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【广东专用】2012高三数学理《夺冠之路》一轮复习课件第9章第6节__几何体的证明与求解_图文


是棱AB、BC的中点,则点C1到平面B1 EF的距离是 ? D ? 2 3 A. 3 2 2 B. 3 2 C. 3 4 D. 3

1.   在棱长为2的正方体ABCD ? A1 B1C1D1中,点E、F 分别

解析:设C1到平面B1 EF的距离为h. 由VC1 ? EFB1 ? VE ? B1C1 F ,且S ?B1EF h 3 2 4 则 ? ? ,得h ? ,故选D. 3 2 3 3 3 ? ,S ?B1C1F ? 2, 2

  2.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为 " 等腰四棱锥 ", 四条侧棱称为它的腰.以下四个命题中为假命题的是 ? B ? A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

3.正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ? C A. 1 ∶3 B1 . ∶ 3 C1 . ∶ 3 3 D1 . ∶ 9

?

  4.若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为3, 4,5, 从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动 74   到另一个端点,其最短路程是 .

5.定义向量运算 "? ":a ? b的结果为一个向量,其模为 a b sin a,b ,且a ? b与向量a,b均垂直.则下图平行 六面体ABCD ? A1 B1C1 D1的体积用AB,AD,AA1表示为
| AA1 ( AB ? AD) | 或 | AB ( AD ? AA1 ) | 或 | AD ( AB ? AA1) | .

(用运算符号 "? " 及数量积 " " 表示)

空间角和距离的综合应用

例1:如图所示,AF、DE分别是 AB ? AC ? 6,OE //AD.

O、 O1的直径.AD与 O的直径,

两圆所在的平面均垂直,AD ? 8.BC是

?1? 求二面角B ? AD ? F的大小; ? 2 ? 求直线BD与EF 所成角的余弦值.

解析: ?1?因为AD与两圆所在的平面均垂直, 所以AD ? AB,AD ? AF, 故?BAF 是二面角B ? AD ? F的平面角. 因为BC是圆O的直径,AB ? AC,所以AO ? BC. 又AF 是圆O的直径,所以四边形ABFC是正方形, 所以?BAF ? 45?,即二面角B ? AD ? F的大小为45?.

? 2 ?以O为原点,以CB所在直线为x轴,
以AF 所在直线为y轴,以OE所在直线 为z轴,建立如图所示空间直角坐标 系O ? xyz. 依题意,有O ? 0, 0, 0 ? ,A(0, ? 3 2, 0),B(3 2, 0, 0), D(0, ? 3 2, 8),E ? 0, 0,8 ? ,F (0,3 2,. 0)

所以, BD ? (?3 2, ? 3 2, 8), FE ? (0, ? 3 2,, 8) BD EF 所以cos〈BD, EF〉 ? | BD || EF | 0 ? 18 ? 64 82 ? ?? . 10 100 ? 82 设异面直线BD与EF 所成的角为?, 82 则cos? ?| cos〈BD, EF〉 |? . 10 82 故异面直线BD与EF 所成角的余弦值为 . 10

反思小结:空间中出现圆的时候,要充分利用好圆的 平面几何性质,如同弧或等弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半,圆的直径所对的圆周角是直角,圆 的特征三角形等等.

拓展练习1:如图,在长方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,AD ? AA1 ? 1, AB ? 2,点E在棱AB上移动.

?1? 证明:D1E ? A1D; ? 2 ?当E为AB的中点时,求点E到平面ACD1的距离; ? 3? AE等于何值时,二面角D1 ? EC ? D的大小为
?
4 ?

解析:以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴, 建立空间直角坐标系.

设AE ? x,则A1 ?1, 0,1? ,D1 ? 0, 0,1? ,E (1,x, 0),A ?1, 0, 0 ? , C ? 0, 2, 0 ?.

?1? 证明:因为DA1
所以DA1 ? D1 E.

