伤城文章网 > 高一数学 > 专题一、含绝对值不等式的解法(含答案)

专题一、含绝对值不等式的解法(含答案)


第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式
一、知识点回顾 1、绝对值的意义:(其几何意义是数轴的点 A(a)离开原点的距离 OA ? a )
? a, ?a ? 0 ? ? a ? ? 0, ?a ? 0 ? ?? a, ?a ? 0 ? ? 2、含有绝对值不等式的解法:(解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号) (1)定义法; (2)零点分段法:通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式; (3)平方法:通常适用于两端均为非负实数时(比如 f ?x? ? g ?x? );

(4)图象法或数形结合法; (5)不等式同解变形原理:即 x ? a?a ? 0? ? ?a ? x ? a

x ? a?a ? 0? ? x ? a或x ? ?a ax ? b ? c?c ? 0? ? ax ? b ? c或ax ? b ? ?c f ?x? ? g?x? ? f ?x? ? g?x?或f ?x? ? g?x?

ax ? b ? c?c ? 0? ? ?c ? ax ? b ? c f ?x? ? g?x? ? ?g?x? ? f ?x? ? g?x?

a ? f ?x? ? b?b ? a ? 0? ? a ? f ?x? ? b或 ? b ? f ?x? ? ?a
3、不等式的解集都要用集合形式表示,不要使用不等式的形式。 4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。(见 P8) 5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变 化,以及含字母的有关问题的讨论,渗透数形结合思想。 6、解一元二次不等式的步骤: (1)将不等式化为标准形式 ax2 ? bx ? c ? 0?? 0? 或 ax2 ? bx ? c ? 0?? 0? (2)解方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (3)据二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象写出二次不等式的解集。

一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为 不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一)、公式法:即利用 x ? a 与 x ? a 的解集求解。 主要知识: 1、绝对值的几何意义: x 是指数轴上点 x 到原点的距离; x1 ? x2 是指数轴上 x1 , x2 两点间的距离.。 2、 x ? a 与 x ? a 型的不等式的解法。

当 a ? 0 时,不等式 x ? 的解集是 x x ? a, 或x ? ? a

? 当 a ? 0 时,不等式 x ? a 的解集是 ?x x ? R?
不等式 x ? a 的解集是 ? ;

?

不等式 x ? a 的解集是 x ? a ? x ? a ;

?

?

3. ax ? b ? c 与 ax ? b ? c 型的不等式的解法。

1

把 ax ? b 看作一个整体时,可化为 x ? a 与 x ? a 型的不等式来求解。

? 不等式 ax ? b ? c 的解集是 ?x ? c ? ax ? b ? c?; 当 c ? 0 时,不等式 ax ? b ? c 的解集是 ?x x ? R?
不等式 a ? bx ? c 的解集是 ? ; 例 1 解不等式 x ? 2 ? 3

当 c ? 0 时,不等式 ax ? b ? c 的解集是 x ax ? b ? c, 或ax ? b ? ?c

?

分析:这类题可直接利用上面的公式求解,这种解法还运用了整体思想,如把“ x ? 2 ” 看着一个整体。答案为 x ? 1 ? x ? 5 。(解略) (3) ? 2 ? x ? 3 ? 5 (2) x 2 ? 9 ? x ? 3

?

?

? 2? (1)解:原不等式等价于 2 ? 3 x ? 0 ,所以不等式解集为 ? x x ? ? 3? ? ? x2 ? 9 ? 0 ? x2 ? 9 ? 0 (2)解:(1)法一:原不等式 ? ? 2 ①或 ? ② 2 9 ? x ? x ? 3 x ? 9 ? x ? 3 ? ? 由①解得 x ? ?3或3 ? x ? 4 ,由②解得 2 ? x ? 3 ∴原不等式的解集是 x 2 ? x ? 4或x ? ?3

?

?

? x ? ?3或x ? 2 法二:原等式等价于 ? ( x ? 3) ? x 2 ? 9 ? x ? 3 ? ? ? ?3? x ? 4 ? x ? ?3或2 ? x ? 4 ∴原不等式的解集是 x 2 ? x ? 4或x ? ?3

?

?

