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2015-2016学年高中数学 3.2简单的三角恒等变换课件 新人教A版必修4


第三章
三角恒等变换

3.2 简单的三角恒等变换 预习篇 提高篇

课堂篇

巩固篇

课时作业

学习目标
1.记住三角恒等变换常用公式. 2.能够利用三角函数公式进行简单的三角函数式的化 简、求值和证明.

重点难点

重点:三角恒等变换常用公式; 难点:三角恒等变换的化简与求值.

预习篇01
新知导学

降幂公式与半角公式

1.半角公式中“± ”号如何选取? α 答:符号由2所在象限决定.

2.半角公式有哪些应用? 答:(1)半角公式的变形较多,应用时要针对题目的条 件选择适当的公式.例如,待求式中同时含有sinα,cosα, 1-cosα α α sinα tan 时,应选择公式tan = = ;含有三角函 2 2 1+cosα sinα 数的平方形式时,一般选择降幂公式;含有根式的三角函 数式常常需要升幂去根号. (2)角的和、差、倍、半都是相对的.例如,2α是α的倍 角,但2α同时又可看成4α的半角,还可看成(α+β)与(α-β) 的和角等.

化一公式(辅助角公式)

asinα+bcosα a b = a +b (sinα· 2 2+cosα· 2 2) a +b a +b
2 2

= a2+b2sin(α+φ). a b (其中令cosφ= 2 2,sinφ= 2 2) a +b a +b

3.如何求φ? 答:可以由sinφ和cosφ的符号来确定φ所在的象限,由 sinφ或cosφ的值确定角φ的大小.

4.常用的辅助角公式有哪些? 答:常用的辅助角公式有: π sinα± cosα= 2sin(α± ), 4 π sinα± 3cosα=2sin(α± 3), π cosα± 3sinα=2sin(6± α).

三角恒等变换的常用方法 (1)变角(式子中所含角的变换) 通过观察不同三角函数式所包含的角的差异,借助 “拆凑角”(如用特殊角表示一般角,用已知角表示所求角 等)“消角”(如异角化同角,复角化单角等)来消除角与角 之间的差异,减少角的个数.

(2)变名(式子中不同函数之间的变换) 通过观察角的三角函数种类的差异,借助“切化 弦”“弦切互化”等进行函数名称的变换. (3)变式(式子的结构形式的变换) 通过观察不同的三角函数结构形式的差异,借助以下 几种途径进行变换: π ①常值代换.例如,1=sin θ+cos θ=tan4.
2 2

1 ②变用公式.例如,sinαcosα= 2 sin2α,tanA+tanB= tan(A+B)(1-tanAtanB). ③升降幂公式. 例如,1+cosα=2cos 2 ,1-cosα=2sin 2 以及cos2α= 1+cos2α 1-cos2α 2 ,sin α= . 2 2
2α 2α

④配方与平方. θ θ2 例如:1+sinθ=(sin2+cos2) . ⑤辅助角公式.asinθ+bcosθ= a2+b2sin(θ+φ). b a 其中,sinφ= 2 2,cosφ= 2 2. a +b a +b

课堂篇02
合作探究

半角公式的应用

【例1】

8 3 α 已知sinα=- 17 ,π<α< 2 π,求sin 2 ,

α α cos ,tan 的值. 2 2

【解】

8 3 15 ∵sinα=-17,π<α<2π,∴cosα=-17.

π α 3 又2<2<4π, α ∴sin2= α cos2=- 1-cosα 2 = 1+cosα 2 =- 15 1+ 17 4 17 2 = 17 . 15 1-17 17 2 =- 17 ,

α tan2= α=-4. cos2

α sin2

通法提炼 已知θ的某个三角函数值,求 的三角函数值的步骤

是:?1?利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数 值;?2?代入半角公式计算即可.

3 5π θ θ θ 已知|cosθ|= ,且 <θ<3π,求sin ,cos ,tan 的值. 5 2 2 2 2

【解】

3 5π ∵|cosθ|=5, 2 <θ<3π,

3 5π θ 3π θ ∴cosθ=-5, 4 <2< 2 .由cosθ=1-2sin22, θ 得sin2=- 1-cosθ 2 =-


3 1+ 5 2 5 2 =- 5 .

又cosθ=2cos 2-1,

θ ∴cos2=- θ ∴tan2= θ sin2

1+cosθ 5 2 =- 5 .

θ=2. cos2

三角恒等变换的综合应用

【例2】 2cos
2ωx

π π 已知函数f(x)=sin(ωx+ )+sin(ωx- )- 6 6

2

,x∈R(其中ω>0).

(1)求函数f(x)的值域; (2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交 π 点间的距离为2,求函数y=f(x)的单调增区间.

【分析】

利用三角恒等变换将所给函数变形.

【解】 -(cosωx+1)

3 1 3 1 (1)f(x)= 2 sinωx+2 cosωx+ 2 sinωx-2 cosωx

3 1 π =2( 2 sinωx-2cosωx)-1=2sin(ωx-6)-1. π 由-1≤sin(ωx-6)≤1,得 π -3≤2sin(ωx- )-1≤1, 6 可知函数f(x)的值域为[-3,1].

(2)由题设条件及三角函数图象和性质,可知y=f(x)的 2π 最小正周期为π,又由ω>0,得 ω =π,即得ω=2. π 于是有f(x)=2sin(2x- )-1. 6 π π π 再由2kπ-2≤2x-6≤2kπ+2(k∈Z),解得 π π kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 6 3 所以y=f(x)的单调增区间为 π π [kπ-6,kπ+3](k∈Z).

