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河北省衡水中学2013-2014学年高一上学期一调考试数学试题Word版含解析by赵


2013—2014 学年度上学期一调考试 高一年级数学试卷 解析版

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

一.选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序

号填涂在答题卡上)

1、如果 x2 ? Ax ? 27 可分解因式为 (x ? 3)(x ? B),则 A、B 的值是(



A.-6,-9 B.6,9 C.-6,9

D.6,-9

【答案】B

x2 ? Ax ? 27 ? (x ? 3)(x ? B) ? x2 ? (B-3)x ? 3B,? A ? (B-3). ? 27 ? ?3B 解得 A ? 6,B ? 9 ,选 B

2、图中阴影部分所表示的集合是( )

A.B∩[CU(A∪C)]

B.(A∪B) ∪(B∪C)

C.(A∪C)∩(CUB) 【答案】A
由图可知选 A

D.[CU(A∩C)]∪B

3、当 a ? 0 时, ? ax3 ? (



A. x ax
【答案】C

B. x ? ax C. ? x ? ax D. ? x ax a ? 0,?x ? 0,? ?ax3 ?| x | ?ax ? ?x ?ax ,选 C

4、下列集合中,不同于另外三个集合的是( )

A. {x|x=1} 【答案】B

B. {x | x2 ? 1}

C. {1} D .{y | ( y ?1)2 ? 0}

{x | x2 ?1} ? ??1,1?, 另外三个集合都是{1},选 B

5、设集合 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若A ? B ? ?, 则实数 a 的取值范围

( ) A.{a|0≤a≤6} B.{a|a≤2 或 a≥4} C.{a|a≤0 或 a≥6} D.{a|2≤a≤4}

【答案】C

A={x||x-a|<1,x∈R} ? ?x | a ?1? x ? a ?1? ,B={x|1<x<5,x∈R}

若A ? B ? ?,?a ?1 ? 5或a ?1 ? 1,?a ? 6或a ? 0 ,选 C

? ? 6、已知集合 x mx2 ? 2x ?1 ? 0 有且只有一个元素,则 m 的值是( )

A. 0 【答案】D

B. 1

C. 0 或 1

D. 0 或-1

mx2

?

2x

?1

?

0,?m

?

0或

?m ? 0

? ?

?0

,?m

?

0或

?1

,选

D

7、下列各组函数中,表示同一函数的是( )

A. y ? x ? 1与y ? x 2 ? x x

B. f (x) ? x2 与g(x) ? x ( x)2

C.

f (x)

?

x 与g(x)

?

? x(x ? 0) ??? x(x ? 0)

D.

f (x) ?

x

x x

与f (t)

? t(t ? 0) ? ??? t(t ? 0)

【答案】D

A 中两个函数定义域不同, C



f

(x)

?

? x(x ? 0) ???x(x ? 0)



g(x)

不同,故选

D

8、关于 x 的一元二次方程 x2 ? mx ? 2m ?1 ? 0 的两个实数根分别是 x1 , x2 ,且 x12 ? x2 2 ? 7,

则 (x1 ? x2 )2 的值是( )A.1

B.12

C.13

D.25

【答案】C

一元二次方程 x2 ? mx ? 2m ?1 ? 0 的两个实数根分别

是 x1, x2 ,? x1 ? x2 ? m, x1 ? x2 ? 2m ?1, x12 ? x22 ? 7,?(x1 ? x2 )2 ? 2x1 ? x2 ? 7,

?m2 ?2 ( 2m ? 1 )? 7?,m ?或5 ,?(1 舍 5

?(x1 ? x2 )2 ? x12 ? x22 ? 2x1x2 ? 7 ? 2(2m ?1) ? 13 ,选 C

9、已知 g(x)=1-2x,

f

[g(x)]=

1

? x

x
2

2

(x

?

0)

,则

f(

1 2

)等于(

A.1 【答案】C

B.3

C.15

) D.30

令 g(x) ? 1? 2x ? 1 ,? x ? 1 , 所以

f [g(x)]= 1? x2

1? (1)2 ?4

? 15



2

4

x2

(1)2

4

选C

10、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)= f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,

则 f(-3)等于 ( )A.12

B.6

C.3

D.2

【答案】B

令 x ?1, y ?1,? f (2) ? f (1) ? f (1) ? 2 ? 6 ,

f (3) ? f (2) ? f (1) ? 4 ?12, x ? 0, y ? 0,? f (0) ? 0 令 y ? ?x,? f (0) ? f (x) ? f (?x) ? 2x2,? f (?x) ? f (0) ? f (x) ? 2x2 ,

? f (?3) ? f (0) ? f (3) ? 2 ?32 ? 0 ?12 ?18 ? 6. 选 B

11、若函数 y=x2﹣3x﹣4 的定义域为[0,m],值域为

,则 m 的取值范围是( )

A. (0,4]

B.