3 x ? ?3) ,由 x 2 ? 9 ? x ? 3 解得非曲直 法三:设 y1 ? x 2 ? 9 , y 2 ? x ? (

x1 ? 4, x2 ? ?3, x3 ? 2 ,在同一坐标系下作出它们的图象,由图得使 y1 ? y2 的 x 的范围是 x ? ?3或3 ? x ? 4 , y ∴原不等式的解集是 ?x 2 ? x ? 4或x ? ?3?
9 3 评析:数形结合策略运用要解出两函数图象的交点。 -3 o 3
? a ( a ? 0), ? (二)、定义法:即利用 a ? ?0( a ? 0), 去掉绝对值再解。 ? ? a ( a ? 0). ?

x

例 2。解不等式

x x 。 ? x?2 x?2

分析:由绝对值的意义知, a ? a ? a≥0, a ? ?a ? a≤0。

2

x <0 ? x(x+2)<0 ? -2<x<0。 x?2 练习: 2 ? 3x ? 2 ? 3x

解:原不等式等价于

? (1)解:原不等式等价于 2 ? 3 x ? 0 ,所以不等式解集为 ? x x ? ?

2? ? 3?

(三)、平方法:解 f ( x) ? g ( x) 型不等式。 例 3、解不等式 x ?1 ? 2x ? 3 。 解:原不等式 ? ( x ?1)2 ? (2 x ? 3)2 ? (2x ? 3)2 ? ( x ?1)2 ? 0

? (2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0 ? (3x-4)(x-2)<0 ?

4 ? x ? 2。 3

说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法:即通过合理分类去绝对值后再求解。 例 4 解不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 5 。 分析:由 x ? 1 ? 0 , x ? 2 ? 0 ,得 x ? 1 和 x ? 2 。 ? 2 和1 把实数集合分成三个区间, 即 x ? ?2 , ? 2 ? x ? 1 , x ? 1 ,按这三个区间可去绝对值,故可按这三个区间讨论。

? x ? ?2 解:当 x<-2 时,得 ? , ??( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5 ??2 ? x ? 1, 当-2≤x≤1 时,得 ? , ??( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5 ? x ? 1, 当 x ? 1 时,得 ? ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5.

解得: ? 3 ? x ? ?2 解得: ? 2 ? x ? 1 解得:1 ? x ? 2

综上,原不等式的解集为 x ? 3 ? x ? 2 。 说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集; (2)这种解法又叫“零点分区间法”,即通过令每一个绝对值为零求得零点,求解应注意 边界值。 三、几何法:即转化为几何知识求解。 例 5 对任何实数 x ,若不等式 x ?1 ? x ? 2 ? k 恒成立,则实数 k 的取值范围为 ( (A)k<3 化为求 y 的最小值。
x -1 0 2

?

?

)

(B)k<-3

(C)k≤3

(D)

k≤-3

分析:设 y ? x ?1 ? x ? 2 ,则原式对任意实数 x 恒成立的充要条件是 k ? ymin ,于是题转

3

解: x ? 1 、 x ? 2 的几何意义分别为数轴上点 x 到-1 和 2 的距离 x ? 1 - x ? 2 的几何意义 为数轴上点 x 到-1 与 2 的距离之差,如图可得其最小值为-3,故选(B)。 (3)分析:关键是去掉绝对值 方法 1:零点分段讨论法(利用绝对值的代数定义) ①当 x ? ?1 时, x ? 3 ? 0, x ? 1 ? 0 ∴ ? ( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1 ∴ 4<1 ? x ? ? ②当 ? 1 ? x ? 3 时 ∴ ? ( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1 ? x ? ③当 x ? 3 时
( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1 ? -4<1 ? x ? R ∴ {x | x ? 3}

1 1 ,∴ {x | ? x ? 3} 2 2

1 综上,原不等式的解集为 {x | x ? } 2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

也可以这样写: 解:原不等式等价于

?x ? ?1 ?? 1 ? x ? 3 ①? 或② ? ?? ( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1 ?? ( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1 ?x ? 3 或 ③? , ?( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1
1 解①的解集为φ ,②的解集为{x| <x<3},③的解集为{x|x ? 3}, 2 1 ∴原不等式的解集为{x|x> } 2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

方法 2:数形结合 从形的方面考虑,不等式|x-3|-|x+1|<1 表示数轴上到 3 和-1 两点的距离之差小于 1 的点
-1 O 1 2 3 x
王新敞
奎屯 新疆

