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北京五中2011届高三上学期期中考试数学(文)


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北京五中 2010/2011 学年度上学期期中考试试卷 高三数学(文科)
一.选择题(每题 5 分,共 40 分,请把答案填在第 3 页表中) 1.设集合 A ( A) 1
? ?1, 2 ? ,则满足 A ? B ? ?1, 2 , 3? 的集合
(B)

B 的个数是(
(D )
2

)

3
2

(C )

4

8

2.给出下列命题 :① ? x ? R ? x ? x ;② ? x ? R ? x ? x ; ③ 4 ? 3 ;

④“ x 2 ? 1 ”的充要条件是“ x ? 1 ,或 x 其中正确命题的个数是 ( )
( A)

? ? 1 ”,

0

(B)

1
? b ? a ?b,

(C )

2
?b

(D )

3 )

3. 设非零向量 a , b 满足 a
( A)

,则 a 与 a
(C )

的夹角为(
(D )

30°

(B)

60°

90°

120° )

4.已知等差数列 { a n } 的前 20 项的和为 100,那么 a 7 a 14 的最大值为( ( A ) 25 ( B ) 50 (C ) 100 ( D ) 不存在
5.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移
?
4

个单位长度,向上平移 1 个单位长度,所

得图象对应的函数解析式是(
( A ) y ? 2 co s x
2

)
(C ) y ? ? co s 2 x
2 2

( B ) y ? co s 2 x

( D ) y ? ? 2 co s x
2

6.若过定点 M ( ? 1 , 0 ) 且斜率为 k 的直线与圆 x ? 4 x ? y ? 5 ? 0 在第一象限内的

部分有交点,则 k 的取值范围是(
( A) 0 ? k ?
5
a

)
(C ) 0 ? k ?

(B) ?

5 ? k ? 0

13

(D ) 0 ? k ? 5

7.函数 f ( x ) ? log

x?b

是偶函数,且在区间 ? 0 )

, ? ? ? 上单调递减,则 f ( b ? 2 )



f ( a ? 1) 的大小关系为(

( A ) f ( b ? 2 ) ? f ( a ? 1) (C ) f ( b ? 2 ) ? f ( a ? 1)

( B ) f ( b ? 2 ) ? f ( a ? 1) ( D ) 不能确定

8.一根竹竿长 2 米,竖直放在广场的水平地面上,在 t 1 时刻测得它的影长为 4

米,在 t 2 时刻的影长为 1 米.这个广场上有一个球形物体,它在地面上的影子 是椭圆,问在 t 1 、 t 2 这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率 之比为( ) 3 :1 2 :1 ( A ) 1:1 (B) (C ) ( D ) 2:1 二.填空题(每题 5 分,共 30 分,请把答案填在第 3 页表中) 9.与 a ? ( 3 , ? 4 ) 垂直的单位向量为______________ 10.如图是一个几何体的三视图,则该几何体
2 2

2

2 侧视图

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正视图

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的体积为

11.已知函数 f ( x ) ? x 2 ? 4 x ? 2 ? a ,当 x ? [ ? 1, ?? ) 时,都有 f ( x ) ? 0 成立,则实数 a 的取值范围为

1

12. 已知当 x ? 4 时,f ( x ) ? 2 x ?1 , f ( 4 ? x ) ? f ( 4 ? x ) 恒成立, 且 则当 x ? 4 时,f ( x ) 俯视图 = 13.已知点 P ? 2 , 2 ? 在曲线 y ? a x 3 ? b x 上,如果该曲线在点 P 处切线的斜率为 9 , 那么 a b ? ,此时函数 f ? x ? ?
ax ? bx
3

, x ? [?

3 2

, 3] 的值域为

14.定义运算符号: ? ” “ ,这个符号表示若干个数相乘,例如:可将 1×2×3 ×…×n 记作 ? i , ( n ?
i ?1 n

N ). 记 T n ?

?

?
i ?1

n

ai

,其中 a i 为数列 { a n }( n ?

N ) 中的

?

第 i 项. ①若 a n ?

3n ? 2

,则 T 4 =

; ②若 T n

? 2 n ( n ? N ), 则 a n ?
2

?

三.解答题(共 80 分)
a b c B C B 15. ? ABC 中, 、 、 为角 A 、 、 的对边, 在 已知 A 、 为锐角, cos 且
sin B ? 10 10
2A ? 3 5



(1)求 A ?