C.

D.

【答案】C

x ? 0, x ? 3 时,y ? ?4, x ? 3 时,y ? ? 25 ,? x ?[3 ,3] ,选 C.

2

4

2

12、 已知函数 f (x) ? 1? 1 (x ? 0) ,若存在实数 a,b(a ? b) ,使 y ? f (x) 的定义域为 (a, b) x

时,值域为 (ma, mb) ,则实数 m 的取值范围是 ( )

A. m ? 1 4
【答案】B

B. 0 ? m ? 1 4

C. m ? 1 且 m ? 0 4

D. m ? 1 4

函数 f (x) ? 1? 1 (x ? 0) 为增函数,所以 x

? ? ?

f f

(a) (b)

? ?

ma mb

,?

???1 ? ? ?1 ?

1 a 1

? ?

ma mb

,

?

?ma2

? ?

mb2

? ?

a b

?1 ?1

? ?

0 0

,?

a,

b

是方程

mx2

?

x

?1

?

0

?? b

?

? ? 1? 4m ? 0

? 的两个不相等的正实根,故有? ??x
?

?

x

?

1 m

?

0 ,? 0

?

m

? 1. 选

B.

? ??

xx ? 1 ? 0 m

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上) 13、若△ ABC 的三边长分别为 10cm, 10cm, 16cm, 则△ ABC 的内切圆的半径为____cm.
【答案】 8 3

14、函数 y ? x ? 1 ? 1 的定义域是_________. 2?x
【答案】?x | x ? ?1且x ? 2?

?x ?1 ??x ? 2

? ?

0 0

,?

x

?

?1且x

?

2. ?函数

f

(x)的定义域是?x

|

x

?

?1且x

?

2?

15、已知函数 f (x) 在[0,??) 上单调递减,则 f ( 1? x2 ) 的单调递增区间是________.

【答案】[0,1]

?1? ?

x2

?

0?0

?

x

? 1,



f

(

1? x2 ) 的单调递增区间是[0,1]

? x?0

16、对于实数 a 和 b,定义运算“*”:a﹡b=

,设函数 f(x)=(x2﹣2)*(x﹣1),

x∈R,若方程 f (x) ? c 恰有两个不同的解,则实数 c 的取值范围是



【答案】(﹣2,1]∪(1,2]

f(x)=(x2﹣2)*(x﹣1),

f

(x)

?

? x2 ? 2( 1? ? x2) ? ??x ?1(x ? ?1或x ?

2).

画出

f(x)的图

像,与直线 y ? c 的图像恰有 2 个交点,数形结合可得实数 c 的取值范围

是(﹣2,1]∪(1,2] 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在
答题纸的相应位置)

17、(1)解方程 2x ? 2 ? x ? 3 ? 1

(2)计算 ( 1 ? 1 ? 1 ? ? ?

1

)( 2013 ? 1) 的值.

2 ?1 3 ? 2 4 ? 3

2013 ? 2012

【答案】(1) x ? ?6或x ? 2 ; (2)2012 3
(1) 2x ? 2 ? x ?3 ?1,当 x ? ?1, ?2x ? 2 ? x ? 3 ? 1,? x ? ?6;

当 ?1 ? x ? 3, 2x ? 2 ? x ? 3 ? 1,? x ? 2 ; 3
当 x ? 3, 2x ? 2 ? x ? 3 ?1,? x ? ?4(舍去).

(2) ( 1 ? 1 ? 1 ? ?

1

)( 2013 ?1)

2 ?1 3 ? 2 4 ? 3

2013 ? 2012

? [(?1? 2) ? (? 2 ? 3) ? ? (? 2012 ? 2013)]( 2013 ?1)

? [ 2013 ?1]( 2013 ?1) ? 2013 ?1 ? 2012.

? ? 18、若集合 A ? x | x2 ? ax ?1 ? 0, x ? R ,集合 B ? ?1, 2? ,且 A ? B ,求实数 a 的取值范

围.

【答案】[?2, 2)

(1)若 A ? ? ,则 ? a2 ? 4 ? 0 ,解得 ?2 ? a ? 2;
(2)若1? A ,解得 a ? ?2 ,此时 A ? ?1?,适合题意;

(3)若

2

?

A

,解得

a

?