通法提炼 解决关于三角函数的综合应用题,首先运用三角恒等 变换将函数化成一个角的三角函数式,而后结合三角函数 的图象与性质,进一步求周期、最值、单调性、奇偶性、 对称性或图象的平移、伸缩变换等.解决此类问题的关键在 于灵活地选取公式进行三角变换,化成一个角的三角函数.

已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x, (1)求f(x)的最小正周期; π (2)若x∈[0, ],求f(x)的最大、最小值. 2

解:(1)f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x =(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x π =cos2x-sin2x= 2cos(2x+ ), 4 2π 所以f(x)的最小正周期T= 2 =π. π π π 5π (2)因为x∈[0,2],所以2x+4∈[4, 4 ]. π π π 2 当2x+4=4时,cos(2x+4)取得最大值 2 ,

π π 当2x+4=π时,cos(2x+4)取得最小值-1. π 所以f(x)在[0,2]上的最大值为1,最小值为- 2.

三角函数在实际中的应用

【例3】

有一块以O为圆心的半圆形空地,要在

这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地,使其 一边AD落在半圆的直径上,另外两点B,C落在半圆的 圆周上,已知半圆的半径长为a,如何选择关于点O对 称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大?

【分析】

在△AOB中利用∠AOB表示OA,AB的长

→ 表示矩形面积:2OA· AB → 得到面积与角间的函数关系 → 通过求函数的最值得到面积的最值

【解】

π 画出图象如图所示,设∠AOB=θ(θ∈(0,2)), 则AB=asinθ,OA=acosθ. 设矩形ABCD的面积为S,则S=2OA· AB,即S= 2acosθ· asinθ=a2· 2sinθcosθ=a2sin2θ.

π π π ∵θ∈(0, ),∴2θ∈(0,π),当 2θ= ,即 θ= 时,Smax 2 2 4 2 =a ,此时,A,D 距离 O 点都为 a. 2
2

通法提炼 解决实际问题应首先设定主变量角α以及相关的常量与 变量,建立含有角α的三角函数关系式,再利用三角函数的 变换、性质等进行求解.求三角函数最值的问题,一般需利 用三角函数的有界性来解决.

π 如图所示,已知OPQ是半径为1,圆心角为 的扇形, 3 四边形ABCD是扇形的内接矩形,B,C两点在圆弧上,OE 是∠POQ的平分线,E在 上,连接OC,记∠COE=α,则

角α为何值时矩形ABCD面积最大?并求最大面积.

分析:首先明确S矩形ABCD=AB· BC,其次将AB,BC统一 用角α表示出来.

解:如图所示,设OE交AD于M,交BC于N,显然矩形 ABCD关于OE对称,而M,N均为AD,BC的中点,在Rt△ ONC中,CN=sinα ,ON=cosα,

DM OM= π= 3DM= 3CN= 3sinα, tan6 ∴MN=ON-OM=cosα- 3sinα, 即AB=cosα- 3sinα, 而BC=2CN=2sinα, 故S矩形ABCD=AB· BC=(cosα- 3sinα)· 2sinα =2sinαcosα-2 3sin2α =sin2α- 3(1-cos2α)

=sin2α+ 3cos2α- 3 1 3 =2(2sin2α+ 2 cos2α)- 3 π =2sin(2α+3)- 3. π π π π 2π ∵0<α<6,∴0<2α<3,3<2α+3< 3 . π π π 故当2α+ = ,即α= 时,S矩形ABCD取得最大值,此 3 2 12 时S矩形ABCD=2- 3.

提高篇03
自我超越

——易错警示系列—— 三角公式运用不熟练致使计算出现问题 【例】 当函数y=sinx+ 3 cosx,x∈R取最大值时,

求自变量x的取值集合S.

1 3 【错解】 y=sinx+ 3cosx=2(2sinx+ 2 cosx) π π =2(sinxcos6+cosxsin6) π =2sin(x+6). π π 则y取最大值2时,有x+6=2+2kπ(k∈Z), π 则x=3+2kπ(k∈Z). π 即S={x|x=3+2kπ,k∈Z}.

【错解分析】

π π π 令k=0,则x= 3 +2kπ= 3 ,则f( 3 )=

π π 3 3 sin 3 + 3cos 3 = 2 + 2 = 3 ≠2.其原因是化简函数解析式 π 1 π 3 没有保持恒等变形,错认为cos = ,sin = . 6 2 6 2

1 3 【正解】 y=sinx+ 3cosx=2(2sinx+ 2 cosx) π π =2(sinxcos3+cosxsin3) π =2sin(x+3),则y取最大值2时, π π 有x+3=2+2kπ(k∈Z), π 则x=6+2kπ(k∈Z). π 即S={x|x=6+2kπ,k∈Z}.

已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx. (1)将f(x)化为Asin(ωx+φ)的形式(A>0,ω>0); (2)求f(x)的最小正周期; π π (3)求f(x)在区间[- , ]上的最大值和最小值. 6 2

解:(1)f(x)=2sin(π-x)cosx =2sinxcosx=sin2x. 2π (2)由(1)知函数f(x)的最小正周期为T= =π. 2 π π π (3)由-6≤x≤2,得-3≤2x≤π, 3 所以- 2 ≤sin2x≤1, 3 即f(x)的最大值为1,最小值为- . 2


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