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2014届金华一中高三数学周测卷(5)


2014 届金华一中高三数学周测卷(5)
班级________姓名________ 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.请将你认 为正确的选项答在指定的位置上。 ) 1.已知 i 是虚数单位,且复数 z1 ? 3 ? bi, z 2 ? 1 ? 2i, 若 A. 6 B. ? 6
2

z1 是实数,则实数 b 的值为 z2 1 C.0 D. 6
x





2.已知集合 A ? {x | y ? ? 2 x ? x }, B ? { y | y ? 2 , x ? 0} , R 是实数集,则( C R B )∩ A = A.R 3.一次函数 y ? ? B. ?1,2 ? C. ?0,1? D. ? ( ) )

m 1 ( x ? 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是 n n A. m ? 1, 且n ? 1 B. mn ? 0 C. m ? 0, 且n ? 0 D. m ? 0, 且n ? 0


4.当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0) 取得最小值,则函数 y ? f ( 3? ? x) 是 4 4 A.奇函数且图像关于点 (



?

2

, 0) 对称

B.偶函数且图像关于点 (? , 0) 对称 D.偶函数且图像关于点 (

, 0) 对称 2 * 5.已知每项均大于零的数列 {an } 中,首项 a1 ? 1 且前 n 项的和 S n 满足 S n S n ?1 ? S n ?1 S n ? 2 S n S n ?1 (n ? N , 且 2
对称

C.奇函数且图像关于直线 x ?

?

?

???? ? ???? ? ???? ? ???? ? M ?PM ? 0 ,则当 PM 取得最小值时的点 P 6.已知 P 为双曲线 C : x ? y ? 1 上的点,点 M 满足 OM ? 1 ,且 O
2 2

n ? 2) ,则 a81 ?


9

)A.638

B.639

C.640

D.641

16

12 C. 4 D. 5 5 0 7.在平面斜坐标系 xoy 中 ?xoy ? 45 ,点 P 的斜坐标定义为: “若 OP ? x0 e1 ? y 0 e2 (其中 e1 , e 2 分别为与斜坐 标系的 x 轴, y 轴同方向的单位向量) ,则点 P 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) ” .若 F1 (?1,0), F2 (1,0), 且动点 M ( x, y ) 满足 ???? ???? MF 1 ? MF 2 ,则点 M 在斜坐标系中的轨迹方程为 ( )
到双曲线 C 的渐近线的距离为 ( )A. B. A. x ? 2 y ? 0 B. x ? 2 y ? 0 C. 2 x ? y ? 0 D. 2 x ? y ? 0 ( ) 8. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 是棱 CC1 的中点,F 是侧面 BCC1 B1 内的动点, 且 A1 F / / 平面 D1 AE ,则 A1 F 与平面 BCC1 B1 所成角的正切值构成的集合是
? 2 5 ? ? A. ? ? t ? 2 3? ?t ? ? 5 ? ?

9 5

? ? 2 5 ? B. ? ? t ? 2? C. t 2 ? t ? 2 3 ?t ? ? 5 ? ?

?

?

D. t 2 ? t ? 2 2

?

?

9.如果正整数 a 的各位数字之和等于 6,那么称 a 为 “好数” (如:6,24,2013 等均为“好数” ) ,将所有“好数” 从小到大排成一列 a1 , a2 , a3 , ??????, 若 an ? 2013 ,则 n ? ( ) A.50 B.51
3 2

C.52

D.53 )

10. 设函数 ht ( x) ? 3tx ? 2t , 若有且仅有一个正实数 x0 , 使得 h7 ( x0 ) ? ht ( x0 ) 对任意的正数 t 都成立, 则 x0 = ( A.5 B. 5 C .3 D. 二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 ) 则 log 2 a16 ?
x ?x 6

7

11. 在各项均为正数的等比数列 {a n } 中,若公比为 3 2 ,且满足 a3 ? a11 =16, . 12.二项式 (4 ? 2 ) ( x ? R )展开式中的常数项是 . 13.执行如右图的程序框图,输出 s 和 n ,则 s ? n 的值为 . 14.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如下图所示, 则该几何体的体积是 .

15.设圆 C : ( x ? 3) ? ( y ? 5) ? 5 ,过圆心 C 作直线 l 交圆于 A 、 B 两点,与 y 轴
2 2

交于点 P ,若 A 恰好为线段 BP 的中点,则直线 l 的方程为 . 1 1 16.设函数 f ( x) ? x( ) x ? , A0 为坐标原点, An 为函数 y ? f ( x) 图象上横坐标为 2 x ?1

n(n ? N * )

的点, 向量 an ?
n

?? ?