?

5 2

,此时

A

?

??2, ?

5 2

? ? ?

,不合题意;

综上所述,实数 m 的取值范围为[?2, 2) .

19、已知二次函数 f(x)满足 f(x+1)﹣f(x)=2 x 且 f(0)=1. (Ⅰ)求 f(x)的解析式;(Ⅱ)在区间[﹣1,1]上求 y = f(x)的值域.
【答案】(1) f (x) ? x2 ? x ?1(2)[ 3 , 3] 4
(1)设 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , f(0) = 1,? c =1

则 f (x) ? ax2 ? bx ?1

f (x ?1) ? f (x) ? a(x ?1)2 ? b(x ?1) ?1? ax2 ? bx ?1 ? 2ax ? a ? b ? 2x

?2a ? 2, a ? b ? 0,?a ?1,b ? ?1

f (x) ? x2 ? x ?1

(2)[ 3 , 3] 4

?4 ? x2 (x ? 0)

20.

f

(x)

?

? ?

2(x ? 0)

(1)求 f ( f (?2)) 的值;(2)求 f (a2 ?1)(a ? R) 的值;

??1? 2x(x ? 0)

(3)当 ?4 ? x ? 3时,求 f (x) 的值域。
【答案】(1) -21 (2) (-5,9] (1)∵f(-2)=1-2×(-2)=5, ∴f(f(-2))=f(5)=4-52=-21.
(2)∵当 a∈R 时,a2+1≥1>0, ∴f(a2+1)=4-(a2+1)2=-a4-2a2+3(a∈R).
(3) ①当-4≤x<0 时,∵f(x)=1-2x,∴1<f(x)≤9.②当 x=0 时,f(0)=2.③当 0<x<3 时, ∵f(x)=4-x2,∴-5<f(x)<4. 故当-4≤x<3 时,函数 f(x)的值域是(-5,9].
21、关于 x 的不等式: x2 ? (1? a)x ? a ? 0 . (1) 当 a ? 2 时,求不等式的解集; (2) 当 a ? R 时,解不等式.
【答案】(1)?x | x ? 2或x ?1?(2)当 a ?1时,解集是?x | x ? a或x ?1?

当 a ?1时,解集是?x | x ?1? ,当 a ?1时,解集是?x | x ?1或x ? a?

(1)?x | x ? 2或x ?1?
(2)原式等价于 (x ? a)(x ?1)? 0

当 a ?1时,解集是?x | x ? a或x ?1?

当 a ?1时,解集是?x | x ?1?

当 a ?1时,解集是?x | x ?1或x ? a?

22、是否存在实数 a,使函数 f (x) ? x2 ? 2ax ? a 的定义域为??1,1? ,值域为??2,2? ?若存在,
求出 a 的值;若不存在,说明理由。
【答案】存在实数 a ? ?1

f (x) ? x2 ? 2ax ? a 图象是开口向上,对称轴为直线 x ? a 的抛物线

(1) 当 a ? ?1 时 ,

函数

f ( x)?

x2 ? 2 a x?

在a

??1,1?











,



? ? ?

f f

??1? ? ?2 ?1? ? 2



?3a
1?

? a

1 ? ?2 ?2



a

?

?1

.

(2) 当 a ?1 时 ,

函数

f ( x)?

2x ? 2 a x?

在a ??1,1? 上 是 减 函 数 ,



?f

? ?

f

??1? ? 2 ?1? ? ?2



?3a
1?

? a

1? 2 ? ?2

?

???a ??a

? ?

1 3 3

这时

a

?

?

(3)当 ?1? a ? 0 时, 函数 f (x) ? x2 ? 2ax ? a在 ??1,1? 上的最小值为 f ?a? ,最大值为 f ?1? ,

? ? 故

? ? ?

f f

?a? ? ?2 ?1? ? 2



?a2 ? a ? 1?a ? 2

?2

?

a a

? ?

2或-1 ?1

?

a

?

?1这与

?1

?

a

?

0

矛盾,故

a

??

.

(4)当 0 ? a ?1时, 函数 f (x) ? x2 ? 2ax ? a 在??1,1? 上的最小值为 f ?a? ,最大值为 f ??1? ,故

? ? f

? ?

f

? ?

a? ? ?2 ?1? ? 2



?a2 ? 3a ?1

a ?

? 2

?2

?

??a ???a

? ?

2或-1 1
3

?

a

?

?

.

综上所述, 存在实数 a ? ?1,使函数 f (x) ? x2 ? 2ax ? a 的定义域为??1,1? ,值域为??2,2?


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