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高三数学(理)圆锥曲线大题训练[1]


高三数学(理)圆锥曲线大题训练 1.椭圆 ? 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , A(0, b) 、B(0, ?b) 和 Q(a, 0) 为 ? 的三个顶点. a 2 b2
1 ( AQ ? AB) ,求点 M 的坐标; 2

(1)若点 M 满足 AM ?

( 2 ) 设 直 线 l1 : y ? k1 x ? p 交 椭 圆 ? 于 C 、 D 两 点 , 交 直 线 l2 : y ? k2 x 于 点 E . 若

b2 k1 ? k2 ? ? 2 ,证明: E 为 CD 的中点; a
(3) 设点 P 在椭圆 ? 内且不在 x 轴上, 如何构作过 PQ 中点 F 的直线 l , 使得 l 与椭圆 ? 的

a ? 10 , b ? 5 ,点 P 的坐标是(-8,-1) 两个交点 P ,若 1、 P 2 满足 PP 1 ? PP 2 ? PQ ?令
椭圆 ? 上的点 P 1、P 2 满足 PP 1、 P 2 的坐标. 1 ? PP 2 ? PQ ,求点 P
a b 解析:(1) M ( , ? ) ; 2 2
? y ? k1 x ? p ? (2) 由方程组 ? x 2 y 2 ,消 y 得方程 (a2 k12 ? b2 ) x2 ? 2a2 k1 px ? a2 ( p2 ? b2 ) ? 0 , ? ? 1 ? 2 b2 ?a

因为直线 l1 : y ? k1 x ? p 交椭圆 ? 于 C 、 D 两点,所以?>0,即 a2 k12 ? b2 ? p2 ? 0 ,
? x1 ? x2 a2k p ?? 2 21 2 ? x0 ? 2 a k1 ? b ? 设 C(x1,y1)、D(x2,y2),CD 中点坐标为(x0,y0),则 ? , 2 ?y ? k x ? p ? b p 1 0 ? 0 a 2 k12 ? b 2 ?

? y ? k1 x ? p 由方程组 ? ,消 y 得方程(k2?k1)x?p, ? y ? k2 x
? a 2 k1 p p x ? ? ? ? x0 ? k2 ? k1 a 2 k12 ? b 2 b2 ? 又因为 k2 ? ? 2 ,所以 ? ,故 E 为 CD 的中点; 2 a k1 ?y ? k x ? b p ? y 2 0 ? a 2 k12 ? b 2 ?

(3) 因为点 P 在椭圆 Γ 内且不在 x 轴上, 所以点 F 在椭圆 Γ 内, 可以求得直线 OF 的斜率 k2, 由 PP 1 ? PP 2 ? PQ 知 F 为 P1P2 的中点,根据(2)可得直线 l 的斜率 k1 ? ?
b2 ,从而得直线 l a 2 k2

b2 1 1 1 的方程. F (1, ? ) ,直线 OF 的斜率 k2 ? ? ,直线 l 的斜率 k1 ? ? 2 ? a k2 2 2 2

2.一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都 有 FA ? FB ? 0 ?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。

3.

x2 y2 2 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 F1 , F2 为顶 ? ? 1(a>b>0) 的离心率为 a2 b2 2

点的三角形的周长为 4( 2 ?1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点, 设 P 为该双曲线上异 于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D .

(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k2 ,证明 k1· k2 ? 1 ; (Ⅲ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB · CD 恒成立?若存在,求 ? 的值;若不 存在,请说明理由. 【解析】 (Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为

c 2 ? ,得 a ? 2c ,又 2a ? 2c ? 4( 2 ?1) , a 2
2 2

所以可解得 a ? 2 2 ,c ? 2 ,所以 b ? a ? c ? 4 ,所以椭圆的标准方程为
2

x2 y 2 ? ? 1; 8 4

所以椭圆的焦点坐标为( ?2 ,0) ,因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所 以该双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ?1。 4 4

4.抛物线 C : y ? 4x 的焦点为 F,过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,点 A 关
2

于 x 轴的对称点为 D. (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FA FB ?

8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9

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