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学高中数学第二章函数.简单的幂函数练习北师大版必修-课件


§5

简单的幂函数
课后训 练案 巩固提 升

A组 1.下列函数为幂函数的是(
5 2

)
-2

①y=k·x (k≠0);②y=x +x ;③y=x2;④y=(x-2)3.
A.①③ C.①③④
α

B.①② D.③
2

解析:形如 y=x (α 是常数)才是幂函数,根据这一定义可知,只有 y=x 是幂函数,故选 D. 答案:D 2.对定义在 R 上的任意奇函数 f(x),都有( A.f(x)-f(-x)>0(x∈R) B.f(x)f(-x)≤0(x∈R) C.f(x)-f(-x)≤0(x∈R) D.f(x)f(-x)>0(x∈R) 解析:由奇函数的定义知,f(-x)=-f(x),当 x=0 时 f(-x)=-f(x)=0,当 x≠0 时,f(-x)与 f(x)互为相 反数,所以 f(x)·f(-x)≤0,故选 B. 答案:B 3.函数 y=(k -k-5)x 是幂函数,则实数 k 的值是( A.k=3 C.k=3 或 k=-2 答案:C 4.已知函数 f(x)是[-5,5]上的偶函数,f(x)在[0,5]上具有单调性,且 f(-3)<f(-1),则下列不等式 一定成立的是( A.f(-1)<f(3) C.f(-3)<f(5) ) B.f(2)<f(3) D.f(0)>f(1) B.k=-2 D.k≠3 且 k≠-2
2 2 2 2

)

)

解析:由题意,得 k -k-5=1,即 k -k-6=0,解得 k=-2 或 k=3,故选 C.

解析:由于函数 f(x)是[-5,5]上的偶函数, 因此 f(x)=f(|x|),于是 f(-3)=f(3),

f(-1)=f(1),则 f(3)<f(1).
又 f(x)在[0,5]上具有单调性,从而函数 f(x)在[0,5]上是减少的,观察各选项,并注意到

f(x)=f(|x|),只有 D 正确.
答案:D 5.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减少的,且 f(3)=0,则使 f(x)<0 的 x 的取值范 围为( )

1

A.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,3)∪(3,+∞)

B.(3,+∞) D.(-3,3)

解析:由已知可得 f(-3)=f(3)=0,结合函数的奇偶性和单调性可画出函数 f(x)的大致图像(如图所 示). 由图像可知 f(x)<0 时,x 的取值范围是(-3,3). 答案:D 6.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x +x+1,则 f(1)= 解析:∵f(x)是 R 上的奇函数,
2

.

∴f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2+(-1)+1]=-2.
答案:-2 7.若函数 f(x)=4x +bx-1 是偶函数,则实数 b= 答案:0 8.已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x>0 时,f(x)=x +x,则当 x<0 时,f(x)= 解析:设 x<0,则-x>0,∴f(-x)=(-x) -x=x -x.∵f(x)是定义域为 R 的偶函数,
2 2 2 2

.
2 2

解析:由已知得 f(-x)=f(x)对任意 x∈R 恒成立,即 4(-x) -bx-1=4x +bx-1,于是 bx=-bx,故 b=0.

.

∴f(x)=f(-x)=x2-x, ∴当 x<0 时,f(x)=x2-x.
答案:x -x 9. 导学号 91000079 已知函数 f(x)=(2m-3)x 是幂函数. (1)求 m 的值;(2)判断 f(x)的奇偶性. 解:(1)因为 f(x)是幂函数,所以 2m-3=1,即 m=2. (2)由(1)得 f(x)=x ,其定义域为 R,且 f(-x)=(-x) =-x =-f(x),故 f(x)是奇函数. 10. 导学号 91000080(拓展探究)已知函数 f(x)=x+,且 f(1)=2. (1)求 m; (2)判断 f(x)的奇偶性; (3)函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数还是减函数?并说明. 解:(1)因为 f(1)=2,所以 1+m=2,即 m=1. (2)由(1)知 f(x)=x+,显然函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 又 f(-x)=(-x)+=-x-=-=-f(x), 所以,函数 f(x)=x+是奇函数. (3)函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数,设 x1,x2 是(1,+∞)上的任意两个实数,且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=x1+
3 3 3 2

m+1

=x1-x2+ =x1-x2-=(x1-x2),

2

当 1<x1<x2 时,x1x2>1,x1x2-1>0, 从而 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)=x+在(1,+∞)上为增函数. B组 1.已知 f(x)=ax -bx +cx +2,且 f(-5)=m,则 f(5)+f(-5)的值为( A.4 C.2m
7 7 5 3