D1 E ? ?1, 0,1? (1,x, ? 1) ? 0,

? 2 ?因为E为AB的中点,则E ?1,1, 0 ?, 从而 D1 E ? (1,1,? 1),AC ? ? ?1, 2, 0 ? ,AD1 ? ? ?1, 0,1?.
设平面ACD1的法向量为n ? (a,b,c), ? ??a ? 2b ? 0 ?n AC ? 0 则? ,即 ? , ??a ? c ? 0 ? ?n AD1 ? 0 ?a ? 2b 得? ,从而n ? ? 2,1, 2 ?. ?a ? c 所以点E到平面ACD1的距离为 | D1 E n | 2 ? 1 ? 2 1 h? ? ? . n 3 3

? 3? 设平面D1EC的法向量n ? (a?,b?,c?).
因为CE ? (1,x ? 2, 0), D1C ? (0, 2, ? 1), DD1 ? ? 0, 0,1?, ? ?n D1C ? 0 ?2b ? c ? 0 所以由 ? ?? . ?a ? b? x ? 2? ? 0 ? ?n CE ? 0 令b? ? 1,所以c? ? 2,a? ? 2 ? x,所以n ? ? 2 ? x,1, 2 ?. | n DD1 | 2 2 2 依题意,cos ? ? ,即 ? , 4 | n | | DD1 | 2 2 ? x ? 2 ?2 ? 5 所以x1 ? 2 ? 3(不合,舍去),x2 ? 2 ? 3. 所以,当AE ? 2 ? 3时,二面角D1 ? EC ? D的大小为 . 4

?

?

利用空间向量处理存在性的问题

例2: (2009 浙江卷)如图,平面PAC ? 平面ABC, ?ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F ,O分别 为PA,PB,AC的中点,AC ? 16,PA ? PC ? 10.

?1? 设G是OC的中点,证明:FG //平面BOE; ? 2 ? 证明:在?ABO内存在一点M ,使FM ? 平面BOE,
并求点M 到OA,OB的距离.

解析:方法1: ?1? 证明:如图,连接OP,以点O为坐标 原点,分别以OB,OC ,OP所在直线为x轴,y轴,z轴建立 空间直角坐标系O ? xyz.

则O ? 0, 0, 0 ? ,A(0, ? 8, 0),B ? 8, 0, 0 ? ,C ? 0,8, 0 ? ,P ? 0, 0, 6 ? , E (0,? 4,3), F ? 4, 0,3? .由题意,得G ? 0, 4, 0 ?.

因为OB ? ? 8, 0, 0 ? , OE ? (0, ? 4,3), 所以平面BOE的法向量n ? ? 0,3, 4 ?. 由FG ? (?4, 4, ? 3),得n FG ? 0. 又直线FG ? 平面BOE,所以FG //平面BOE.

? 2 ? 设点M的坐标为( x0 ,y0 , 0),则FM ? ( x0 ? 4,y0 ,? 3).
因为FM ? 平面BOE,所以FM //n. 9 9 因此x0 ? 4,y0 ? ? ,即点M 的坐标是(4, ? ,. 0) 4 4

在平面直角坐标系xOy中,?AOB的内部区域可表示为 ?x ? 0 ? 不等式组 ? y ? 0 . ?x ? y ? 8 ? 经检验,点M 的坐标满足上述不等式组. 所以,在?AOB内存在一点M ,使FM ? 平面BOE. 9 由点M 的坐标,得点M 到OA,OB的距离分别为4, . 4

方法2: ?1? 证明:如图,取PE的中点H,连接HG,HF . 因为点E,O,G,H,F 分别是PA,AC,OC,PE,PB 的中点,所以HG //OE,HF //EB, 因此,平面FGH //平面BOE. 因为FG在平面FGH内,所以FG //平面BOE.

? 2 ? 在平面OAP内,过点P作PN ? OE,交OA于点N ,
交OE于点Q.连接BN ,过点F 作FM //PN ,交BN 于点M .

以下证明FM ? 平面BOE. 由题意,得OB ? 平面PAC,所以OB ? PN . 又因为PN ? OE,所以PN ? 平面BOE. 因此FM ? 平面BOE.

1 24 在Rt?OAP中,OE ? PA ? 5,PQ ? , 2 5 PQ 4 9 cos?NPO ? ? ,ON ? OP tan?NPO ? <OA, OP 5 2 所以点N 在线段OA上. 因为F 是PB的中点,所以M 是BN的中点. 因此点M 在?AOB内,点M 到OA,OB的距离分别 1 1 9 为 OB ? 4, ON ? . 2 2 4

反思小结:空间中的存在性问题的分析方法:一是 传统法,则需要先猜想后证明,对同学们的空间想 象能力要求较高;二是向量法,利用坐标建立方程, 从而转化为代数运算.

拓展练习2:如图,P、O分别是正四棱柱ABCD ? A1B1C1D1 上、下底面的中心,E是AB的中点,AB ? kAA1.

?1? 求证:A1E //平面PBC; ? 2 ?当k ? 2时,求直线PA与平面PBC所成角的正弦值; ? 3?当k 取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为?PBC的重心?

