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高中数学必修5(人教版)教材分析与教学建议


人教A版数学5 — 教学建议

成都市37中学 吴兴国

人教A版数学5 — 教学建议

高中数学新课程人教A版必修5概述 本模块包括“解三角形”、“数列”、“不等式”三章内容, 全书约需36课时,具体课时分配如下: 第一章 解三角形 约8课时 第二章 数列 约12课时 第三章 不等式 约16课时 “解三角形”的主要内容是通过对任意三角形边长和角度关系的 探索,介绍三角形的正、余弦定理,及其简单应用,

“数列”的主要内容是通过对日常生活中大量实际问题的分析, 在探索中掌握与等差数列、等比数列有关的一些基本数量关系, 感受这数列模型的广泛应用,并利用它们解决一些实际问题。 “不等式”一章的主要内容有不等式的基本性质,解一元二次 不等式,简单的线性规划问题和基本不等式及其简单应用。

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第一章


解三角形

一、内容与课程学习目标 二、新旧教材对比

容 提

三、教材分析与教学建议

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内容与课程学习目标

知识内容及课时安排
章 节 1.1.1 1.1.2 1.2 1.3 知识内容 正弦定理 余弦定理 应用举例 实习作业 课时安排 1课时 2课时 3课时 1课时

小结

约1+1课时

学习目标的解读 内容与课程学习目标 (1)会证明正弦定理、余弦定理。 (2)能理解正、余弦定理在讨论三角形边角关 系时的作用。 (3)能用正、余弦定理解斜三角形。 (4)理解用正、余弦定讨论三角形解的情形。 (5)掌握用正、余弦定理解任意三角形的方法。 (6)通过解三角形在实际中的一些应用,培养学 生分析问题、解决问题的能力。 1 S ? ab sin C (7)理解三角形的面积公式 2 (8)根据实际条件,利用本章知识完成一个有关 测量的实习作业

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课程标准与大纲比较
内容

新旧教材对比
区别
1.课标强调通过对三角 形边角关系的探求、探 索,让学生了解知识的 产生过程.提出的要求 比大纲的要求更高. 2.重视正弦定理和余 弦定理在探索三角形边 角关系中的作用. 1.课标明确了知识的 应用,要求解决的实际 问题与测量和几何计算 有关. 2.课标让学生认识到 它们是解决测量问题的 一种方法,提高了知识 应用的层次要求.

课程标准

大纲

正弦 定理 与余 弦定 理

通过对任意三角 形边长和角度 掌握正弦定理、余 关系的探索, 弦定理,并能运 掌握正弦定理、 用它们解斜三角 余弦定理,并 形,能利用计算 能解决一些简 器解决解斜三角 单的三角形度 形的计算问题. 量问题 能够运用正弦 定理、余弦定 理等知识和方 法解决一些与 测量和几何计 算有关的实际 问题. 通过解三角形的应 用的教学,继续 提高运用所学知 识解决实际问题 的能力.

应 用 举 例

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课时比较
大纲教材

新旧教材对比
课标教材

数学第一册(下)第五章 平面向量 数学5第1章 解三角形(约8+1课时) 二、解斜三角形(约7+5课时) 1.1.1 正弦定理 (约1课时)

5.9正弦定理、余弦定理 (约4课时)
5.10解斜三角形应用举例(约2课时) 实习作业 解三角形在测量中的应用 (约2课时)

1.1.2余弦定理 (约2课时)
(探究与发现 解三角形的进一步发 现) 1.2 应用举例 (约3课时)

(阅读材料 人们早期怎样测量地球的 (阅读与思考 海伦与秦九韶)) 半径?) 研究性学习课题:向量在物理中的 应用(约3课时) 单元小结与复习(约1课时)

1.3 实习作业 (约1课时)
小结(约1+1课时)

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重点:正弦定理,余弦定理,用二定理解斜三角形 难点:用定理讨论三角形解的个数; 实际问题转化为解三角形问题的转化 关键:学生对正、余弦定理中的各个边、角关系