)

B.0 D.-m+4
5 3

解析:设 g(x)=ax -bx +cx , 则 g(x)在 R 上为奇函数,f(-5)=g(-5)+2=m,

∴g(-5)=m-2. ∴g(5)=2-m. ∴f(5)=g(5)+2=4-m. ∴f(5)+f(-5)=4-m+m=4.
答案:A 2.若函数 f(x)=为奇函数,则 a=( A. B. C. ) D.1
2

解析:由已知得 f(x)=定义域关于原点对称,其定义域为,由 f(-x)+f(x)=0 化简得(2a-1)x =0,所以

a=,故选 A.
答案:A 3.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减少的,且 f(-2)=0,如图所示,则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是( )

A.(-∞,2)

B.(2,+∞) D.(-2,2)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞)

解析:由图可得在(-∞,0)上,f(x)<0 的解集为(-2,0]. 因为 f(x)为偶函数,所以 x 的取值范围为(-2,2). 答案:D 4.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上是增加的,则满足 f(2x-1)<f 的 x 的取值范围是( A. C. B. D. )

解析:作出示意图如图所示.

3

由图可知,f(2x-1)<f, 则-<2x-1<,即<x<. 答案:A 5. 导学号 91000081 已知幂函数 f(x)=(t -t+1)(t∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上是增加的,则函数的 解析式为
3

.
3

解析:∵f(x)是幂函数,∴t -t+1=1,解得 t=-1 或 t=0 或 t=1. 当 t=0 时,f(x)=是非奇非偶函数,不满足题意; 当 t=1 时,f(x)=是偶函数,但在(0,+∞)上是减少的,不满足题意; 当 t=-1 时,f(x)=x ,满足题意. 综上所述,实数 t 的值为-1,所求解析式为 f(x)=x . 答案:f(x)=x
2 2 2

6.(创新题)已知 f(x),g(x)均为奇函数,且 F(x)=af(x)+bg(x)+2 在(0,+∞)上的最大值是 5,则 F(x) 在(-∞,0)上的最小值为

.

解析:∵F(x)=af(x)+bg(x)+2 在(0,+∞)上的最大值是 5,且 f(x),g(x)均为奇函数,

∴F(x)-2=af(x)+bg(x)在(0,+∞)上的最大值是 3.
根据函数的性质可知 F(x)-2=af(x)+bg(x)在(-∞,0)上的最小值是-3,∴F(x)=af(x)+bg(x)+2 在(-∞,0)上的最小值为-1. 答案:-1 7. 导学号 91000082 已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=x +x-2,求 f(x),g(x)的解析 式. 解:由 f(x)+g(x)=x +x-2,① 得 f(-x)+g(-x)=x -x-2.
2 2 2

∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(x)-g(x)=x2-x-2.② ①+②得 2f(x)=2x2-4,∴f(x)=x2-2. ①-②得 2g(x)=2x,∴g(x)=x.
8.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -2x+m. (1)求 m 及 f(-3)的值; (2)求 f(x)的解析式,并画出简图; (3)写出 f(x)的单调区间(不用证明). 解:(1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0,∴m=0,
2

∴当 x≥0 时,f(x)=x2-2x, ∴f(-3)=-f(3)=-3.

4

故 m=0,f(-3)=-3. (2)当 x<0 时,-x>0,

∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x. ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=x2+2x,即 f(x)=-x2-2x(x<0). ∴f(x)=

画出 f(x)的图像如图所示. (3)由 f(x)的图像,可知 f(x)在(-∞,-1]和[1,+∞)上是增加的,在[-1,1]上是减少的.

5


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