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黑龙江省大庆铁人中学2013-2014学年高二数学下学期期中试题 文


大庆铁人中学 2012 级高二下学期月考 数 学 (文)
2014.4.15 时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.点 P 1,? 3 ,则它的极坐标是. (

?

?



? ?? ? 2, ? A. ? 3 ?

? 4? ? ? 2, ? 3 ? B. ?

?? ? ? 2,? ? 3? C. ?

4? ? ? ? 2,? ? 3 ? D. ?
) D. 27

2.数列 2,5,11, 20, x, 47, ?中的 x 等于( A. 28 B. 32 C. 33

3. 若 A. ?3

f ( x0 ) ? ?3 ,则 h?0
'

lim

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ? h (
C. ?9 D. ?12



B. ?6

? x ? 3t 2 ? 2 ? y ? t 2 ? 1 (t 是参数),则曲线是( 4. 曲线的参数方程为 ?



A、线段 B、直线 C、圆 D、射线 5.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是( ) ①若 K2 的观测值满足 K2≥6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病;②从独立性检验可知有 99%的把握认为吸烟与患病有关系 时,我们说某人吸烟,那么他有 99%的可能患有肺病;③从统计量中得知有 95%的把握认为吸 烟与患肺病有关系,是指有 5%的可能性使得推断出现错误 A.① B.①③ C.③ D.②

y?
6.函数

ln x x 的最大值为(



A. e

?1

B. e

C. e

2

10 D. 3

2S 7.设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r= ; a+b+c 类比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径为 r,四面体 S-ABC 的体积为 V,则 r=( ) A. V 2V B. S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4 C. 3V S1+S2+S3+S4 D. 4V S1+S2+S3+S4

-1-

?x ? a ? t (t为参数) ? P t P y ? b?t 8.直线 l 的参数方程为 ? ,l 上的点 1 对应的参数是 1 ,则点 1 与 P (a, b)
之间的距离是( )

A.

t1

B.

2 t1

C.

2 t1

2 t1 D. 2


9..极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆

B.两条直线 C.一条直线和一个圆 D.一个圆 (t 为参数),则直线的倾斜角为( )

?x=tsin50°-1 ? 10.直线的参数方程为? ? ?y=-tcos50°

A.40° B.50° C.140° D.130° 11.若 a>0, b>0, 且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于( A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
'

)

12.已知函数 f ( x) 的定义域为[—2, ? ?) ,部分对应值如下表, f ( x) 为 f ( x) 的导函数,函数

y ? f ' ( x) 的图象如右图所示:

b?4 若两正数 a , b 满足 f (a ? 2b) ? 1 ,则 a ? 4 的取值范围是( 6 4 ( , ) A. 7 3 3 7 ( , ) B. 5 3 2 6 ( , ) C. 3 5

)

1 ( ?1, ? ) 2 D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.与直线 2x-6y+1=0 垂直,且与曲线 f(x)=x3+3x2-1 相切的直线方程是________. 14. 对具有线性相关关系的变量 x 和 y,由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为 6.5,且 恒过(2,3)点,则这条回归直线的方程为________. 15. 函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a , 在 x ? 1 时有极值 10 ,那么 a , b 的值分别为________。
3 2 2

? x ? a cos ? ? y ? b sin ? ?? 为参数,a ? b ? 0 ? .在极坐 xOy C 16.在直角坐标系 中,椭圆 的参数方程为 ?
标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直

-2-

线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为

? sin ? ? ?

? ?

??

2 m ?? ? m为非零常数 ? 与 ? ? b .若直线 l 4? 2

经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率为___________.