的理解。

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教材分析与教学建议

关注数学情境 整体分析—— 强调数学应用 重视数学文化 关注数 学情境

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教材分析与教学建议

强调数 学应用

距离 高 度

角度

几何计算

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重视数学 文化

教材分析与教学建议

关注数学历史

不是为了掌握名题本身; 而是作为正余弦定理的一个直接应用; 体验数学文化题。

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教材分析与教学建议

具体分析☆1.1正弦定理和余弦定理
问题情境 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 例题2、已知abA 应用 例题1、已知ABa 问题
已知abA, 能否确定 三角形?

大边对大角——能否将边角关系量化? 大纲教材用向量证明定理
《解三角形的进一步讨论》

探究与发现

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教材分析与教学建议

余弦定理
(1)研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行
量化,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角 形的另一边和两个角的问题 ; (2)用向量的数量积,比较容易地证明了余弦定理
b2 ? c 2 ? a 2 (3)余弦定理的推论 cos A ? 2bc



(4)例3,4

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教材分析与教学建议

☆1.2 应用举例 正 弦 定 理 余 弦 定 理 距离问题 例1、2 例3、4、5 例6
例7、8——三角形面积
例9——边角关系恒等证明

高度问题
角度问题 几何计算

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教材分析与教学建议

☆1. 3 实习作业
实习作业重在过程,通过实习,培养学生构建数学模型, 分析和解决简单实际问题的能力。
实习前,教师要指导好学生作好前期准备,选择好素材。 实习时,注意现场指导。对学生的实习报告要予以讲评 和规范。有条件的情况下,可让学生自主选择素材在课后再完 成几个实习报告。 与旧教材相比,实习作业多了三个栏目。 负责人及参加者;计算者及复核者;指导教师审核意见。 更具有可操作性,也体现科研过程

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教材分析与教学建议

教材例习题的处理建议:

(1)教材上的例习题多数要用到计算器,有条件 的可以直接使用;

(2)教师提供相关数据,解题时选用; (3)改教材例习题中的角为特殊角,高考试题基 本上都是特殊角或简单变形可计算出其值的角。

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用正弦定理解题

用余弦定理解题

用正、余弦定理综合应用

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三角应用问题

正余弦定理的应用例习题选

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第二章
知识结构 等 差 数 列 等 比 数 列





内容与课程学习目标

通项公式 前n项和 数 列 的 应 用

数 列

通项公式 前n项和

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内容与课程学习目标

知识内容及课时安排

2.1 数列的概念与简单表示 约2课时

2.2 等差数列
2.3 等差数列前n项和 2.4 等比数列 2.5 等比数列前n项和 小结

约2课时
约2课时 约2课时 约2课时 约2课时

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学习目标的解读

内容与课程学习目标

(1)理解数列的定义,了解数列是一类特殊函数 (2)了解数列的几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) (3)认识数列是反映自然规律的基本模型。 (4)能根据给出的递推公式写出数列的前几项 (4)理解等差(等比)数列的概念 (5)掌握等差(等比)数列的通项公式 (6)了解等差数列(等比)与一次函数(指数函数)的关系 (7)能在具体的问题情境中,识别数列的等差(等比)关系进而 用等差(等比)数列有关知识解决相应的问题 (8)掌握等差、等比数列前n项和的公式,能用它解决简单的问题 (9)理解等差、等比数列前n项和公式的推导方法 (10)能利用等差等比数列前n项和公式及性质求一些特殊数列的和 (11)理解 an , S n 的关系 (12)等比数列的求和公式达到灵活应用。