?A
k ?1

n

?? ? ? ??????? ? 设 ? n 为向量 an 与向量 i k ?1 Ak ,向量 i ? (1, 0) ,
.

的夹角,则满足 ? tan ? k ? 21 的最大整数 n 是 11 k ?1 17.已知函数 f ( x) ?

4x ? k ? 2x ? 1 . 若对任意的实数 x1 , x2 , x3 ,不等式 4x ? 2x ? 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 恒成立,则实数 k 的取值范围是 .

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 18.在 ? ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .已知 (Ⅱ)若 B 为钝角, b ? 10 ,求 a 的取值范围.

cos A ? 3cos C 3c ? a sin C . (Ⅰ)求 的值; ? cos B b sin A

19.甲乙两支球队进行总决赛,比赛采用七场四胜制,即若有一队先胜四场,则此队为总冠军,比赛就此结束.因 两队实力相当,每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一.据以往资料统计,第一场比赛可获得门票收入 40 万 元,以后每场比赛门票收入比上一场增加 10 万元. (Ⅰ)求总决赛中获得门票总收入恰好为 300 万元的概率; (Ⅱ)设总决赛中获得的门票总收入为 X ,求 X 的均值 E ( X ) .

20.如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上, AB // EF ,矩形 ABCD 所在的平面与圆 O 所在的平面互相垂 直.已知 AB ? 2 , EF ? 1 . (Ⅰ)求证:平面 DAF ? 平面 CBF ; (Ⅱ)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大 小; (Ⅲ)当 AD 的长为何值时,平面 DFC 与平面 FCB 所成的锐二面角的大小为 60? ?

C

D

.O
A

B

E F

21.已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 ? ,它的离心率为

1 2 ,一个焦点和抛物线 y ? ?4 x 的焦点重合,过直 2 线 l : x ? 4 上一点 M 引椭圆 ? 的两条切线,切点分别是 A,B. (Ⅰ)求椭圆 ? 的方程; (Ⅱ)若在椭圆
x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 上的点 a2 b2

?x0 , y0 ? 处的椭圆的切线方程是 x02x ? y02y ? 1 .
a b

求证:直线 AB 恒过定点 C ; 并出求定点

C 的坐标.(Ⅲ)是否存在实数 ? ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC 恒成立?(点 C 为直线 AB 恒过的定点) 若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由。

22. 已知函数 f ? x ? ? ln ?2ax ? 1? ?

x3 ? x 2 ? 2ax?a ? R ? 3 (I)若 x ? 2 为 f ? x ? 的极值点,求实数 a 的值; (II)若 y ? f ?x ? 在 ?3,??? 上为增函数,求实数 a 的取值范围;
(III)当 a ? ?

?1 ? x ? ? b 有实根,求实数 b 的最大值. 1 时,方程 f ?1 ? x ? ? 3 x 2
3

2014 届金华一中高三数学周测卷(5)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 5 6 7 A C B C C B D 8 D 13. 16. 9 B 13 10 10 D

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 5 12. 15 14. 17.

17 3
? 1 ? k ?4 2

15. 2 x ? y ? 1 ? 0 或 2 x ? y ? 11 ? 0

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或解题步骤) 18. (本小题满分 14 分)

a b c ? ? ? k, sin A sin B sin C 3c ? a 3k sin C ? k sin A 3sin C ? sin A 则 ? ? , b k sin B sin B cos A ? 3cos C 3sin C ? sin A 所以 ? . cos B sin B 即 (cos A ? 3cos C )sin B ? (3sin C ? sin A) cos B , 化简可得 sin( A ? B) ? 3sin( B ? C ). 又 A? B ?C ? ? , 所以 sin C ? 3sin A sin C 因此 ? 3. sin A sin C (II)由 ? 3 得 c ? 3a. sin A ? a?c ?b 由题意 ? 2 , 2 2 ?a ? c ? b 5 ? ? a ? 10 2
解: (I)由正弦定理,设

??????4 分

??????6 分

??????8 分 ??????9 分 ??????12 分 ??????14 分

19. (本小题满分 14 分) 解: (I)依题意,每场比赛获得的门票收入组成首项为 40,公差为 10 的等差数列. 设此数列为 ? an ? ,则易知 a1 ? 40, an ? 10n ? 30 ,? Sn ?