三、解答题

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , ? ? y ? 3 ? sin t , y ? 3sin ? , ( ? 为参数) ? 2 1 17.已知曲线 C : (t 为参数) , C :? 。
(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;

t?
(2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为

? 2 ,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t

(t 为参数)距离的最小值。 x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

18.某种产品的广告费支出 x(单位:百万元)与销售额 y(单位:百万元)之间有如下对应数据:

(1)画出散点图; (2)求 y 关于 x 的线性回归方程. 可能用到公式

19. 某中学将 100 名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班 50 人.陈老师采 用 A、B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了了解教学效果,期末 考试后, 陈老师分别从两个班级 中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计, 作出茎叶图如下. 记 成绩不低于 90 分者为“成绩优秀”. 甲 6 9 5 1 0 9 9 4 4 2 8 8 5 1 1 0 4 3 3 2 9 8 7 6 5 乙 3 6 7 9 9 0 1 5 6 3 4 5 8 8 8 0 7 7 2 5

(1)在乙班样本中的 20 个个体中, 从不低于 86 分的成绩中随机抽取 2 个, 求抽出的两个均“成 绩优秀”的概率;
-3-

(2)由以上统计数据填写下面列联表,并判断是否有 90%的把握认为:“成绩优秀”与教学方 式有关. 甲班(A 方式) 成绩优秀 成绩不优秀 总计 n(ad-bc)2 附:K2= ,其中 n=a+b+c+d.) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(K2≥ k) k 0.25 1.32 3 0.15 2.07 2 0.10 2.70 6 0.05 3.84 1 0.02 5 5.02 4 0.01 6.63 5 0.00 5 7.87 9 0.001 乙班(B 方式) 总计

10.828

20.已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R ) (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值.
? ?x=2cosθ , ? 21. 经过点 M( 10, 0)作直线 l, 交曲线 C: ?y=2sinθ ?

(θ 为参数)于 A, B 两点, 若|MA|,

|AB|,|MB|成等比数列,求直线 l 的方程. 22. 已知函数 f ( x) 满足 数, C 为常数) . (1)求函数 f ( x) 的单调区间 (2) 设函数 g ( x) ? [ f ( x) ? x ] ? e , 若函数 g ( x) 在 x ? [?3,2] 上单调, 求实数 C 的取值范围.
3 x

?2? ?2? 2 f '? ? f ( x) ? x 3 ? f ' ? ? x 2 ? x ? C x? f ( x ) ?3? 3 处的导 (其中 ? 3 ? 为 在点

大庆铁人中学 2012 级高二下学期月考 数学试题(文) 一、选择题 CBDDCA CCCCDD 二、填空题 13.3x+y+2=0 ^ 14. y =-10+6.5x 15. a ? 4, b ? ?11

-4-

6 16. 3
三、解答题: 17.解 (1)散点图如图所示:

(2)列出下表,并用科学计算器进行有关计算. i xi(百万元) yi(百万元) xiyi x =5; y =50; 5 5 i∑ =1x2i=145; i∑ =1xiyi=1 380 5 ∑ xiyi-5 x y 1 380-5×5×50 ^ i=1 于是可得b = = =6.5, 5 145-5×52 ∑ x2i - 5 x 2 i=1 1 2 30 60 2 4 40 160 3 5 60 300 4 6 50 300 5 8 70 560

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t 18.解

(t 为参数)距离的最小值。

C1 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 3) 2 ? 1, C2 :

x2 y 2 ? ? 1. 64 9

C1 为圆心是( ?4,3) ,半径是 1 的圆.
C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.
t?
(Ⅱ)当

? 3 P(?4, 4).Q(8cos ? ,3sin ? ), 故M ( ?2 ? 4 cos ? , 2 ? sin ? ). 2 时, 2
5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 13 | . 5
-5-

C3 为直线

x ? 2 y ? 7 ? 0, M 到C3的距离d ?

4 3 8 5 cos ? ? ,sin ? ? ? d 取得最小值 . 5 5 时, 5 从而当
19. [解析] (1)设“抽出的两个均‘成绩优秀’”为事件 A. 从不低于 86 分的成绩中随机抽取 2 个的基本事件为(86,93),(86,96),(86,97),(86,99), (86,99),(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99), (97,99),(99,99),共 15 个. 而事件 A 包含基本事件: (93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99), (99,99),共 10 个. 10 2 所以所求概率为 P(A)= = . 15 3 (2)由已知数据得 甲班(A 方式) 成绩优秀 成绩不优秀 总计 根据列联表中数据, 40×1×15-5×192 K2= ≈3.137, 6×34×20×20 由于 3.137>2.706,所以有 90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关. 20.解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 1 19 20 乙班(B 方式) 5 15 20 总计 6 34 40

f ?( x ) ? 1 ?

a x.

