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高二数学,人教A版选修1-1, 3.1.3导数的几何意义, 课件


3.1.3 导数的几何意义 导数的几何意义 [提出问题] 如图,Pn 的坐标为(xn,f(xn))(n=1,2,3,4,?),P 的坐标为 (x0,y0),直线 PT 为在点 P 处的切线. 问题 1:割线 PPn 的斜率 kn 是什么? Δyn f?xn?-f?x0? 提示:割线 PPn 的斜率 kn= = . Δxn xn-x0 问题 2:当点 Pn 趋近于点 P 时,割线 PPn 与在点 P 处的切 线 PT 有什么关系? 提示:当点 Pn 趋近于点 P 时,割线 PPn 趋近于在点 P 处的 切线 PT. 问题 3:当 Pn 无限趋近于点 P 时,kn 与切线 PT 的斜率 k 有什么关系? 提示:kn 无限趋近于切线 PT 的斜率 k. 问题 4:如何求得过点 P 的切线 PT 的斜率? 提示: 函数 f(x)在 x=x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k, 即 f?x0+Δx?-f?x0? lim k=Δx→0 =f′(x0). Δx [导入新知] 导数的几何意义 函数 f(x)在 x=x0 处的导数就是切线 PT 的 斜率 k ,即 k= f?x0+Δx?-f?x0? lim f′(x0)=Δx→0 . Δx [化解疑难] 曲线 y=f(x)在点 P 处的切线的斜率, 即函数 y=f(x)在点 P 处 的导数,反映了曲线在点 P 处的变化率. 导函数 [提出问题] 已知函数 f(x)=-x2+2. 问题 1:如何求 f′(x0)? 2 2 - ? x + Δ x ? + 2 - ? - x 0 0+2? lim 提示:f′(x0)=Δx→0 Δx lim (-2x -Δx)=-2x . =Δ 0 0 x→0 问题 2:若 x0 是一变量 x,f′(x)是常量吗? 提示:f′(x)=-2x,说明 f′(x)不是常量,而是关于 x 的 函数. [导入新知] 导函数的定义 对于函数 y=f(x),当 x=x0 时,f′(x0) 是一个确定的数,当 x 变化时,f′(x) 便是一个关于 x 的函数,我们称它为函数 y=f(x)的 lim f?x+Δx?-f?x?. Δx→0 Δx 导函数(简称为导数),即 f′(x)=y′=__________________ [化解疑难] 函数 y=f(x)“在点 x0 处的导数”“导函数”“导数”之间的 区别与联系 (1)函数在点 x0 处的导数, 就是在该点的函数改变量与自变量改 变量的比的极限,它是一个数值,不是变数. (2)导函数也简称导数,所以 “导数” f(x)在一点 x0 处的导数(特殊)导函数(一般) (3)函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在点 x =x0 处的函数值. 曲线的切线方程 [例 1] 1 若函数 f(x)=x-x,求它与 x 轴交点处的切线方程. [解 ] 1 由 f(x)=x-x=0,得 x=± 1, 即与 x 轴的交点坐标为(1,0),(-1,0). 1 1 ?x+Δx?- -x+x ? ? x+Δx 1 1 ? ? lim lim 1 + ∵f′(x)=Δx→0 =Δx→0 ? x?x+Δx??=1+ 2, Δx x ? ? 1 ∴切线的斜率 k=1+ =2.∴切线的方程为 y=2(x-1)或 y=2(x+1), 1 即 2x-y-2=0 或 2x-y+2=0. [类题通法] 求曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程的步骤 (1)求出函数 y=f(x)在 x0 处的导数 f′

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