解得 n ? ?12 (舍去)或 n ? 5 ,所以此决赛共比赛了 5 场.

n(10n ? 70) ? 300, 2
????3 分
1

则前 4 场比赛的比分必为 1: 3 ,且第 5 场比赛为领先的球队获胜,其概率为 C4 ( ) ?
4

1 2

1 ; 4

(II)随机变量 X 可取的值为 S4 , S5 , S6 , S7 ,即 220,300,390,490

????6 分 ????7 分 ????8 分 ????12 分 390 490

1 1 1 1 4 , P( X ? 300) ? C4 ( ) ? 8 2 4 1 5 1 5 3 P( X ? 390) ? C52 ( )5 ? , P( X ? 490) ? C6 ( )6 ? 2 16 2 16 所以, X 的分布列为 220 300 X 1 1 P 8 4 所以 X 的均值为 E ( X ) ? 377.5 万元
又 P( X ? 220) ? 2 ? ( ) ?
4

1 2

5 16
????14 分

5 16

20. (本小题满分 14 分) (I)证明:?平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB , 平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB , ? CB ? 平面 ABEF . ? AF ? 平面 ABEF ,? AF ? CB ,????2 分 又? AB 为圆 O 的直径,? AF ? BF , ????3 分 ? AF ? 平面 CBF . 平面 , 平面 ? AF ? ADF ? DAF ? 平面 CBF . ????4 分 (II)根据(Ⅰ)的证明,有 AF ? 平面 CBF , ? FB 为 AB 在平面 CBF 内的射影, 因此, ?ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角 ? AB // EF ,?四边形 ABEF 为等腰梯形, 过点 F 作 FH ? AB ,交 AB 于 H .

z

C

D

. H O
x A

B

E y F

?????6 分

AB ? EF 1 ? . 2 2 2 在 Rt?AFB 中,根据射影定理 AF ? AH ? AB ,得 AF ? 1 . ????8 分 AF 1 sin ?ABF ? ? ,? ?ABF ? 30 ? . AB 2 ????9 分 ?直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30 ? . (Ⅲ)设 EF 中点为 G ,以 O 为坐标原点, OA 、 OG 、 AD 方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴方向建立空间直角 坐 标 系 ( 如 图 ) . 设 AD ? t (t ? 0) , 则 点 D 的 坐 标 为 (1, 0, t ) 则 , 又 C (? 1 t, 0 , )

AB ? 2 , EF ? 1 ,则 AH ?

1 3 A(1, 0, 0), B( ?1, 0, 0), F ( , , 0) 2 2 ??? ? ??? ? 1 3 ? CD ? (2, 0, 0), FD ? ( , ? , t) ????10 分 2 2 ?? ??? ? ?? ??? ? 设平面 DCF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,则 n1 ? CD ? 0 , n1 ? FD ? 0 .
?2 x ? 0, ? 即? 3 y ? tz ? 0. ?? ? 2
? n1 ? (0, 2t , 3 )
令 z ? 3 ,解得 x ? 0, y ? 2t

??????12 分

由(I)可知 AF ? 平面 CFB ,取平面 CBF 的一个法向量为 n2 ? AF ? (? 角为 60
?

?? ?

??? ?

1 3 , , 0) ,依题意 n1 与 n 2 的夹 2 2

? cos 60 ? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

,即

1 ? 2

3t 4t ? 3 ?1
2

, 解得 t ?

6 4

因此,当 AD 的长为

6 ? 时,平面与 DFC 平面 FCB 所成的锐二面角的大小为 60 .???14 分 4

21. (本小题满分 15 分) 解: ( I )设椭圆方程为

c 1 x2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 。抛物线 y 2 ? ?4 x 的焦点是 ?? 1,0? ,故 c ? 1 ,又 ? ,所以 2 a b a 2
x2 y2 ? ?1 4 3

a ? 2, b ? a 2 ? c 2 ? 3 ,
所以所求的椭圆 ? 方程为 ??????????4 分

( II )设切点坐标为 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y2 ? , 直线 l 上一点 M 的坐标 ?4, t ? 。则切线方程分别为

x1 x y1 y ? ?1 , 4 3

x2 x y 2 y t t t ? ? 1。又两切线均过点 M,即 x1 ? y1 ? 1, x2 ? y2 ? 1 ,即点 A,B 的坐标都适合方程 x ? y ? 1 ,而 4 3 3 3 3 t 两点之间确定唯一的一条直线,故直线 AB 的方程是 x ? y ? 1 ,显然对任意实数 t,点(1,0)都适合这个方程, 3 故直线 AB 恒过定点 C ?1,0? 。 ????????????????????????????9 分 t (III)将直线 AB 的方程 x ? ? y ? 1 ,代入椭圆方程,得 3
? t2 ? 2 ? t ? ? ? 4 3? ? y ? 1? ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ,即 ? ?3 ? y ? 2ty ? 9 ? 0 ? 3 ? ? ? 6t ? 27 所以 y1 ? y 2 ? 2 , y1 y 2 ? 2 t ? 12 t ? 12 不妨设 y1 ? 0, y2 ? 0
2
2

AC ?

