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惠安荷山中学14-15年度高二下学期期末考试卷文科


惠安荷山中学 14-15 年度高二下学期期末考试卷

文科数学
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷的密封线内 填写班级、姓名、座号; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,完卷试卷 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一.选择题(本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题所给的四个答案中有且只有一个答 案是正确的。把正确答案写在答题卷的相应位置上。 ) 1.复数 z ? i (1 ? 2i) ( i 是虚数单位)在复平面上的对应点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ) D.第四象限 ) D.

2.已知集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 1? , N ? x | y ? x ,则 M A. ?x | 0 ? x ? 1? B. ?x | 0 ? x ? 1? C. )条件 C.充要

?

?

N ?(

?x | x ? 0?

?x | ?1 ? x ? 0?

3. “ a ? b ”是“ log3 a ? log3 b ”的( A.充分不必要 B.必要不充分

D.既不充分也不必要 )

4.下列函数中,既是奇函数又在区间 (0, ??) 上单调递增的函数为( A. y ? sin x B. y ? ln x C. y ? 2 x D. y ? x 3

5.如图是某次大赛中,7 位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分 后,所剩数据的平均数为( A.83 B.84 ) C.85 ) C. 6 ) C. 2 x ? y ? 0 D. 2 x ? y ? 4 ? 0 D.5 D.86

? x ? 3, x ? 10 6.设 f ( x) ? ? ,则 f (6) 的值是( ? f ( x ? 5), x ? 10
A.8 7.曲线 y ? B. 7

2 在 x ? 1 处的切线方程为( x
B. 2 x ? y ? 4 ? 0

A. 2 x ? y ? 0

8.函数 y ? f ( x) 在区间 [?2, 2] 上的图象是连续的,且方程 f ( x) ? 0 在 (?2, 2) 上至少有一个实根, 则 f (?2) f (2) 的值( A.大于 0 ) C.等于 0 D.无法确定

B.小于 0

9. 函数 f ( x) = - x3 + 3x2 - 4 的单调递增区间是( A. (-

) D. (2, ??)

, 0)

B. (- 2 , 0)

C. (0 , 2)

10. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1 , x2 ,不等式

( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 恒成立,则不等式 f (1 ? x) ? 0 的解集为(
A. (??,0) 11. 已知函数 f ( x) ? ? B. (0, ??) C. (??,1) D. (1, ??) )



? ??2 x, ?1 ? x ? 0 ,则下列图象错误的是 ( ? ? x ,0 ? x ? 1

12.若 f ( x) ? x ? 3x ? a 在 (??,0] 上有两个零点,则实数 a 的取值范围是(
3 2



A. (?4,0]

B. [?4,0]

C. [0,4)

D. (0, 4]

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卷中的横线上. ) 13.集合 A ? ?0,1? 的子集 的个数是 .. 14.已知 x , y 的取值如下表: x 2 y 2.7 3 4.3 个;

5 6.1

6 6.9

? ? 1.02 x ? a ,则 a =________; 从散点图分析, y 与 x 具有线性相关关系,且回归方程为 y
15.函数 f ( x) ? ( x 2 ? x ? 1)e x (其中 e 是自然对数的底数)在区间 [?2,0] 上的最大值是______; 16.某同学对函数 f ( x) ? x sin x 进行研究后,得到以下结论: ①函数 f ( x) 的图像是轴对称图形; ②存在实数 x ,使得 | f ( x) |?| x | 成立; ③函数 f ( x) 的图像与直线 y ? x 有无穷多个公共点,且任意相邻两点距离相等; ④当常数 k 满足 | k |? 1 时,函数 f ( x) 的图像与直线 y ? x 有且仅有一个公共点。 其中所有正确结论的序号是________________。

三.解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题 12 分) 设集合 A ? ? x | ?3 ? x ? 4? ,集合 B ? {x | x2 ? 2 x ? 8 ? 0},集合 C ? {x | x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0, a ? 0} , (Ⅰ)求 A

(CR B ) ;

(Ⅱ)若 C ? A ,试确定实数 a 的取值范围。

18. (本小题 12 分) 已知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 M 的方程为 ? x ? 4? ? y2 ? 1 .以原点 O 为极点,以 x 轴正半
2

轴为极轴,且与直角坐标系取相同的单位长度,建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ?? 1 ? ? sin? ? ? ? ? . 6? 2 ? (Ⅰ)求直线 l 的直角坐标方程和圆 M 的参数方程; (Ⅱ)求圆 M 上的点到直线 l 的距离的最小值.

