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江苏省宝应县2013届高三数学第一次模拟考试试题苏教版


宝应县 2013 届高三数学第一次学习效果检测试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直 接填在答题卡相应位置上. ........ 1.设集合 A ? x y ? log 2 ( x ? 2) , B ? x x ? 3 x ? 4 ? 0 ,则 A ? B =
2

?

?

?

?

▲ . 开始
输入 x
x ? 3

2. 已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 (1 ? 2i) ? z ? 2i ,则 z =



.

3. 某单位有职工 52 人,现将所有职工按 1、2、3、…、52 随机编号,若采用 系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本,已知 6 号、32 号、45 号职工在 样本中,则样本中还有一个职工的编号是 ▲ . ▲ . .

N

Y
x? x?3

4. 直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 与 l2 : (2 ? m) x ? my ? 1 ? 0 平行,则实数 m ? 5.右图是一个算法流程图,若输入 x 的值为 ? 4, 则输出 y 的值为 ▲

y ? 2 x?1

6.从 0,2,3,4 这四个数字中一次随机取两个数字,若用这两个数字组成 无重复数字的两位数,则所得两位数为偶数的概率是 ▲ .
结束 (第 5 题图)

7. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为 ▲ . 8. 函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
3

)( ? ? 0) 在 [0, 2] 恰好有一个最大值和一个最小值,

则 ? 的取值范围是 ▲ . 9. 已知 tan(? ?

?
3

)??

3 sin ? cos ? ? 1 ,则 = ▲ . 5 3cos 2 ? ? 2sin 2 ?

10. 在等比数列 {an } 中, S n 为其前 n 项和,已知 a5 ? 2S4 ? 3 , a6 ? 2S5 ? 3 , 则

a2011 ? a2013 = a2012





11. 设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列命题: ①若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n ;②若 ? // ? , m ? ? , n // ? ,则 m ? n ; ③若 ? ? ? , m ? ? , n // ? ,则 m // n ;④若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n . 上面命题中,所有真命题的序号为 ▲ .

12. 在菱形 ABCD 中, AB ? 2 3 , ?B ? 则 EF ? AC ? 13. 已知椭圆

??? ???? ?

? ??? ??? ? ? ???? 2? ??? , BC ? 2 BE , DA ? 3DF , 3





x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A , 上顶点为 B , 右焦点为 F .设线段 AB a 2 b2 ???? ???? ??? 2 ? 的中点为 M ,若 2MA ? MF ? BF ? 0 ,则该椭圆离心率的取值范围为 ▲ .
3

14. 若不等式 | ax ? ln x | ? 1 对任意 x ? (0,1] 都成立,则实数 a 取值范围是





1

二、解答题(共 6 道题,计 90 分) 15. (本题满分 14 分) 在 △ ABC 中 , 角 A 、 B 、C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c . 已 知 向 量 m ? ( b, a? 2 c),

??

?? ? ? n ? (cos A ? 2 cos C , cos B) ,且 m ? n .
(1)求

sin C 的值; sin A ?? (2)若 a ? 2, | m |? 3 5 ,求△ABC 的面积 S.

16. (本题满分 14 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°, 且 PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2AB=2. (1)求证:PC⊥ AE ; (2)求证:CE∥平面 PAB; (3)求三棱锥 P-ACE 的体积 V. A B C D E P

2

17. (本题满分 15 分) 以双曲线错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆 记为 C. 椭圆 C 长轴的左、右端点分别为 A、B,点 F 是椭圆 C 的右焦点,点 P 在椭圆 C 上且 位于 x 轴上方, PA ? PF ? 0 .错误!未找到引用源。 (1)求椭圆 C 的的方程; (2)求点 P 的坐标; (3)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,点 M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值.

??? ??? ? ?

18. (本题满分 15 分) 如图所示的镀锌铁皮材料 ABCD,上沿 DC 为圆弧,其圆心为 A,圆半径为 2 米. AD⊥AB, BC⊥AB,且 BC=1 米。现要用这块材料裁一个矩形 PEAF(其中 P 在圆弧 DC 上、E 在线段 AB 上,F 在线段 AD 上)做圆柱的侧面,若以 PE 为母线,问: 如何裁剪可使圆柱的体积最大? 其最大值是多少?
D F P C

A

E

B

3

19. (本题满分 16 分)

1 3 1 2 x ? ax ? bx ? c ,其中 a, b, c ? R . 3 2 ①若 a ? 1 , b ? ?2 ,求 f (x) 的单调递减区间;
已知函数 f ( x) ? ②若 f (x) 在区间 [?1,1) 、 (1,3] 内各有一个极值点,且 f (?1) ? 0 恒成立,求 c 的取值范围; ③对于给定的实数 a 、 b 、 c ,函数 f ( x) 图象上两点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 ) 处的切线分别为 l1 , l2 .若直线 l1 与 l 2 平行,证明:A、B 关于某定点对称,并求出该定点.