B

的值;

(2)若 a

?b ?

2 ? 1 ,求 a

、 b 、 c 的值

16.设关于 x 的二次函数 f ( x ) ? a x 2 ? 4 b x ? 1( a , b ? R ). (I)设集合 P={1,2, 4}和 Q={-1,1,2},分别从集合 P 和 Q 中随机取一 个数作为函数 f ( x ) 中 a 和 b 的值,求函数 y ? f ( x ) 有且只有一个零点 的概率;
?2 x ? y ? 4 ? 0 ? (II)设点( a , b )是随机取自平面区域 ? x ? 0 ?y ? 0 ?
y ? f ( x ) 在 区 间 ( ? ? ,1] 上是减函数的概率.

内的点,求函数

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17. 如图, 在直三棱柱 A B C 中点, (1) 求证: A C
? B C1 ;

? A1 B 1 C 1 中,A C ? 3 ,A B ? 5 , B C ? 4

, D 是 AB 的 点

(2) 求证: A C 1 / / 平 面 C D B1 .

[

18.已知函数 f ? x ? ? x 2 ? x ? a ? . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的极值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f ? x ? 的单调区间.

19.已知 △ A B C 的顶点 A, B 在椭圆 x 2 AB ∥ l . http://www.zzstep.com

? 3y ? 4
2

上, C 在直线 l: y

? x?2

上,且

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(Ⅰ)当 A B 边通过坐标原点 O 时,求 A B 的长及 △ A B C 的面积; (Ⅱ)当 ? A B C ? 9 0 ? ,且斜边 A C 的长最大时,求 A B 所在直线的方程.

20 . 已 知 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 S n 和 通 项 a n 满 足
q ? 0 , q ? 1)

Sn an ? 1

?

q q ?1

( q 是常数且

(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ) 当 q
? 1 4

时,试证明 S n

?

1 3

; ,是否存在正整数

(Ⅲ)设函数
m

f ( x ) ? lo g q x
? 1 b2 ? 1 b3

, bn
1 bn ?

? f ( a1 ) ? f ( a 2 ) ? ? ? f ( a n )
m 3

,使

1 b1

?? ?

对?n ?

N

?

都成立?若存在,求出 m 的值;

若不存在,请说明理由.

[

北京五中 2010/2011 学年度上学期期中考试试卷 高三数学(文科)答案
四.选择题(每题 5 分,共 40 分,请把答案填在第 3 页表中) 1.设集合 A ( A) 1 ④“ x 2
? ?1, 2 ? ,则满足 A ? B ? ?1, 2 , 3? 的集合
(B)

B 的个数是(
(D )
2

C

)

3
2

(C )

4

8

2.给出下列命题 :① ? x ? R ? x ? x ;② ? x ? R ? x ? x ; ③ 4 ? 3 ;
? 1 ”的充要条件是“ x ? 1 ,或 x ? ? 1 ”,
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其中正确命题的个数是 ( C )
( A)

0

(B)

1
? b ? a ?b,

(C )

2
?b

(D )

3 D )

3. 设非零向量 a , b 满足 a
( A)

,则 a 与 a
(C )

的夹角为(
(D )

30°

(B)

60°

90°

120° A )

4.已知等差数列 { a n } 的前 20 项的和为 100,那么 a 7 a 14 的最大值为( ( A ) 25 ( B ) 50 (C ) 100 ( D ) 不存在
5.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移
?
4

个单位长度,向上平移 1 个单位长度,所 )
(C ) y ? ? co s 2 x
2 2

得图象对应的函数解析式是( A
( A ) y ? 2 co s x
2

( B ) y ? co s 2 x

( D ) y ? ? 2 co s x
2

6.若过定点 M ( ? 1 , 0 ) 且斜率为 k 的直线与圆 x ? 4 x ? y ? 5 ? 0 在第一象限内的

部分有交点,则 k 的取值范围是(
( A) 0 ? k ?
5
a

A

)
(C ) 0 ? k ?
13

(B) ?
x?b

5 ? k ? 0

(D ) 0 ? k ? 5

7.函数 f ( x ) ? log

是偶函数,且在区间 ? 0 C )