解析:以点O为原点,直线OA、OB、OP所在直线分别 为x、y、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

2 2 2 2 不妨设AB ? 2 2 ,则得A1 (2, 0, )、E ?1,1, 0 ?、P(0, 0, )、 k k B ? 0, 2, 0 ?、C ? ?2, 0, 0 ?.

2 2 ? ), ?1? 证明:由上得 A1E ? (?1,1, k 2 2 BC ? (?2, ? 2, 0), PB ? (0, 2, ? ). k 设 A1 E ? x BC ? y PB, 2 2 2 2 得(?1,1, ? ) ? x ( ?2, ? 2, 0) ? y (0, 2, ? ), k k 1 1 解得x ? ,y ? 1,所以A1 E ? BC ? PB. 2 2 因为BC PB ? B,A1 E ? 平面PBC,所以A1 E //平面PBC.

? 2 ? 当k ?

2时,由P ? 0, 0, 2 ? 、A ? 2, 0, 0 ?,

得 PA ? (2, 0, ? 2), BC ? (?2, ? 2, 0), PB ? (0, 2, ? 2). 设平面PBC的法向量为n ? (1,? ,? ), ? ?1 ? ? ? 0 ?? ? ?1 ?n BC ? 0 则由 ? ,得 ? ,得 ? . ?? ? ? ? 0 ? ? ? ?1 ? ?n PB ? 0 PA n 6 故n ? (1, ? 1, ? 1),则cos PA,n ? ? . 3 | PA | | n | 6 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 . 3

2 2 2 2 ? 3?由?1? 知?PBC的重心G为(? , , ), 3 3 3k 2 2 2 2 则OG ? (? , , ). 3 3 3k 若O在平面PBC内的射影恰好为?PBC的重心, ? ?OG BC ? 0 则有 ? ,解得k ? 2. ? ?OG PB ? 0 所以,当k ? 2时,O在平面PBC内的射影恰好为?PBC 的重心.

几何体的折叠与展开问题

例3:以等腰直角?ABC的斜边上的高CD为棱折成一个 求: ?1? 顶点C到平面AB1D的距离; 60?的二面角,使B到B1的位置,如图所示.已知斜边AB ? 2.

? 2 ? 顶点A到平面CB1D的距离.

解析: ?1?因为CD ? BD,所以CD ? B1D. 又CD ? AD,且B1 D AD ? D,所以CD ? 平面AB1D, 故CD的长为点C到平面AB1 D的距离. 因为AB ? 2,所以CD ? 1. 故顶点C到平面AB1 D的距离为1. 所以平面AB1 D ? 平面CB1 D. 因为AD ? B1 D,?ADB1 ? 60?,所以?AB1 D为正三角形.

? 2 ?因为CD ? 平面AB1D,CD ? 平面CB1D,

设E为B1 D的中点,则AE ? B1 D,所以AE ? 平面CB1 D, 故AE的长为点A到平面CB1 D的距离. 3 又因为?ADB1是边长为1的正三角形,所以AE ? . 2 3 故顶点A到平面CB1 D的距离等于 . 2

反思小结:折叠问题的解题关键在于分析好两种关系, 即翻折前后哪些位置关系和度量关系发生了变化,哪 些没有改变.掌握立体图形与平面图形的相互转化, 可以解决由平面图形按要求折叠成立体图形或展开曲 面将立体几何图形转化为平面图形相关的计算与证明 问题.折叠问题中,抓住位于同一半平面内的图形相 对位置关系和度量关系均不变.

拓展练习3: 如图,在直三棱柱ABC ? A1 B1C1中,底面为 直角三角形,?ACB ? 90?,AC ? 6,BC ? CC1 ? 2, 5  2 . P是BC1上一动点,则CP ? PA1的最小值是  

解析:连接A1 B,沿BC1将?CBC1展开与?A1 BC1在同一个 平面内,如图所示,连接A1C,则A1C的长度就是所求的 最小值.通过计算可得?A1C1 B ? 90?,?BC1C ? 45?, 所以?A1C1C ? 135?,由余弦定理可求得A1C ? 5 2.

类比思想在立体几何中的运用

例4:在平面几何里,有勾股定理:设 " ?ABC的两边AB, AC互相垂直,则AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ."拓展到空间,类比 平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面 面积间的关系,可以得出的正确结论是:设三棱锥 A ? BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直, 则 ________________ .