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课程标准与大纲比较
数列 等差数列

新旧教材对比
等比数列

数 列 概 念
大 纲 要 求 理 解

表 示 方 法
了 解

递 推 公 式
了 解

与 函 数 关 系
了 解

概 念

通 项 公 式
掌 握 运 用

前 n 项 和
掌 握 运 用

与 函 数 关 系

概 念

通 项 公 式
掌 握 运 用

前 n 项 和
掌 握 运 用

与 函 数 关 系

理 解

理 解

标 准 要 求

了 解

了 解

了 解

了 解

理 解

掌 握 运 用

掌 握 运 用

体 会

理 解

掌 握 运 用

掌 握 运 用

体 会

教材有定义 和2个例题

新课标强调函数本质, 重应用

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课时比较
大纲教材
数学第一册(上)第三章 数列(约15课时) 3.1数列(约2课时) 3.2等差数列(约2课时) 3.3等差数列的前n项和(约2课时) (阅读材料 有关规定储蓄的计算) 3.4等比数列 (约2课时) 3.5等比数列的前n项和(约2课时)

新旧教材对比
课标教材
数学5第2章 数列(约12课时) 2.1数列的概念与简单表示法 (约2课时) (阅读与思考 斐波那契数列) (信息技术应用 2 估计的值) 2.2等差数列 (约2课时) 2.3等差数列的前n项和(约2课时) 2.4等比数列 (约2课时)

研究性课题:分期付款中的有关计算 (约3课时) 小结与复习(约2课时)

2.5等比数列的前n项和(约2课时) (阅读与思考 九连环) (探究与发现 购房中的数学) 小结与复习(约2课时)

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内容与课程学习目标

重点:等差、等比数列的概念,通项及前n项 和公式及应用,数列与函数的关系。

难点:等差、等比数列的通项及前n项和公式的 灵活应用,求一些特殊数列的前n项和

关键:等差、等比数列的基本元素(an ,a1,Sn,d,q) 间的换算及恒等变形

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教材分析与教学建议

教 材 分

强调本质:以函数观点统领数列

关注过程:新颖别致的呈现方式 高屋建瓴:把思想方法落到实处



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强调本质:以函数观点统领数列

教材分析与教学建议

数列的通项是函数解析式

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教材分析与教学建议

关注过程:新颖别致的呈现方式

现实情境 数学模型

应用于现实问题

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把思想方法落到实处

教材分析与教学建议

? ? ? ? ? ?

类比思想 归纳思想 数形结合 方程思想 算法思想 特殊到一般

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教材分析与教学建议

教学建议
?留给学生回味、思考空间 ?控制难度:等差等比性质,递推公式,求和问题 ?培养学生看书的习惯(教材有利于自学,需学生填空) ?强调数列是特殊的函数,函数观点贯穿始终 ?强调数列是刻画实际问题的重要数学模型 ?

强调数学思想的渗透

?两种数列的类比教学

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第三章

不等式

内容与课程学习目标

知识结构

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内容与课程学习目标

知识内容及课时安排
内 容 课 时

3.1 不等关系与不等式(含不等式性质)
3.2 一元二次不等式及其解法 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域

约2课时
约3课时 约2课时

3.3.2简单的线性规划问题 阅读与思考 错在哪儿? 信息技术应用 用Excel解线性规划问题举例
3.4 基本不等式 小结与复习

约3课时

约3课时 约3课时

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学习目标的解读

内容与课程学习目标

(1)了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解 不等式(组)的实际背景
(2)会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系, 能用不等式组)研究含有不等关系的实际问题 (3)掌握不等式的基本性质。

(4)了解从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程 (5)理解一元二次不等式的概念 (6)通过图象,理解并掌握一元二次不等式、二次函 数及一元二次方程之间的关系;

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学习目标的解读

内容与课程学习目标

(7)会求一元二次不等式解集 (8)了解求解一元二次不等式的程序框图及算法思想

(9)了解从实际情境中抽象出二元一次不等式(组) 模型的过程; (10)理解二元一次不等式(组)解集的概念;理解 (区域)边界的概念及实线、虚线边界的含义 (11)会用二元一次不等式(组)表示平面区域,能画出 给定的不等式(组)表示的平面区域

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学习目标的解读

内容与课程学习目标

(12)了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线 性规划、可行解、可行域、最优解的概念; (13)掌握简单的二元线性规划问题的解法 (14)了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的 证明过程 (15)理解算术平均数,几何平均数的概念 (16)会用基本不等式解决简单的最大(小)值的问题

