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2019年一轮北师大版(理)数学教案:第7章 第2节 空间图形的基本关系与公理 Word版含解析


第二节 [考纲传真] 空间图形的基本关系与公理 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依 据的公理和定理.3.能运用公理、 定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关 系的简单命题. 1.空间图形的公理 (1)公理 1:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个 平面). (2)公理 2:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 (即直线在平面内). (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过 该点的公共直线. (4)公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 2.空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系 相交直线 ? ?共面直线? ? ?平行直线 ? ? ?异面直线:不同在任何一个平面内 (2)异面直线所成的角 ①定义:过空间任意一点 P 分别引两条异面直线 a,b 的平行线 l1,l2(a∥l1, b∥l2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线 a,b 所成的角. π? ? ②范围:?0,2?. ? ? 3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况. (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 4.定理(等角定理) 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个平面 α,β 有一个公共点 A,就说 α,β 相交于过 A 点的任意一条直 线.( ) ) ) ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( (4)若直线 a 不平行于平面 α,且 a? / α,则 α 内的所有直线与 a 异面.( [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.(教材改编)如图 721 所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为( ) 图 721 A.30° C.60° B.45° D.90° C [连接 B1D1,D1C(图略),则 B1D1∥EF, 故∠D1B1C 为所求的角, 又 B1D1=B1C=D1C,∴∠D1B1C=60° .] 3.在下列命题中,不是公理的是( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此 平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的 公共直线 A [A 不是公理,是个常用的结论,需经过推理论证;B,C,D 是公理.] 4.(2016· 山东高考)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α,β 内,则“直 线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A [由题意知 a α,b β,若 a,b 相交,则 a,b 有公共点,从而 α,β ) 有公共点,可得出 α,β 相交;反之,若 α,β 相交,则 a,b 的位置关系可能为 平行、 相交或异面. 因此“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的 充分不必要条件.] 5. 若直线 a⊥b, 且直线 a∥平面 α, 则直线 b 与平面 α 的位置关系是________. b 与 α 相交或 b α 或 b∥α 空间图形的公理 及其应用 如图 722,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB 和 AA1 的 中点.求证: 图 722 (1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE,D1F,DA 三线共点. [证明] (1)如图,连接 EF,CD1,A1B. ∵E,F 分别是 AB,AA1 的中点, ∴EF∥BA1. 2分 又∵A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E,C,D1,F 四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE 与 D1F 必相交,设交点为 P, 则由 P∈直线 CE,CE 得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, ∴P∈直线 DA,∴CE,D1F,DA 三线共点. [规律方法] 1.证明线共面或点共面的常用方法: 12 分 平面 ABCD, 8分 5分 (1)直接法:证明直线平行或相交,从而证明线共面. (2)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. (3)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面 α,再证明其余元素确定平面 β,最后证明平面 α,β 重合. 2.证明点共线问题的常用方法: (1)基本性质法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基 本性质 3 证明这些点都在这两个平面的交线上. (2)纳入直线法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线 上. [变式训练 1] 1 如图 723 所示, 四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形, BC∥ ═2AD, 1 BE∥ ═2FA,G,H 分别为 FA,FD 的中点. 图 723 (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C,D,F,E 四点是否共面?为什么? 【导学号:57962329】 [解] 1 (1)证明:由已知 FG=GA,FH=HD,得 GH∥ ═2AD. 2分 1 又 BC∥ ═2AD, ∴GH∥ ═BC,∴四边形 BCHG 是平行四边形. (2)C,D,F,E 四点共面,理由如下: 1 ∥ 由 BE∥ ═2AF,G 为 FA 的中点知 BE═GF, ∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴EF∥BG. 由(1)知 BG∥CH,∴EF∥CH, ∴EF 与 CH 共面. 又 D∈FH,∴C,D,F,E 四点共面. 空

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