⊥平面 ABCD.记 CD=x, V(x)表示四棱 锥 FABCD 的体积. (1)求 V(x)的表达式; (2)求 V(x)的最大值. x2 12.设 P 是椭圆 2+y2=1(a>1)短轴的一个端点,Q 为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大 a 值.





1.选 B 函数 f(x)=ln x-x-a 的零点即关于 x 的方程 ln x-x-a=0 的实根,将方程化 为 ln x=x+a,令 y1=ln x,y2=x+a,由导数知识可知当两曲线相切时有 a=-1.若函数 f(x) =ln x-x-a 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围为(-∞,-1). 1 2.选 B 根据不等式与对应方程的关系知-1,- 是一元二次方程 ax2+(a-1)x-1=0 2 1? 1 的两个根,所以-1×? ?-2?=-a,所以 a=-2,故选 B. 100×99 100×99 3.选 B S=a100+a101+…+a199=100a100+ d=100(a1+99d)+ d,即 99d 2 2 = + S ?2 S 2 10 2 2 2 2 2 ?1 - a ,因为 a2 1+a100 ≤10,即 a1+(a1+99d) ≤10,整理得 a1+ 3a1+150 ≤10,即 a1 ? ? 150 3 1 9 S S ?2 S 10 ?? S ?2 ? a + ? ? 2 - 10≤0 有 解 , 所 以 Δ = ? ?225? - 4× 9 × ??150? -10? ≥0 , 解 得 - 225 1 ?150?

500≤S≤500,所以 Smax=500,故选 B. 4.选 D ∵x∈[2,16],∴f(x)=log2x∈[1,4],即 m∈[1,4].不等式 x2+mx+4>2m+4x 恒 成立,即为 m(x-2)+(x-2)2>0 恒成立,设 g(m)=(x-2)m+(x-2)2, 则此函数在[1,4]上恒大于 0,
?g?1?>0, ?x-2+?x-2?2>0, ? ? 所以? 即? 2 ? ? ?g?4?>0, ?4?x-2?+?x-2? >0,

-2-

解得 x<-2 或 x>2. x2 5.选 C 当点 P 的横坐标最大时,射线 OA 的斜率 k>0,设 OA:y=kx,k>0,与椭圆 25

??? ? ??? ? y2 15 48 + = 1 联立解得 xA = . 又 · = xAxP + k2xAxP = 48 ,解得 xP = = OA OP 2 9 ? 1 + k2?xA 9+25k
16 9+25k2 16 = 5 5?1+k2? 9+25k2 t-9 16 2 2 ,则 xP= 2 2,令 9+ 25k =t>9,即 k = 25 5 ?1+k ? 1 ≤80× 162 t+ +32 t t 16 = t + 16 ? ?2 5 ? 25 ?

×25

t =80 t2+162+32t

1 7 =10,当且仅当 t=16,即 k2= 时取等 64 25

号,所以点 P 的横坐标的最大值为 10,故选 C. n?a1+an? ?n+1??a1+an+1? 6.选 D 由(n+1)Sn<nSn+1 得(n+1)· <n ,整理得 an<an+1,所 2 2 a8 以等差数列{an}是递增数列,又 <-1,所以 a8>0,a7<0,所以数列{an}的前 7 项为负值, a7 即 Sn 的最小值是 S7.故选 D. 7.解析:设 f(x)-2x=t, 则 f(t)=3,f(x)=2x+t, 所以 2t+t=3, 易得方程 2t+t=3 有唯一解 t=1, 所以 f(x)=2x+1,所以 f(3)=9. 答案:9 1 1 8.解析:由题意知 a<b,且 > ,则 a,b 同号,当 x>0 时,f(x)=2x-x2=-(x-1)2 a b 1 + 1≤1 , 若 0 < a < b , 则 ≤1 , 即 a≥1. 因 为 f(x) 在 [1 , + ∞) 上 单 调 递 减 , 所 以 a

?f?a?=2a-a =a, ? 1 ?f?b?=2b-b =b,
2 2 2

1

a=1, ? ? 1+ 5 解得? 1+ 5 所以 ab= . 2 ? ?b= 2 ,

由 f(x)是奇函数知,当 x<0 时,f(x)=x2+2x,同理可知,当 a<b<0 时,

?f?a?=2a+a =a, ? 1 ?f?b?=2b+b =b,
2

1

b=-1, ? ? 解得? -1- 5 ? ?a= 2 ,

1+ 5 1+ 5 所以 ab= .综上,ab= . 2 2 1+ 5 答案: 2
-3-

9.解析:设 5 个班级的样本数据从小到大依次为 0≤a<b<c<d<e.由平均数及方差的公 a+b+c+d+e 式得 =7, 5 ?a-7?2+?b-7?2+?c-7?2+?d-7?2+?e-7?2 =4.设 a-7,b-7,c-7,d-7,e-7 分别 5
? ?p+q+r+s+t=0, 为 p,q,r,s,t,则 p,q,r,s,t 均为整数,且? 2 2 2 2 2 设 f(x)=(x-p)2+ ?p +q +r +s +t =20. ?

(x-q)2+(x-r)2+(x-s)2=4x2-2(p+q+r+s)x+(p2+q2+r2+s2)=4x2+2tx+20-t2,由(x- p)2,(x-q)2,(x-r)2,(x-s)2 不能完全相同知 f(x)>0,则判别式 Δ<0,即 4t2-4×4×(20-t2) <0,解得-4<t<4,所以-3≤t≤3,故 e 的最大值为 10. 答案:10 10.解析:易知 f(x)=m- x+3在[a,b]上单调递减,因为函数 f(x)的值域为[a,b],所
? ?m- a+3=b, ?f?a?=b, 以? 即? 两式相减得, a+3- b+3 = a - b = (a + 3) - (b + 3) = ?f?b?=a, ? ?m- b+3=a,

1 ( a+3)2-( b+3)2,所以 a+3+ b+3=1,因为 a<b,所以 0≤ a+3< ,而 m= b+3 2 1 9 1 a+3- ?2- ,又 0≤ a+3< ,所以 +a=a- a+3+1,所以 m=(a+3)- a+3-2=? 2? 4 ? 2 9 - <m≤-2. 4 9 - ,-2? 答案:? ? 4 ? 11.解:(1)∵平面 ADEF⊥平面 ABCD,交线为 AD 且 FA⊥AD,∴FA⊥平面 ABCD. ∵BD⊥CD,BC=2,CD=x. ∴FA=2,BD= 4-x2(0<x<2), S?ABCD=CD· BD=x 4-x2, 1 2 ∴V(x)= S?ABCD· FA= x 4-x2(0<x<2). 3 3 2 2 (2)V(x)= x 4-x2= -x4+4x2 3 3 = 2 -?x2-2?2+4. 3

∵0<x<2,∴0<x2<4, 4 ∴当 x2=2,即 x= 2时,V(x)取得最大值,且 V(x)max= . 3 12.解:依题意可设 P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|= x2+?y-1?2. 又因为 Q 在椭圆上,所以 x2=a2(1-y2).
-4-

|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1 =(1-a2)y2-2y+1+a2 1 1 2 =(1-a2)?y-1-a2?2- ? ? 1-a2+1+a , 因为|y|≤1,a>1, 1 若 a≥ 2,则?1-a2?≤1,

?

?

当 y=

a2 a2-1 1 ; 2时,|PQ|取最大值 1-a a2-1

若 1<a< 2,则当 y=-1 时,|PQ|取最大值 2, a2 a2-1 综上,当 a≥ 2时,|PQ|的最大值为 2 ;当 1<a< 2时,|PQ|的最大值为 2. a -1

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