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1.4.1--1.4.2全称量词与存在量词


全称量词与存在量词

一、 全称量词 下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)x>3; (2)2x+1是整数; (3)对所有的x∈R,x>3; (4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数.

语句(1)(2)不能判断真假,不是命题;
语句(3)(4)可以判断真假,是命题.

(1)与(3)区别是对所有的x∈R,x>3;
(2)与(4)区别是对任意一个x∈Z,2x+1是整数. 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词,并用符号“ ?”表示

含有全称量词的命题,叫做全称命题.
常见的全称量词还有“一切” “每一个” “任给” 等

全称命题举例:
命题:对任意的n∈Z,2n+1是奇数; 所有的正方形都是矩形. 全称命题符号记法: 全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立 ” 可用符号简记为:? x ? M , p ( x ), 读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.

二、判断全称命题真假 (1)要判定全称命题“ ? x∈M,p(x) ”是真命题

需要对集合M中每一个元素x, 证明p(x)成立;
(2)要判定全称命题“ ? x∈M,p(x) ”是假命题

只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不
成立即可

例题解析 例1 判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数都是奇数; 2是素数,但2不是奇数,所以为假命题. ( 2) 真命题. (3)对每一个无理数x,x2也是无理数.
2 =2是有理数.所以为假命题. 2是无理数,但 ( 2)

变式练习 判断下列全称命题的真假:
(1)每个指数函数都是单调函数; 真命题

(2)任何实数都有算术平方根; -4没有算术平方根,所以为假命题;
( 3)

真命题.

三、 存在量词 下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)2x+1=3; (2)x能被2和3整除; (3)存在一个x0∈R,使2x0+1=3; (4)至少有一个x0∈Z,x0能被2和3整除. 语句(1)(2)不能判断真假,不是命题; 语句(3)(4)可以判断真假,是命题.

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫
做存在量词,并用符号“?”表示. 含有存在量词的命题,叫做特称命题. 常见的存在量词还有“有些”“有一个” “对某个”“有的”等

特称命题举例:
命题:有的平行四边形是菱形;

有一个素数不是奇数.
特称命题符号记法: 特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立 ” 可用符号简记为:? x 0 ? M , p ( x 0 ),

读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”.

四、判断特称命题真假 (1)判定特称命题 “

?x0∈M, ?x0∈M,

p(x0)”是真命题

只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可
(2)判定特称命题 “ p(x0)”是真命题

在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,则特称命

题是假命题.

例2 判断下列特称命题的真假:
(1)有一个实数x0,使x02+2x0+3=0;
所以为假命题.

对于x∈R,x2 +2x+3= (x+1)2+2>0恒成立,所以 x2 +2x+3=0无解,

(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线;
由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的, 因此不存在两个相交平面垂直于同一条直线,所以为假命题.

(3)有些整数只有两个正因数.

真命题

变式练习
判断下列特称命题的真假: (1) ?x0 ? R , x0 ? 0;

解:(1)真命题;

(2)至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数; (2)真命题; (3)?x0 ? { x | x是无理数},x0 2是无理数 (3)真命题.

课堂训练

1.下列命题中是特称命题的是( B )
A.?x∈R,x2≥0

B.?x∈R,x2<0
C.平行四边形的对边不平行

D.矩形的任一组对边都不相等

2.下列全称命题中真命题的个数为( C )
①末位是0的整数,可以被2整除.

②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
③正四面体中两侧面的夹角相等. A.1 C.3 B.2 D.0

3.在下列特称命题中假命题的个数是( A )

①有的实数是无限不循环小数
②有些三角形不是等腰三角形 ③有的菱形是正方形 A.0 C.2 为0. B.1 D.3

【解析】因为三个命题都是真命题,所以假命题的个数

4.下列命题中是真命题的是( B ) A.?x0∈R,x02+1<0 B.?x0∈Z,3x0+1是整数 C.?x∈R,|x|>3

D.?x∈Q,x2∈Z
【解析】当x=1时,3x+1=4是整数,故选B.

5.给出下列命题: ①所有的单位向量都相等;

②对任意实数x,均有x2+2>x;
③不存在实数x,使x2+2x+3<0.

②③ . 其中所有正确命题的序号为________

6.用符号“?”与“?”表示下列命题,并判断真 假. (1)不论m取什么实数,方程x2+x-m=0必有实根; (2)存在一个实数x,使x2+x+4≤0.

解:(1)?m∈R,方程x2+x-m=0必有实根.

当m=-1时,方程无实根,是假命题. (2)?x∈R,使x2+x+4≤0.
x2+x+4= ( x ? 1 ) +
2

2

15 >0恒成立, 4

所以为假命题.

课堂小结
全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”, 符号简记为: ? x∈M,p(x), 读作:对任意x属于M,有p(x)成立, 含有全称量词的命题,叫做全称命题.

特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”,

符号简记为: ? x0∈M,p(x0),
读作:“存在一个x0属于M,使p(x0)成立” 含有存在量词的命题,叫做特称命题.


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