19. (本小题 12 分) 为了研究“教学方式”对教学质量的影响,某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学 数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学。以下茎叶图为甲、乙两班(每班 甲 乙 均为 20 人)学生的数学期末考试成绩. 0 9 01568 7732 8 01256689 842210 7 135 98776 6 5789 8877 5 (Ⅰ)学校规定:成绩不低于 75 分的为优秀.请画出下面的 2? 2 列联表. (Ⅱ)判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”. 甲班 优秀 不优秀 合计 下面临界值表仅供参考: 乙班 合计

P( x 2 ? k )
k

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

参考公式: K ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

20. (本小题 12 分)

1 2 x ? bx ? c ,其中 b, c 为参数。 2 (Ⅰ)若 f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数,求 b 的取值范围;
已知函数 f ( x) ? x3 ? (Ⅱ)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,且 x ???1,2? 时, f ( x) ? c 2 恒成立,求 c 的取值范围.

21. (本小题 12 分) 某工厂的固定成本为 3 万元,该工厂每生产 100 台某产品的生产成本为 1 万元,设生产该产品 ,其总成本为 g (x) 万元(总成本 = 固定成本 + 生产成本) ,并且销售收入 r (x ) 满足 x (百台)

??0.5x 2 ? 7x ? 10.5, 0 ? x? 7 ,假设该产品产销平衡,根据上述统计数据规律求: r (x )=? ?13.5,x ? 7
(Ⅰ)要使工厂有盈利,产品数量 x 应控制在什么范围? (Ⅱ)工厂生产多少台产品时盈利最大?

22. (本小题 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? b ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线为 y ? 1 . (Ⅰ)求实数 a , b 的值; (Ⅱ)当 x ? (0,1) 时,求证: f ( x) ? x2 ? x ? 1 (Ⅲ)若 0 ? x1 ? x2 ,求证:

x2 ? x1 ? 2 x2 . ln x2 ? ln x1

参考答案
一.选择题 ABBDC 二.填空题 13.4; ABDCC BA

14. 0.92

15.

3 e

16.①④

三.解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

18. (本小题 12 分) 解: (Ⅰ)由 ? sin ? ? ?

? ?

?? 1 ? ?? 1 ? ? ? ,得 ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? ,?????????1 分 6? 2 6 6? 2 ?
?????????3 分

1 3 1 ? x? y ? ,即 x ? 3 y ?1 ? 0 , 2 2 2
设?

? x ? 4 ? cos ? , ? x ? 4 ? cos ? , ?? ? y ? sin ? , ? y ? sin ? ,

?????????5 分

所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? 3 y ?1 ? 0 ; 圆 M 的参数方程 ?

? x ? 4 ? cos ? , (? 为参数 ) . ? y ? sin ?

?????????????6 分

(Ⅱ)设 M ? 4 ? cos ?,

sin ? ? ,则点 M 到直线 l 的距离为

d?

4 ? cos ? ? 3sin ? ? 1 2

?? ? 3 ? 2sin ? ? ? ? 6? ? ? , 2

?????????10 分

1 ?? 2? ? ? 当 sin ? ? ? ? ? ?1 即 ? ? ? ? 2k? (k ? Z ) 时, d min ? . 2 3 6? ?
圆 M 上的点到直线 l 的距离的最小值为 19. (本小题 12 分) (1) 优秀 不优秀 合计 (2) 甲班 6 14 20 乙班 14 6 20 合计 20 20 40 ???????6 分

1 . 2

?????????12 分

K2 ?