20. (本题满分 16 分)

* 在数列 ?an ? 中,a1 ? 1 , 且对任意的 k ? N ,a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成等比数列, 且公比为 qk .

* (1)若 qk ? 2 ( k ? N ) ,求 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 k ?1 ;

(2)若对任意的 k ? N , a2 k , a2 k ?1 , a2 k ?2 成等差数列,其公差为 d k ,设 bk ?
*

1 . qk ? 1

① 求证:数列 ?bk ? 是等差数列,并求出其公差; ② 若 d1 ? 2 ,试求数列 ?d k ? 的前 k 项和 Dk .

答案 一、填空题(每题 5 分,计 70 分) 1. 6.

? x | x ? ?1?
7 ; 9

2.

4 2 ? i; 5 5 3 ?; 7. 3

3、19 8. [

4.

4 ; 3
9.

5. 1; 10.

7? 13? , ) 12 12

11. ② ④

12. ?15

13. (0, 3 ? 1]

2 3?7 6 2 e 14. a ? 3

10 3

二、解答题(共 6 道题,计 90 分) 15. (本题满分 14 分)

4

16. (本题满分 14 分) 解: (1)在 Rt△ABC 中,AB=1,∠BAC=60°, ∴BC= 3 ,AC=2.取 PC 中点 F ,连 AF , PF , ∵PA=AC=2,∴PC⊥ AF . ………2 分 ∵PA⊥平面 ABCD, CD ? 平面 ABCD, ∴PA⊥ CD ,又∠ACD=90°,即 CD ? AC , ∴ CD ? 平面PAC ,∴ CD ? PC , ∴ EF ? PC . ∴ PC ? 平面AEF .………5 分

A P

M F E C B D
输出

y

∴PC⊥ AE . ………6 分 (2)证法一:取 AD 中点 M,连 EM,CM.则 EM∥PA. ∵EM ? 平面 PAB,PA ? 平面 PAB, ∴EM∥平面 PAB. …………………8 分 在 Rt△ACD 中,∠CAD=60°,AC=AM=2,∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°, ∴MC∥AB. ∵MC ? 平面 PAB,AB ? 平面 PAB, ∴MC∥平面 PAB. ∵EM∩MC=M, ∴平面 EMC∥平面 PAB.……………10 分 ∵EC ? 平面 EMC,∴EC∥平面 PAB. …………………11 分 证法二:延长 DC、AB,设它们交于点 N,连 PN. ∵∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD,∴C 为 ND 的中点. …………………8 分 ∵E 为 PD 中点,∴EC∥PN. …………………10 分 ∵EC ? 平面 PAB,PN ? 平面 PAB,∴EC∥平面 PAB. …………………11 分 (3)由(1)知 AC=2, EF ?

1 CD, 且EF ? 平面PAC . 2

5

在 Rt△ACD 中,AC=2,∠CAD=60°,∴CD=2 3 ,得 EF ? 3 .…………13 分
1 1 2 则 V= VE ? PAC ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? …………………14 分 3. 3 2 3 17. (本题满分 15 分) 解(1)已知双曲线实半轴 a1=4,虚半轴 b1=2 错误!未找到引用源。 ,半焦距 c1=错误!未找