, ? ? ? 上单调递减,则 f ( b ? 2 )



f ( a ? 1) 的大小关系为(

( A ) f ( b ? 2 ) ? f ( a ? 1) (C ) f ( b ? 2 ) ? f ( a ? 1)

( B ) f ( b ? 2 ) ? f ( a ? 1) ( D ) 不能确定

8.一根竹竿长 2 米,竖直放在广场的水平地面上,在 t 1 时刻测得它的影长为 4

米,在 t 2 时刻的影长为 1 米.这个广场上有一个球形物体,它在地面上的影子 是椭圆,问在 t 1 、 t 2 这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率 之比为( A ) 3 :1 2 :1 ( A ) 1:1 (B) (C ) ( D ) 2:1 五.填空题(每题 5 分,共 30 分,请把答案填在第 3 页表中) 9.与 a
? (3 , ? 4 )

垂直的单位向量为_ (

4 3 4 3 , ) , ( ? ,? ) _ 5 5 5 5

2

2

10.如图是一个几何体的三视图,则该几何体 的体积为
7 3

?

2 正视图 侧视图

2

11.已知函数 f ( x ) ? x 2 ? 4 x ? 2 ? a ,当 x ? [ ? 1, ?? ) 时,都有 f ( x ) ? 0 成立,则实数 a 的取值范围为
a ? ?1

1

俯视图

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12. 已知当 x ? 4 时,f ( x ) ? 2 , f ( 4 ? x ) ? f ( 4 ? x ) 恒成立, 且 则当 x ? 4 时,f ( x ) 7? x 2 = 13.已知点 P ? 2 , 2 ? 在曲线 y ? a x 3 ? b x 上,如果该曲线在点 P 处切线的斜率为 9 , 那么 a b ? -3 ;函数 f ? x ? ?
ax ? bx
3

x ?1

, x ? [?

3 2

, 3] 的值域为

[-2,18]

14.定义运算符号: ? ” “ ,这个符号表示若干个数相乘,例如:可将 1×2×3 ×…×n 记作 ? i , ( n ?
i ?1 n

N ). 记 T n ?

?

?
i ?1

n

ai

,其中 ai 为数列 { a n }( n ?

N ) 中的

?

第 i 项. ① 若 an
?2 ? 2 ?? n ? ? ?? ?? n ? 1 ?

? 3n ? 2

, 则 T4=

280



②若

Tn ? 2 n

2

n? N (

?

则,a n ? )

.

选择题答案 题号 答案 填空题答案 9. 11. 13. 六.解答题(共 80 分)
a b c B C B 15. ? ABC 中, 、 、 为角 A 、 、 的对边, 在 已知 A 、 为锐角, cos 且
sin B ? 10 10
2A ? 3 5

1

2

3

4

5

6

7

8

10. 12. 14.



(1)求 A ?

B

的值;

(2)若 a
10 10

?b ?

2 ? 1 ,求 a
2

、 b 、 c 的值
3 10 10

解: (Ⅰ)? A 、 B 为锐角, sin B ?

,? c o s B ?
3 5

1 ? s in b ?

又 c o s 2 A ? 1 ? 2 s in A ?
2



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? s in A ? 5 5

, cos A ?

1 ? s in

2

A ?

2 5 5


3 10 10 5 5 10 10 2 2

? c o s( A ? B ) ? c o s A c o s B ? sin A sin B ?

2 5 5

?

?

?

?

?0? A?B ?? ? A? B ?
3? 4

?
4

?????????????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C ?

,? s in C ?
? b sin B ?

2 2

. 得
5b

由正弦定理
5a ? 10b ?

a sin A

c sin C

2 c ,即 a ?

2b , c ?

w

Q a?b ?

2 ?1,

?

2b ? b ?

2 ? 1 ,? b ? 1

16.设关于 x 的一元二次函数 f ( x ) ? a x 2 ? 4 b x ? 1( a , b ? R ). (I)设集合 P={1,2, 4}和 Q={-1,1,2},分别从集合 P 和 Q 中随机取一 个数作为函数 f ( x ) 中 a 和 b 的值,求函数 y ? f ( x ) 有且只有一个零点 的概率;
?2 x ? y ? 4 ? 0 ? (II)设点( a , b )是随机取自平面区域 ? x ? 0 ?y ? 0 ?
y ? f ( x ) 在 区 间 ( ? ? ,1] 上是减函数的概率.