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课程标准与大纲比较
内 课程标准 容
通过具体 情境, 感受在 现实世 界和日 常生活 中存在 着大量 的不等 关系, 了解不 等式(组) 的现实 背景

新旧教材对比
区 别





不 等 关 系 与 不 等 式

1.理解不等式的 性质及其证明. 2.掌握分析法、 综合法、比较法 证明简单的不等 式. 3.掌握简单的绝 对值不等式和简 单的分式不等式 的解法. 4.理解不等式

1.在课标中侧重通过具体情境, 让学生感受在现实世界和日常生 活中存在着大量的不等关系,认 识到不等关系和相等关系同样重 要.理解不等式(组)对于刻画不 等关系的意义和价值.增加了对 分析处理具体问题的要求. 2.删除了对解绝对值不等式和 解分式不等式的要求,不等式证 明基本不作要求. 3.不要求理解不等式

a ? b ? a?b ? a ? b

a ? b ? a?b ? a ? b

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课程标准与大纲比较
内容 课程标准
1.经历从实际情境 中抽象出一元二 次不等式的模型 的过程. 2.通过函数图像了 解一元二次不等 式与相应函数、 方程的联系. 3.会解一元二次不 等式,对给定的 一元二次不等式 ,尝试设计求解 的程序框图.

新旧教材对比

大纲 掌 握 二 次 不 等 式 的 解 法





一 元 二 次 不 等 式

课标增加了“经历从实际 情境中抽象出一元二次不 等式的模型的过程”,加 强了一元二次不等式的背 景和应用,加强了与函数、 方程的联系,加强了数形 结合;增加了“尝试设计 求解的程序框图”,提高 了对运用现代信息技术解 决问题的能力要求.



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课程标准与大纲比较
内容
二 元 一 次 不 等 式 组 与 简 单 线 性 规 划 问 题

新旧教材对比
区 别

课程标准





1.从实际情境中抽 1.了解二元一 象出二元一次 次不等式表 不等式组. 示区域. 2.了解二元一次不 2.了解简单的 等式的几何意 线性规划问 义,能用平面 题. 区域表示二元 3.了解线性 一次不等式组 规划的意义 . ,并会简单 3.从实际情境中 的应用. 抽象出一些简 4.以线性规 单的二元线性 划为内容, 规划问题,并 培养解决实 能加以解决. 际问题的能 力

1.课标要求从实际情境中 抽象出二元一次不等式组, 但大纲不做要求. 2.由“了解简单的线性规 划问题,了解线性规划的 意义”变为“从实际情境 中抽象出一些简单的二元 线性规划问题”,提高了 要求. 3.由“并会简单的应用” 、“培养解决实际问题的 能力”变为“并能加以解 决”,提高了要求.

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课程标准与大纲比较
内容

新旧教材对比 区 别

课程标准





基 本 不 等 式

1.探索并 掌握两个(不 1.由“掌握”到“探索并了 扩展到三 了解基本 解证明过程”,提高了对 个)正数 不等式的 过程的要求. 的算术平 证明过 2.由“学会简单的应用” 均数不小 程. 到“会解决简单的最大( 于它们的 2.会用基 小)问题”,不要求用基 几何平均 本不等式 数的定理, 本不等式作推理证明,降 解决简单 低了难度和广度;强调基 并会简单 的最大( 本不等式在解决简单的最 的应用. 小)问题 大(小)问题中的作用,提 . 高了对解决实际问题能力 的要求

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比较分析

新旧教材对比

增强: ? 不等式(组)——反映不等关系的数学模型; ? 二元一次不等式组的几何意义及应用(线性规划); ? 加强了与函数、方程的联系,加强了数形结合; ? 强调基本不等式在解决最值问题中的作用 删减: 中介绍了更多放入证明方法 ? 不等式的证明; ? 用基本不等式作推理证明; ? 高次不等式、无理不等式。
但在选修1-2(文科必选)、选修2-2(理科必选) 的推理与证明中有不等式的证明方法,在选修4-5