到引用源。 , ∴椭圆的长半轴 a2=c1=6,椭圆的半焦距 c2=a1=4, ……………2 分 椭圆的短半轴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 , ∴所求的椭圆方程为错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ………4 分 (2)由已知错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 ,设点 P 的坐标为错误!未找 到引用源。 ,则 错误!未找到引用源。 由已知得 错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 , 解之得错误!未找到引用源。 , 分 由于 y ? 0 ,所以只能取错误!未找到引用源。 ,于是错误!未找到引用源。 ,所以点 P 的 坐标为错误!未找到引用源。 …………………9 分 (3)直线错误!未找到引用源。 ,设点 M 是错误!未找到引用源。 ,则点 M 到直线 AP 的 距离是错误!未找到引用源。 ,于是错误!未找到引用源。 , 又∵点 M 在椭圆的长轴上,即 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ………11 分 ∴当错误!未找到引用源。时,椭圆上的点到错误!未找到引用源。的距离 错误!未找到引用源。 ………………13 分 又错误!未找到引用源。 ∴当错误!未找到引用源。时, d 取最小值错误!未找到引 用源。 ………………15 分 18. (本题满分 15 分) 解法 1:分别以 AB、AD 所在直线为 x 轴、 y 轴建立直角坐标系 xoy ,则圆弧 DC 的方程为: ………………7

x 2 ? y 2 ? 4(0 ? x ? 3, y ? 0) ,设 P( x, y)(0? x ?

3),圆柱半径为 r ,体积为 V ,则
y D F P C

PE ? 4 ? x2 , 2? r ? AE ? x , r ?

x , 2?

…………………3 分

x 2 1 2 ∴V ? ? r l ? ? ( ) 4 ? x2 = x 4 ? x2 , 2? 4? 1 V2 ? x 4 (4 ? x 2 ) , …………………6 分 16? 2 2 2 设 t ? x ? (0,3] , u ? t (4 ? t ) ,
2

A (O)

E

B

x

8 8 u ' ? ?3t 2 ? 8t ? ?3t (t ? ) ,令 u ' ? 0 ,得 t ? , …………………10 分 3 3

6

8 8 ? t ? 3 时, u ' ? 0 , u 是减函数;当 0 ? t ? 时, u ' ? 0 , u 是增函数, 3 3 8 ∴当 t ? 时, u 有极大值,也是最大值, 3


4 3 3 2 2 米 ,此时 y ? 4 ? x 2 ? 6 米时, V 有最大值 3 米,………14 分 9? 3 3 2 2 答:裁一个矩形,两边长分别为 6m 和 3m ,能使圆柱的体积最大,其最大值为 3 3
∴当 x ?

4 3 3 m 。 9?

…………………15 分

解法 2:设 ?PAB ? ? (? ? ? , ? ,则 PE ? 2sin ? , AE ? 2cos? , ?6 2 ? 由 2? r ? AE ? 2cos? ,得 r ? ∴ V ? ? r ? PE ? ? (
2

?? ? ?

cos ?

?



cos ?

?

)2 ? 2sin ? ?
2

2

?

(1 ? sin 2 ? )sin ? , …………………6 分
2

设 sin ? ? t ? ? ,1? , u ? t (1 ? t ) , u ' ? ?3t ? 1 ? ?3(t ? 令 u ' ? 0 ,得 t ? 当

?1 ? ?2 ?

3 3 )(t ? ), 3 3

3 , 3

3 1 3 ? t ? 1 时, u ' ? 0 , u 是减函数;当 ? t ? 时, u ' ? 0 , u 是增函数, 3 2 3 3 时, u 有极大值,也是最大值。…………………10 分 3

∴当 t ?

以下略。 …………………14 分 答:裁一个矩形,两边长分别为

2 2 6m 和 3m ,能使圆柱的体积最大,其最大值为 3 3

4 3 3 m 。 9?

…………………15 分

19. (本题满分 16 分) 解: (1)当 a ? 1 , b ? ?2 时, f ( x) ? x ? x ? 2 ? 0 ,解得 ? 2 ? x ? 1 ,
/ 2

故递减区间为 (?2,1) .
/ 2

………………3 分

(2) f ( x) ? x ? ax ? b ,又 f (x) 区间 [?1,1) , (1,3] 内各有一个极值点,

? f / (?1) ? 0 ?1 ? a ? b ? 0 ? / ? 所以 ? f (1) ? 0 ,即 ?1 ? a ? b ? 0 , ………………6 分 ?9 ? 3a ? b ? 0 ? / ? ? f (3) ? 0
其中点 (a, b) 是以 A(0,?1) , B(?2,?3) , C (?4,3) 为顶点的三角形内部的点,或线段 BC(不 含点 C) 、线段 AB(不含点 A)上的点. ………………8 分