内的点,求函数

解: (I)要使函数 y
2

? f ( x ) 有且只有一个零点,当且仅当
2

……………………………2 分 分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b ,可以是 (1, ? 1), (1,1), (1, 2 ), ( 2, ? 1), ( 2,1), ( 2, 2 ), ( 4, ? 1), ( 4,1), ( 4, 2 ) 共 9 个基本事件,其中满足
? ? 1 6 b ? 4 a ? 0, 即 a ? 4 b .
a ? 4b
2

的事件有 ( 4,1), ( 4, ? 1) 共 2 个,
2 9

∴所求事件的概率为 (II)? 函数
f ( x ) ? ax
2

.

……………………………6 分
2b a ,

? 4 bx ? 1 的图象的对称轴为 x ?

由函数 y ? f ( x ) 在 区 间 ( ? ? ,1] 上是减函数, a ? 2 b 且 a >0, 得 ....8 依 条 件 可 知 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 为
? ? ?(a, b) ? ? ?2a ? b ? 4 ? 0? ? ? ?a ? 0 ? ?b ? 0 ? ? ?

y



, 即 三 角 形 区 域

A

O

B .



B C O A x

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点 A ( 2, 0 ), 点 B (0, 4 ). .......................................10



构成所求事件的区域为三角形区域 B O C (如图). 由?
?2a ? b ? 4 ? 0 ? a ? 2b 得交点坐标为C( 8 4 , ), 5 5

……………………………12 分
8

1

∴所求事件的概率为 P 17. 如图, 在直三棱柱 A B C 中点, (3) 求证: A C
? B C1 ;

?

S ?BOC S ?AOB

?4?

? 2 1 2

5 ? 4 5 ?4?2

…………………

13 分

? A1 B 1 C 1 中,A C ? 3 ,A B ? 5 , B C ? 4

, D 是 AB 的 点

(4) 求证: A C 1 / / 平 面 C D B1 . 证明: (1)可证 AC
? 平面 BCC 1 B 1

(2)设 BC 1 , B 1 C 交于 O 可证 AC 1 // DO 所以 A C 1 / / 平 面 C D B1 18.已知函数 f ? x ? ? x 2 ? x ? a ? . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的极值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f ? x ? 的单调区间. 解: f ? x ? ? x 2 ? x ? 1 ? ? x 3 ? x 2 2 f ?? x ? ? 3 x ? 2 x 令3x 2
x
f ?? x ? f ?x ?
? 2x ? 0

……………………1 分
2 3

则 x1
? 2 3

? 0, x 2 ? ?

…2 分
0

2? ? ? ? ? ,? ? 3? ?

? 2 ? ? ? ,0 ? ? 3 ?

?0 , ?? ?
+ ↗ ………

+ ↗ 值

0 极 大

- ↘

0 极小值

……………4 分
?

当x

? ?

2 3

时, f ? x ? 极大值

4 ? 2? ? f ?? ? ? 27 ? 3?

……………………5 分

当 x ? 0 时, f ? x ? 极小值 (Ⅱ)? f ? x ? ?
x ? ax
3 2

? f ?0 ? ? 0

……………………6 分 …………7 分

? ? f ? ? x ? ? ?x ? ?ax ? x ? ?x ? ?a ?



当 a ? 0 时, ?

2a 3

? 0

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令 令

2 f ? ? x ? ? 3 x ? 2 ax ? 0

得x ? 0或x 得0
? x ? ?

? ?

2a 3

……8 分 ……9 分 . 10 分

2 f ? ? x ? ? 3 x ? 2 ax ? 0

2a 3

2a ? ? 2a ? ? ? f ? x ? 的单调增区间为 ? ? ? , 0 ? , ? ? , ?? ? ,减区间为 ? 0 , ? ? 3 3 ? ? ? ?

②当 a ? 0 时, ? 令 令

2a 3

? 0

2 f ? ? x ? ? 3 x ? 2 ax ? 0

得x 得?

? ?

2a 3

或x ? 0

11 分 ……12 分
? ? 2a ? ,0 ? 3 ?

2 f ? ? x ? ? 3 x ? 2 ax ? 0

2a 3

? x ? 0

2a ? ? ? f ? x ? 的单调增区间为 ? ? ? , ? ? , ? 0 , ?? 3 ? ?