1 ∴原不等式的解集为{x|x> } 2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

变式:(1)若 x ? 2 ? x ? 1 ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围。 解:由几何意义可知, x ? 2 ? x ? 1 的最小值为 1,所以实数 a 的取值范围为 ?? ?,1? 。 (2)数轴上有三个点 A、B、C,坐标分别为-1,2,5,在数轴上找一点 M,使它到 A、 B、C 三点的距离之和最小。 解:设 M(x,0) 则它到 A、B、C 三点的距离之和 f ?x? ? x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 5

? 3x ? 6, x ? 5 ? x ? 4, 2 ? x ? 5 ? 即 f ?x ? ? ? ?? x ? 8, ? 1 ? x ? 2 ? ? ? 3x ? 6, x ? ?1
4

由图象可得:当 x ? 2时f ?x?min ? 6

四、典型题型 1、解关于 x 的不等式 x ? 3x ? 8 ? 10
2

解:原不等式等价于 ? 10 ? x 2 ? 3x ? 8 ? 10 ,
? x 2 ? 3x ? 8 ? ?10 ? 即? 2 x ? 3 x ? 8 ? 10 ?
? x ? ?1或x ? ?2 ?? 6 ? x ? 3 ?

∴ 原不等式的解集为 (?6,?2) ? (?1,3) 1 ?2 2、解关于 x 的不等式 2x ? 3
?2 x ? 3 ? 0 ? 解:原不等式等价于 ? 1? 2 x ? 3 ? ? ? 2
3、解关于 x 的不等式 2 x ? 1 ? x ? 2

3 ? x ? ? 2 ?5 7 ? ?x? ?4 4

解:原不等式可化为 (2 x ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 ∴ (2 x ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 ? 0 即 ( x ? 3)(3x ? 1) ? 0

1 解得: ? ? x ? 3 3 1 ∴ 原不等式的解集为 (? ,3) 3
4、解关于 x 的不等式 2 x ? 1 ? 2m ? 1 (m ? R)

1 解:⑴ 当 2m ? 1 ? 0 时,即 m ? ,因 2 x ? 1 ? 0 ,故原不等式的解集是空 2 集。 1 ⑵ 当 2m ? 1 ? 0 时,即 m ? ,原不等式等价于 2 ? (2m ? 1) ? 2x ? 1 ? 2m ? 1 解得:1 ? m ? x ? m 1 1 综上,当 m ? 时,原不等式解集为空集;当 m ? 时,不等式解集为 2 2 ?x1 ? m ? x ? m?
5

5、解关于 x 的不等式 2 x ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1

x ? ?3 解:当 x ? ?3 时,得 ? ?? (2 x ? 1) ? x ? ?( x ? 3) ? 1 ,无解 ? 1 ? 1 3 1 ?? 3 ? x ? 当 ? 3 ? x ? ,得 ? ,解得: ? ? x ? 2 2 4 2 ? ? ( 2 x ? 1 ) ? x ? x ? 3 ?1 ? 1 ? 1 1 ?x ? 当 x ? 时,得 ? ,解得: x ? 2 2 2 ? ?2 x ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1 3 1 综上所述,原不等式的解集为 ( ? , ) 4 2 6、解关于 x 的不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 (答案: (??,?3] ? [2,??) ) 解:

五、巩固练习 1、设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 3, 则f (?2) =
是 . 2、已知 a ? R ,若关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 是 3、不等式 .

;若 f ( x) ? 2 ,则 x 的取值范围

1 ? a ? 0 有实根,则 a 的取值范围 4

x ?1 ? 1 的实数解为 x?2



4、解下列不等式 ⑴

4x ? 3 ? 2x ?1 ; ⑵ | x ? 2 |?| x ? 1| ; ⑶ | 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 4 ;


⑷ 4 ?| 2 x ? 3 |? 7 ;

x ?1 ? 4 ? 2;