7

1 1 1 1 1 1 f (?1) ? ? ? a ? b ? c ? 0 ,即 c ? ? a ? b 恒成立,即求 ? a ? b 的最小值,由 3 2 3 2 3 2 1 1 5 5 图知最小值在 B(?2,?3) 点处取,故 ( ? a ? b) min ? ? ,即 c ? ? . 3 3 2 3
………………10 分 (3)因为 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? bx ? c , 3 2 2 所以 f ?( x) ? x ? ax ? b ,所以 l1 , l 2 的斜率分别为:

k1 ? x12 ? ax1 ? b , k1 ? x2 2 ? ax2 ? b .
又直线 l1 与 l 2 平行,所以 k1 因为 x1
2 ? k2 ,即 x1 ? ax1 ? b ? x2 2 ? ax2 ? b ,

? x2 ,所以 x1 ? x2 ? ?a , 从而 x2 ? ?(a ? x1 ) ,

1 3 1 2 1 1 x1 ? ax1 ? bx1 ? c ? (a ? x1 )3 ? a(a ? x1 )2 ? b(a ? x1 ) ? c 3 2 3 2 3 a a ………………14 分 ? ? ab ? 2c ? 2 f (? ) . 6 2 a a 又由上 x1 ? x2 ? ?a ,所以点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 )关于点 (? , f (? )) 2 2 a a 对称.故当直线 l1 与 l 2 平行时,点 A 与点 B 关于点 (? , f (? )) 对称. 2 2 3 a a ab 注:对称点也可写成 (? , ………………16 分 ? ? c) . 2 12 2
所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 20. (本题满分 16 分) 解: (1)∵ qk ? 2 ,∴

a2 k ?1 ? 4, a2 k ?1
…………………2 分

故 a1 , a3 , a5 ,?, a2 k ?1 是首项为 1,公比为 4 的等比数列, ∴ a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 k ?1 ?

1 ? 4k 1 k ? (4 ? 1) …………………4 分 1? 4 3 (2)① ∵ a2 k , a2 k ?1 , a2 k ?2 成等差数列, ∴ 2a2 k ?1 ? a2 k ? a2 k ?2 a 而 a2 k ? 2 k ?1 , a2 k ?2 ? a2 k ?1 ? qk ?1 , …………………6 分 qk 1 q ?1 ? qk ?1 ? 2 ,则 qk ?1 ? 1 ? k . ∴ …………………8 分 qk qk 1 q 1 1 1 ? k ? ? 1. 即: ? ? 1. 也就是 bk ?1 ? bk ? 1 所以, qk ?1 ? 1 qk ? 1 qk ? 1 qk ?1 ? 1 qk ? 1
∴数列 ?bk ? 是等差数列,其公差为 1. …………………10 分
2

② 因为 d1 ? 2 ,所以 a3 ? a2 ? 2, 又 a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? 2, 解得 a2 ? 2 或 a2 ? ?1 情形一:当 a2 ? 2 时, q1 ? 2 ,所以 b1 ? 1, ∴ bk ? 1 ? (k ? 1) ?1 ? k , 即

1 k ?1 ? k ,∴ qk ? qk ? 1 k
8

所以, a2 k ?1 ? ∴ a2 k ?

a2 k ?1 a2 k ?1 a (k ? 1) 2 k2 22 ? ? ? 3 ? a1 ? ? ? ? ? 2 ?12 ? (k ? 1) 2 a2 k ?1 a2 k ?3 a1 k2 (k ? 1) 2 1
∴ d k ? a2 k ?1 ? a2 k ? k ? 1 …………………12 分

a2 k ?1 ? k (k ? 1) , qk

故 Dk ? 2 ? 3 ? ? ? (k ? 1) ?

k (k ? 3) 2
1 2

…………………13 分

情形二:当 a2 ? ?1 时, q1 ? ?1 ,所以 b1 ? ?

1 k? 1 3 1 3 2 ∴ bk ? ? ? (k ? 1) ?1 ? k ? , 即 ? k ? ,∴ qk ? 3 qk ? 1 2 2 2 k? 2 a2 k ?1 a2 k ?1 a3 1 2 类似地,可求得 a2 k ?1 ? ? ?? ? a1 ? 4(k ? ) a2 k ?1 a2 k ?3 a1 2 a ∴ a2 k ? 2 k ?1 ? (2k ? 1)(2k ? 3) , ∴ d k ? a2 k ?1 ? a2 k ? 4k ? 2 ,…………………14 分 qk
从而 Dk ? 2k
2

…………………15 分

综上所述, Dk ?

k (k ? 3) 2 或 Dk ? 2k 2

…………………16 分

9


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