40 ? (6 ? 6 ? 14 ? 14) 2 = 6.4 ? 5.024 20 ? 20 ? 20 ? 20

??????10 分

因此,我们有 97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关. ???12 分 20. (本小题 12 分) 解: (1) f ' ( x) = 3x2 - x +b ??????????????1 分

因 f ( x) 在 (??,??) 上是增函数,则 f′(x)≥0,即 3x2-x+b≥0, ∴ b≥x-3x2 在(-∞,+∞)恒成立.????????3 分 1 1 1 设 g(x)=x-3x2,当 x= 时,g(x)max= ,∴ b≥ . ????6 分 6 12 12 (2)由题意,知 f′(1)=0,即 3-1+b=0,∴ b=-2.
2

????7 分

x∈ [-1,2]时,f(x)<c 恒成立,只需 f(x)在[-1,2]上的最大值小于 c2 即可 因 f′(x)=3x2-x-2, 2 令 f′(x)=0,得 x=1,或 x=- . 3 3 2 22 1 ∵ f(1)=- +c,f(- )= +c,f(-1)= +c,f(2)=2+c,????10 分 2 3 27 2 ∴ f(x)max=f(2)=2+c, ∴ 2+c<c2,解得 c>2,或 c<-1,??????????????11 分 所以 c 的取值范围为(-∞,-1)∪ (2,+∞).??????????????12 分 21.解:依题意得 g(x) ? x ? 3 ,设利润函数为 f(x) ,则 f(x) ? r (x) ? g(x) , 所以 f(x) ? ?

??0.5 x 2 ? 6 x ? 13.5 ? 10.5 ? x

(0 ? x ? 7) (x ? 7)

,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分

(I)要使工厂有盈利,则有 f(x)>0,因为

f(x)>0? ?

0?x?7 ? x?7 , 或? ??0.5x ? 6 x ? 13.5 ? 0 ?10.5 ? x ? 0 ?
2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

?0 ? x ? 7 0?x?7 ? ? x?7 或 ?? 2 ?? 或? 3? x ?9 ? ? x ? 12 x ? 27 ? 0 ?10.5 ? x ? 0
?3 ? x ? 7或7 ? x 即3 ? x

7 ? x ? 10.5

10.5 ,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

10.5 .

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于 300 台小于 1050 台的范围内.· · · · · · 8分 (II)当 3 ? x ? 7 时, f(x) ? ?0.5( x ? 6)2 ? 4.5 故当 x=6 时,f(x)有最大值 4.5. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

而当 x>7 时, f(x) ? 10.5 ? 7 ? 3.5 . 所以当工厂生产 600 台产品时,盈利最大. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

b 22.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 2ax ? ,( x ? 0) ????????????????????1 分 x
? f (1) ? a ? 1, 依题意可得 ? ,????????????????????3 分 ? f ?(1) ? 2a ? b ? 0

解得 a ? 1, b ? 2 .??????????????????????????4 分 (II)
g ( x) ? f ( x) ? x2 ? x ? 1 ? ( x ? 1) ? 2ln x, x ? (0,1) ???????????5 分

? g ?( x) ? 1 ?

2 x?2 , ???????????????6 分 ? x x 0 ? x ? 1 ,? g ?( x) ? 0, ∴ g ( x) 在 (0,1) 上单调递减,???????????7 分
? g ( x) ? g (1) ? 0 .即 f ( x) ? x2 ? x ? 1 ???????????????9 分

(III)解法一:由(II)知, ? x ? (0,1) 时, x ? 1 ? 2 ln x .
0 ? x1 ? x2 ,
?0 ? ? ? x1 ? 1 ,?????????????????10 分 x2

x1 x ? 1 ? 2 ln 1 ,???????????11 分 x2 x2 x1 ? x2 ? 2(ln x1 ? ln x2 ) ,???????????12 分 x2

ln x2 ? ln x1 ,???????????13 分
? x2 ? x1 ? 2 x2 .?????????????????????????14 分 ln x2 ? ln x1

(III)解法二: 设 ? ( x) ? 2 x2 (ln x2 ? ln x) ? x2 ? x,(0 ? x ? x2 ) ???????????10 分

? ?( x) ? ?

2x2 x ? 2x2 . ?1 ? x x

当 x ? (0, x2 ) , ? ?( x) ? 0
?? ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减

?? ( x) ? ? ( x2 ) ? 0 ,???????????????????????11 分 ? x ? (0, x2 ) 时, 2 x2 (ln x2 ? ln x) ? x2 ? x, ???????????12 分 0 ? x1 ? x2 , ? 2 x2 (ln x2 ? ln x1 ) ? x2 ? x1 , ???????????13 分 ln x2 ? ln x1 ,
? x2 ? x1 ? 2 x2 .????????????????????????14 分 ln x2 ? ln x1


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