⑹ x ? a ? a(a?R )
2

5、若不等式 ax ? 2 ? 6 的解集为 ? ?1, 2? ,则实数 a 等于 (
6



A. 8

B. 2

6、若 x ? R ,则 ?1 ? x ? ?1 ? x ? ? 0 的解集是(

C. ? 4

D. ?8



A. ? x 0 ? x ? 1? B. {x x ? 0 且 x ? ?1} C. ? x ? 1 ? x ? 1? D. {x x ? 1 且 x ? ?1}

7、 ?1? 对任意实数 x , | x ? 1| ? | x ? 2 |? a 恒成立,则 a 的取值范围是

; ; ;

? 2 ? 对任意实数 x , | x ?1| ? | x ? 3|? a 恒成立,则 a 的取值范围是 ? 3? 若关于 x 的不等式 | x ? 4 | ? | x ? 3 |? a 的解集不是空集,则 a 的取值范围是
8、不等式 x ? 10 ? 3x 的解集为(
2


C.

A.

?x | 2 ? x ?

10

?

B.

?x | ?2 ? x ? 5?

?x | 2 ? x ? 5?

D.

?x |

10 ? x ? 5

?


9、解不等式: x ? 1 ? 2 ? x ? 2

x?2 x?2 ? 2 的解集为 2 x ? 3x x ? 3x 12、不等式 x (1 ? 2 x) ? 0 的解集是( ) 1 1 A. ( ??, ) B. (??,0) ? (0, ) 2 2
10、方程 11、不等式 3 ? 5 ? 2x ? 9 的解集是
A. ? ??, ?2?

,不等式

x x ? 的解集是 2?x 2?x

C. ( C. ? ?2,1?

1 ,??) 2

D.

1 (0, ) 2

D. ? ?2,1? ? 4,7 ? ?4,7? 12、 已知不等式 x ? 2 ? a (a ? 0) 的解集为 ?x ? R | ?1 ? x ? c?,求 a ? 2c 的值

?7, ???

B. ?1, 4?

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

13、解关于 x 的不等式:①解关于 x 的不等式 mx ? 1 ? 3 ;② 2x ? 3 ? 1 ? a (a ? R) 14、不等式 1 ?| x ? 1|? 3 的解集为( ).

(?4, ?2) (0, 2) 2 15、 设集合 A ? ? x x ? 2 ? 2, x ? R? , B ? ?y y ? ? x ,?1 ? x ? 2?,则 CR ? A B? 等于 (
A. (0, 2) B. (? 2 , 0 ) D.

( 2C,. ( 4?4,0) )
C. ?0?

)

A.

R

B. ? x x ? R, x ? 0?

D. ?

16、不等式 2x ?1 ? x ? 1的解集是



17、设全集 U ? R ,解关于 x 的不等式: x ?1 ? a ?1 ? 0 ? x ? R?

(参考答案)
1、 6 ;

?



2、

[0,4]

3、 (??,?2) ? (?2,? )

3 2

7

4、⑴ ? x x ? 或x ? 2? ⑷ ?x ? 2 ? x ? ? 或 ⑹ 当 a ? 0 时, x ? 5、C 8、C 6、D 9、 ? x x ?

? ?

1 3

? ? 7 ? ? x ? 5? 2 ?

⑵ ?x x ?

? ?

1? ? 2?


⑶ ? x x ? ? 或x ? 1?

? ?

1 2

? ?

? ?

1 2

?x ? 5 ? x ? ?1或3 ? x ? 7?

?

2a ? x ? 2a ;当 a ? 0 时,不等式的解集为 ?
7、⑴ a ? 3 ; ⑵ a ? 4 ; ⑶ a ? 7 ;

?

?x x ? 2或x ? 0?
11、D

? ?

1 5? a或x ? ? 2 2?

10、 x ? 3 ? x ? 2或x ? 0 ;

?

?

12、 15

2 4 4 2 ? x ? ;当 m ? 0 时, ? x ? ? m m m m a a ? ? ② 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时,不等式的解集为 ? x ? ? x ? ? 1? ; 2 2 ? ? 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时,不等式的解集为 ? ; 14、D 15、B 16、 (0 , 2) 17、当1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,不等式的解集为 ?x x ? a或x ? 2 ? a?; 当1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,不等式的解集为 ?x x ? 1?; 当1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,不等式的解集为 R ;
13、① 当 m ? 0 时, x ? R ;当 m ? 0 时, ?

8


搜索更多“专题一、含绝对值不等式的解法(含答案)”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com