解析:如图所示,由已知三个侧面ABC、ACD、ABD 两两垂直,易知三条侧棱AB、AC、AD也两两垂直, 则AB ? 平面ACD.过B点作BE ? CD,E为垂足. 由AB ? CD,BE ? CD,AB BE ? B,知CD ? 平面ABE. 又CD ? 平面BCD,因此,平面ABE ? 平面BCD,且两 平面的交线为BE.过A点在平面ABE内作AH ? BE,H 为 垂足,则AH ? 平面BCD.

易知Rt?BAE∽Rt?AHE,所以AE ? HE BE. 1 1 1 2 2 于是 CD AE ? ( CD BE ) ( CD HE ), 4 2 2 2 即S ?ACD ? S? BCD S? HCD .
2

同理可得,S2 ?ABC ? S?HBC S?BCD,S2 ?ABD ? S? HBD S? BCD, 所以S2 ?ACD ? S2 ?ABC ? S2 ?ABD ? S? BCD ( S? HCD ? S? HBC ? S? HBD ) ? S
2 ?BCD

.

反思小结:此题是类比思想的运用,从平面几何拓 展到空间立体几何,可以先猜后证.

S?PA ' B ' PA ' PB ' 拓展练习4: 由图 ?1? 有面积关系: ? , S?PAB PA PB VP ? A ' B 'C ' 则由图 ? 2 ? 有体积关系: ? VP ? ABC
PA ' PB ' PC ' PA PB PC

. 

解析:过B?作平面PA?C ?的垂线B?O?,垂足为O?,过B 作平面PAC的垂线BO,垂足为O,则?BPO ? ?B?PO?. 1 S?PA 'C ' B ' O ' VP ? A ' B 'C ' VB ' ? PA 'C ' 3 ? ? 1 VP ? ABC VB ? PAC S?PAC BO 3 PA ' PC ' PB ' sin B ' PO ' ? PA PC PB ? sin BPO PA ' PB ' PC ' ? . PA PB PC

1.空间中的距离 空间中的距离包括空间两点间的距离、点到直线的 距离、点到平面的距离、两异面直线的距离、平行 直线及平面间的距离.在这些距离中,最核心的知 识是点到平面的距离.求距离的核心思维方法是转化. 求空间距离常见方法:一是作出垂线,构造包含这条 垂线的平面,在平面中通过解三角形来获得垂线段的 长,从而求出距离;二是利用等积转化,即三角形面 积法或三棱锥体积法;三是建立空间直角坐标系,利用 向量的坐标运算和数量积的几何意义求出距离.

2.空间中的角 空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面 所成的角、二面角.在这些角中,最核心的知识是直 线与平面所成的角.求角的大小的核心思维方法也是 转化.求角的大小常见的方法:一是作出角,在平面 中通过解三角形来获得角的大小(异面直线所成角通过 平移构造三角形,直线与平面所成角可以用最小角定 理,二面角可以用面积的比);二是建立空间直角坐标 系,利用向量的坐标运算和数量积的几何意义求出所 求角的余弦值.

1.   (2010 佛山市质量检测)将侧棱相互垂直的三棱锥称 为“直角三棱锥”,三棱锥的侧面和底面分别叫直角三 棱锥的“直角面和斜面”,过三棱锥顶点及斜面任两边 中点的截面均称为斜面的“中面”.已知直角三角形具 有性质: “斜边的中线长等于斜边边长的一半. ”仿照此 性质写出直角三棱锥具有的性质:
直角三棱锥中 ,斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一    ..

  2.(2010 江西卷)如图,在三棱锥O ? ABC中,三条棱OA, OB,OC两两垂直,且OA ? OB ? OC,分别经过三条棱 OA,OB,OC作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积 依次为S1 ,S 2 ,S3 ,则S1 ,S 2 ,S3的大小关系为 S3 ? S2 ? S1  .

解析:特殊化法.令OA ? 6,OB ? 4,OC ? 2,分别取BC, CA,AB边的中点D,E ,F ,则?OAD,?OBE ,?OCF 分别 为满足条件的截面三角形,且它们均为直角三角形, 1 20 1 40 故S1 ? ? 6 ? ? 45,S 2 ? ? 4 ? ? 40, 2 2 2 2 1 52 S3 ? ? 2 ? ? 13,满足S3 ? S 2 ? S1. 2 2

选题感悟:空间距离与空间角是立体几何各种题型 命题的热点,要对空间角与距离的基本几何形态有 清楚的理解,掌握处理空间问题中转化的思维方法, 尤其是掌握向量方法.


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