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2018-2019学年人教B版高中数学-选修4-5教学案-第三章 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式 (可直接打印)


数学 3.2 用数学归纳法证明不等式,贝努利不等式 [对应学生用书P43] [读教材· 填要点] 贝努利(Bernoulli)不等式 设 x>-1,且 x≠0,n 为大于 1 的自然数,则(1+x)n>1+nx. [小问题· 大思维] 在贝努利不等式中,指数 n 可以取任意实数吗? 提示:可以.但是贝努利不等式的体现形式有所变化.事实上:当把正整数 n 改成实 数 α 后,将有以下几种情况出现: (1)当 α 是实数,并且满足 α>1 或者 α<0 时,有(1+x)α≥1+αx(x>-1). (2)当 α 是实数,并且满足 0<α<1 时,有(1+x)α≤1+αx(x>-1). [对应学生用书P43] 利用数学归纳法证明不等式 1 1 1 1 [例 1] 求证:n+ + +…+ 2>1(n≥2,n∈N+). n n+1 n+2 [思路点拨] 本题考查数学归纳法的应用, 解答本题需要注意 n 的取值范围, 因为 n≥2, n∈N+,因此应验证 n0=2 时不等式成立. 1 1 1 13 [精解详析] (1)当 n=2 时,左边= + + = >1. 2 3 4 12 ∴n=2 时不等式成立. (2)假设 n=k(k≥2,且 k∈N)时,不等式成立,即 1 1 1 1 k+k+1+k+2+…+k2>1,那么 n=k+1 时, 1 1 1 1 + +…+ + 2 k+1 ?k+1?+1 ?k+1? -1 ?k+1?2 数学 = 1 1 1 1 1 1 ?· · · ? 2 + +…+ 2+ 2 + k k+1 k+2 ? k + 1?2 k ?1 k ? 2k 2 k项 1 1 1 1 2k+1 1 1 1 1 1 = ?k+k+1+k+2+…+k2? + 2 ? ? k +1 +…+ k2+2k + ?k+1?2 - k >1 + ?k+1?2 - k = 1 + k2-k-1 , k?k+1?2 1? 2 9 ∵k≥2,∴? ?k-2? ≥4. 1?2 5 ∴k2-k-1=? ?k-2? -4≥1>0. ∴ ∴ k2-k-1 >0. k?k+1?2 1 1 1 + +…+ >1. k+1 ?k+1?+1 ?k+1?2 ∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)、(2)可知,对一切的 n≥2,且 n∈N+,此不等式都成立. 利用数学归纳法证明不等式的关键是由 n=k 到 n=k+1 的变形,为满足题目的要求, 1 1 1 1 往往要采用“放缩”等手段,例如在本题中采用了“ 2 > ,…, 2 > ” k +1 ?k+1?2 k +2k ?k+1?2 的放缩变形. 1.证明不等式: 1+ 1 1 1 + +…+ <2 n(n∈N+). n 2 3 证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边=2,不等式成立. (2)假设当 n=k(k≥1)时,命题成立,即 1+ 1 1 1 + +…+ <2 k. k 2 3 1 1 1 + +…+ + k 2 3 1 k+1 <2 k+ 1 k+1 = ∵当 n=k+1 时,左边=1+ k?k+1?+1 k+1 2 , k?k+1?+1 <2 k+1 2 现在只需证明 k+1, 数学 即证:2 k?k+1?<2k+1, 两边平方,整理:0<1,显然成立. 2 ∴ k?k+1?+1 k+1 k+1成立. 1 k+1 <2 即 1+ 1 1 1 + +…+ + k 2 3 <2 k+1成立. ∴当 n=k+1 时,不等式成立. 由(1)(2)知,对于任何正整数 n 原不等式都成立. 利用数学归纳法比较大小 n?n-1? 2 [例 2] 设 Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+ x ,n∈N+,x∈(-1,+∞),试比较 Pn 2 与 Qn 的大小,并加以证明. [思路点拨] 本题考查数学归纳法的应用,解答本题需要先对 n 取特值,猜想 Pn 与 Qn 的大小关系,然后利用数学归纳法证明. [精解详析] (1)当 n=1,2 时,Pn=Qn. (2)当 n≥3 时,(以下再对 x 进行分类). ①若 x∈(0,+∞),显然有 Pn>Qn. ②若 x=0,则 Pn=Qn. ③若 x∈(-1,0), 则 P3-Q3=x3<0,所以 P3<Q3. P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,所以 P4<Q4. 假设 Pk<Qk(k≥3), 则 Pk+1=(1+x)Pk<(1+x)Qk=Qk+xQk k?k-1?x2 k?k-1?x3 =1+kx+ +x+kx2+ 2 2 =1+(k+1)x+ =Qk+1+ k?k+1? 2 k?k-1? 3 x+ x 2 2 k?k-1? 3 x <Qk+1, 2 即当 n=k+1 时,不等式成立. 所以当 n≥3,且 x∈(-1,0)时,Pn<Qn. 数学 (1)利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜 测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立. (2)本题除对 n 的不同取值会有 Pn 与 Qn 之间的大小变化,变量 x 也影响 Pn 与 Qn 的大 小关系,这就要求我们在探索大小关系时,不能只顾“n”,而忽视其他变量(参数)的作用. 2.已知数列{an},{bn}与函数 f(x),g(x),x∈R,满足条件:b1=b,an=f(bn)=g(bn+1)(n ∈N+).若函数 y=f(x)为 R 上的增函数,g(x)=f 1(x),b=1,f(1)<1,证明:对任意 n∈N+, - an+1<an. 证明:因为 g(x)=f-1(x),所以 an=g(bn+1)=f-1(bn+1),即 bn+1=f(an). 下面用数学归纳法证明 an+1<an(n∈N+). (1)当 n=1 时,由 f(x)为增函数,且 f(1)<1,得 a1=f(b1)=f(1)<1, b2=f(a1)<f(1)<1, a2=f(b2)<f(1)=a1, 即 a2<

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