? .减区间为 ? ?
? ?

.

13 分

综上可知,当 a ? 0 时, f ? x ? 的单调增区间为 ? ? ? , 0 ? , ? ?
2a ? ? ? 0 ,? ? 3 ? ?

2a

? , ?? ? ,单调减区间为 3 ?

; 当 a ? 0 时, f ? x ? 的单调增区间为 ? ?
? ? ? ,? 2a ? ? , ? 0 , ?? 3 ?

? ,单调减区间为

? 2a ? ,0 ? ?? 3 ? ?

.

19.已知 △ A B C 的顶点 A, B 在椭圆 x 2 ? 3 y 2 ? 4 上, C 在直线 l: y ? x ? 2 上,且 AB ∥ l . (Ⅰ)当 A B 边通过坐标原点 O 时,求 A B 的长及 △ A B C 的面积; (Ⅱ)当 ? A B C ? 9 0 ? ,且斜边 A C 的长最大时,求 A B 所在直线的方程. 解: (Ⅰ)因为 A B / / l ,且 A B 边通过点 (0,) ,所以 A B 所在直线的方程为 y ? x . 0 ( 设 A, B 两点坐标分别为 ( x1, y1 ),x 2, y 2 ) .
? x ? 3 y ? 4, 由? ?y ? x
2 2

得 x ? ?1 . . .

所以

AB ?

2 x1 ? x 2 ? 2 2
1 2

又因为 A B 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离. 所以 h ?
2

, S △ ABC

?

A B ?h ? 2

(Ⅱ)设 A B 所在直线的方程为 y ? x ? m , 由?
? x ? 3 y ? 4,
2 2

?y ? x? m

得4x2

? 6 m x ? 3m ? 4 ? 0 .
2

因为 A, B 在椭圆上,所以 ?

? ?12m ? 64 ? 0 .
2

设 A, B 两 点 坐 标 分 别 为

( x1, y 1 ),x 2, y 2 ) (

, 则

x1 ? x 2 ? ?

3m 2



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x1 x 2 ? 3m ? 4
2


2 x1 ? x 2 ? 32 ? 6m 2
2

4

所以

AB ?


BC ? 2?m 2

又因为 B C 的长等于点 (0, m ) 到直线 l 的距离,即 所以
AC
2



? AB

2

? BC

2

? ? m ? 2 m ? 1 0 ? ? ( m ? 1) ? 1 1 .
2 2

所以当 m ? ? 1 时, A C 边最长, (这时 ? ? ? 1 2 ? 6 4 ? 0 ) 此时 A B 所在直线的方程为 y ? x ? 1 . 20. 已 知 数 列 { a n } 的 前
q ? 0 ,q ? 1)

n

项和

Sn

和通项

an

满足

Sn an ? 1

?

q q ?1



q

是常数且

(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ) 当 q
? 1 4

时,试证明 S n

?

1 3

; ,是否存在正整数

(Ⅲ)设函数
m

f ( x ) ? lo g q x
? 1 b2 ? 1 b3

, bn
1 bn ?

? f ( a1 ) ? f ( a 2 ) ? ? ? f ( a n )
m 3

,使

1 b1

?? ?

对?n ?

N

?

都成立?若存在,求出 m 的值;

若不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)由题意,S n 1分 当n ?
2

?

q q ?1

( a n ? 1)

, S1 得

? a1 ?

q q ?1

a1 ? 1 ( )

∴ a1

? q

…………

时,

an ?

q q ?1

( a n ? 1) ?

q q ?1

( a n ? 1 ? 1) ?

q q ?1

an ?

q q ?1

a n ?1

, ∴

( q ? 1) a n ? q a n ? q a n ? 1
an a n ?1 ? q

………………3 分
{a n }

∴ 数 列
an ? q ? q
n ?1

是 首 项

a1 ? q

, 公 比 为

q

的 等 比 数 列 , ∴

? q

n

………4 分
1 (1 ? 1? 1 4 1 4
n

(Ⅱ)由(Ⅰ)知当 q 5分 ∵1 ?
1 4
n

?

1 4

) ?

时, S n

?

4

1 3

(1 ?

1 4
n

)

…………………

? 1 ,∴

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1 3 (1 ? 1 4 1 3
n

)?

1 3

…………………………………………………6 分


Sn ?

…………………………………………………………………………7



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