新旧教材对比 高一 (上)第一章《集合 与简易逻辑》 ╳.4 绝对值不等式的解 约2课时 1 1 √ .5 一元二次不等式的解法 约4课时

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3.2一元二次不等式及其解法3

高二数学(上)第六章《不等式》 3.1不等关系与不等式 6.1 √ 不等式的性质 6.2 √ 算术平均数与几何平均数 3.4基本不等式 6.3 ╳ 不等式的证明 ╳ 不等式的解法举例 6.4 ╳ 含有绝对值的不等式 6.5 高二(上)第七章《直线和圆的方程》 3.3二元一次方程组 √7.4线性规划 约3课时 与简单线性规划

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教材分析与教学建议

强调问题意识性
以问题代替例题

以问题导教,导学

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淡化技巧,强化应用

只有两个例题(应用题)

没有用基本不等式作推理证明的题

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教学建议
大纲教材

3.1 不等关系(含不等式性质)
增加实际背 景、建立不 等关系



通过数轴,给出比较实数大小的方法

作差法比较大小(例题1、2) ╳

√ 反对称性 √ 传递性 五个定理和三个推论 √ 可加性 √ 可乘性 严格的证明 ╳ 改探究 √ 开方性 改8个性质
例题(用性质证明不等式)

保留1个

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教学建议

3.1 不等关系(含不等式性质)

1、提出问题,学生自学,自主探究 2、引导学生进一步挖掘一些感兴趣的和富有时代感的

素材,通过分析其中的基本数量关系,以加深学生对
“不等关系是客观事物的基本数量关系”的认识 3、建议在教学中不要对这些性质的证明作过多的纠缠,

而应该在说明这些性质的合理性上举例说明

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教学建议

3.2 一元二次不等式及其解法

?不提前上到底有多大影响? ?在数学1第三章中,补讲简单一元二次不等 式的解法,现在怎么处理
?加强函数与方程的联系 ?简单的含参的一元二次不等式解法, ?简单的二次不等式恒成立问题(原来了解)

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教学建议
线 性 规 划 学 情 分 析

3.3 二元一次不等式(组) 与简单线性规划问题 难点一:如何判断区域在直线上或下,左或右 ——可以借助一次函数图像讲清楚。 难点二:目标函数——关于截距问题。 难点三:斜率大小问题

需作铺垫: 方程与函数的关系; 直线斜率大小与直线陡平的关系; 斜率相同则平行;截距问题。

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教学建议
?借助一次函数图像讲二元一次不等式(组)与平面区域

?线性规划问题处理方法1 铺垫:(1)直线的截距
(2)平移目标函数(直线)l0到区域边界交点处, 取特殊点,考察l0夹在哪两条直线之间,从而解决 没有学习斜率问题 (3)引导学生体会线性规划的基本思想,在其它 方面的一些应用不作过多展开

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教材分析与教学建议

教学建议
?线性规划问题处理方法2
放在《直线方程》中去学习,回到大纲教材的体系。

差异是:方法一是在半期前学习, 方法二是在半期后学习

我们建议 使用方法2

?充分利用信息技术,展示区域,目标函数的移动

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教材分析与教学建议

3.4 基本不等式 a?b 一、基本不等式 ab ? 2 从“风车”的几何意义入手引出基本不等式
分析法,学生自学,填空完成证明

教学建议

通过自主探究对基本不等式作几何解释,加深理解

得出结论:基本不等式

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教材分析与教学建议

教学建议
2、求最值
?利用基本不等式求最值是本课的教学核心 ?重视最值概念,不等式等号成立条件 ?关注运用要点。一正,二定,三相等 ?重视实际应用题的教学 ?基本不等式仅限于二元均值不等式,不必推广到 三个以上变量的情形

人教A版数学5 — 教学建议

2011年2月21日


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