?x1 ? 1?2 ? y12

? t2 ? 2 t2 ? 9 t2 ? 9 ? ,同理 BC ? ? y2 ???12 分 ? ? ? 1 y ? y 1 ?9 ? 1 3 3 ? ?

?1 1? 1 1 3 3 y ?y 3 所以 ? ? ?? ? ? ? ? 2 1 ?? ? ? ? AC BC t 2 ? 9 ? y1 y2 ? t 2 ? 9 y1 y2 t2 ? 9
2

? y2 ? y1 ?2
y1 y2

108 ? 6t ? ? 2 ? ? 2 3 1 144 t 2 ? 9 ? 144 4 ? t ? 12 ? t ? 12 ?? ? ? ? ? ? 27 9 3 t2 ? 9 t2 ? 9 t 2 ? 12 4 即 AC ? BC ? AC ? BC 。 3 4 故存在实数 ? ? ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC 。 ???????????15 分 3
22. (本小题满分 15 分) 解: (I) f ??x ? ?

x 2ax2 ? ?1 ? 4a ?x ? 4a 2 ? 2 ? 0 在 ?3,??? 上恒成立。???6 分 2ax ? 1 ? 当 a ? 0 时, f ??x ? ? x?x ? 2? ? 0 在 ?3,??? 上恒成立,所以 f ? x ? 在 ?3,??? 上为增函数,故 a ? 0 符合题 f ??x ? ?
2ax2 ? ?1 ? 4a ?x ? 4a 2 ? 2 ? 0 在 ?3,??? 上恒成立。
2

2a x 2ax2 ? ?1 ? 4a ?x ? 4a 2 ? 2 ? x 2 ? 2 x ? 2a ? 2ax ? 1 2ax ? 1 2a 因为 x ? 2 为 f ? x ? 的极值点,所以 f ??2? ? 0 ,即 ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 。??4 分 4a ? 1 (II)因为函数 f ? x ? 在 ?3,??? 上为增函数,所以

?

?

??

?

?

??

意。 ? ??7 分 ? 当 a ? 0 时 , 由 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 可 知 , 必 须 有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒 成 立 , 故 只 能 a ? 0 , 所 以

?

?

???8 分

1 1 ,因为 a ? 0 ,所以1 ? ? 1 ,要使 g ?x ? ? 0 4a 4a 3 ? 13 3 ? 13 2 ?a? 在 ?3,??? 上恒成立,只要 g ?3? ? 0 即可,即 g ?3? ? ?4a ? 6a ? 1 ? 0 ,所以 。因为 a ? 0 , 4 4 3 ? 13 所以 0 ? a ? 。 4 ? 3 ? 13 ? 综上所述,a 的取值范围为 ? 0, ???10 分 ?。 4 ? ?
令函数 g ?x ? ? 2ax ? ?1 ? 4a ?x ? 4a ? 2 ,其对称轴为 x ? 1 ?
2

?

?

?1 ? x ? ? b 可化为 ln x ? ?1 ? x ?2 ? ?1 ? x ? ? b 。 1 时,方程 f ?1 ? x ? ? 3 x 2 x 2 2 3 2 3 问题转化为 b ? x ln x ? x?1 ? x ? ? x?1 ? x ? ? x ln x ? x ? x 在 ?0,??? 上有解,即求函数 g ?x ? ? x ln x ? x ? x 的
3

(Ⅲ)当 a ? ?

因为函数 g ?x ? ? x ln x ? x ? x ,令函数 h?x ? ? ln x ? x ? x ?x ? 0? ,???12 分
2 3 2

值域。

?2 x ? 1??1 ? x ? , 1 ?1 ? 2x ? x x 所以当 0 ? x ? 1 时, h??x ? ? 0 ,从而函数 h ? x ? 在 ?0,1? 上为增函数, 当 x ? 1 时, h??x ? ? 0 ,从而函数 h ? x ? 在 ?1,?? ? 上为减函数, 因此 h?x ? ? h?1? ? 0 。 而 x ? 0 ,所以 b ? x ? h?x ? ? 0 ,因此当 x ? 1 时,b 取得最大值 0.
则 h??x ? ?

???15 分


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