2 f ?( x ) ? 1 ? ( x ? 0) x (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x ) ? x ? 2 ln x , ,

? f (1) ? 1, f ?(1) ? ?1 , ? y ? f ( x ) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,
即x? y?2?0.

f ?( x ) ? 1 ?
(Ⅱ)由

a x?a ? ,x ? 0 x x 可知:

? ①当 a ? 0 时, f ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 为 (0, ??) 上的增函数,函数 f ( x ) 无极值; ? ②当 a ? 0 时,由 f ( x ) ? 0 ,解得 x ? a ; x ? (0, a ) 时, f ?( x ) ? 0 , x ? (a, ??) 时, f ?( x ) ? 0

-6-

? f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值,且极小值为 f (a ) ? a ? a ln a ,无极大值.
综上:当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 无极值 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值 a ? a ln a ,无极大值. 21. 解:根据题意,设直线 l 的参数方程为

?x= 10+tcosθ , ? ?y=tsinθ ,
?x=2cosθ , ? 曲线 C? ? ?y=2sinθ

(t 为参数)

化成普通方程得 x2+y2=4.

?x= 10+tcosθ ,代入x2+y2=4得 将? ?y=tsinθ
( 10+tcosθ )2+t2sin2θ =4. 化简整理得 t2+2 10cosθ t+6=0, ∴t1+t2=-2 10cosθ ,t1t2=6. 由题意得|AB|2=|MA||MB|, 而|AB|2=(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1t2, |MA||MB|=|t1t2|=6, 即 40cos2θ -24=6,解得 cosθ =± 1 3 ∴sinθ = ,k=tanθ =± . 2 3 所求直线 l 的方程为 y= 3 30 3 30 x- 或 y=- x+ . 3 3 3 3 3 , 2

?2? ?2? f ( x) ? x 3 ? f ' ? ? x 2 ? x ? C f ' ( x) ? 3x 2 ? 2 f ' ? ? x ? 1 ?3? ?3? 22.【解析】 (1)由 ,得 .



x?

? 2? ? 2? ?2? ?2? 2 f '? ? ? 3 ? ? ? ? 2 f '? ? ? ? ? ?1 ? 3? ?3? ?3? , 3 ,得 ? 3 ?

2

?2? f ' ? ? ? ?1 解之,得 ? 3 ? ,
3 2 (2)因为 f ( x) ? x ? x ? x ? C .

1? ? f ' ( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 1 ? 3? x ? ??x ? 1? 3? ? 从而 ,列表如下:

x

1 (?? , ? ) 3

?

1 3

1 (? , 1) 3

1

(1 , ? ?)

-7-

f ' ( x) f ( x)

+ ↗

0 有极大值

- ↘

0 有极小值

+ ↗

∴ f ( x) 的单调递增区间是

1 (?? , ? ) (1 , ? ? ) 3 和 ;

f ( x) 的单调递减区间是

1 (? , 1) 3 .
x 2 x

(3)函数 g ( x) ? ( f ( x) ? x ) ? e ? (? x ? x ? C) ? e ,
3

(x) ? (?2x ? 1)e ? (? x ? x ? C)e =(–x2– 3 x+C–1)ex, 有g
/ x 2 x

当函数在区间 x ? [?3,2] 上为单调递增时, 等价于 h (x) = –x2– 3 x+C–1?0 在 x ? [?3,2] 上恒成立, 只要 h(2)?0,解得 c ?11, 当函数在区间 x ? [?3,2] 上为单调递减时, 等价于 h (x) = –x2– 3 x+C–1?0 在 x ? [?3,2]

5 9 ? 4 ( c ? 1 ) ? 0 上恒成立, 即 ? = ,解得 c ? – 4 , 5 所以 c 的取值范围是 c ?11 或 c ? – 4 .

-8-


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