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2014-2015高一数学必修一第二章函数学案(11份) 人教课标版5(新教案)


函数的奇偶性(一)

自主学习 学习目标 .掌握函数的奇偶性的定义和判断方法. .理解奇函数和偶函数的图象的特点.

自学导引 .阅读课本内容填写下表:

奇函数()

偶函数()

定义域的特点

关于对称

关于对称

图象特点

关于成中心对称图形

关于成轴对称图形

解析式的特点

.()若奇函数()在=处有定义,则()=.

()有没有既是奇函数又是偶函数的函数?举例说明.

知识点一函数奇偶性的判断
例判断下列函数的奇偶性: ()()=+; ()()=; ()()=+; ()()=.

对点讲练

规律方法()用定义判定函数奇偶性的一般步骤为: ①先求定义域,考查定义域是否关于原点对称; ②有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简,再找(-)与()的关系;判断函数奇 偶性可用的变形形式:若(-)+()=,则()为奇函数;若(-)-()=,则()为偶函数. ()奇(偶)函数的性质 ①()为奇函数,定义域为,若∈,则必有()=; ②在同一个关于原点对称的定义域上, 奇函数+奇函数=奇函数;偶函数+偶函数=偶函数; 奇函数×奇函数=偶函数;偶函数×偶函数=偶函数. 变式迁移判断下列函数的奇偶性: ()()=-; ()()=+--; ()()=+.

知识点二分段函数奇偶性的证明 例已知函数()=(\\(++ ?<?,-+- ?>?)) ,判断()的奇偶性.
规律方法 ()对于分段函数奇偶性的判断,须特别注意与-所满足的对应关系,如>时, ()满足()=-+-,-<满足的不再是()=-+-,而是()=++;
()要对定义域内的自变量都要考察,如本例分为两种情况,如果本例只有()就说(-)=- (),从而判断它是奇函数是错误的、不完整的.
()分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断. 变式迁移判断函数()=(\\(-?>?,?=?,+?<?)) 的奇偶性.
知识点三抽象函数奇偶性的判断 例已知函数(),∈,若对任意实数,都有(+)=()+().求证:()为奇函数.
规律方法抽象函数奇偶性的判定是根据定义,即寻求()与(-)的关系,需根据这样的目 标,认真分析函数所满足的条件式的结构特征,灵活赋值.
变式迁移函数(),∈,且()不恒为.若对于任意实数,,都有(+)+(-)=2f()·().求证:() 为偶函数.
.在奇函数与偶函数的定义域中,都要求∈,-∈,这就是说,一个函数不论是奇函数 还是偶函数,它的定义域都一定关于坐标原点对称.如果一个函数的定义域关于坐标原点不 对称,那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件.
.解题中可以灵活运用()±(-)=对奇偶性作出判断. .奇函数()若在=处有意义,则必有()=.
课时作业

一、选择题 .已知函数()= (≠),则这个函数( ) .是奇函数 .既是奇函数又是偶函数 .是偶函数 .既不是奇函数又不是偶函数 .奇函数=() (∈)的图象必过点( ) .(,(-)) .(-,()) .(-,-()) .函数=(+)(-)为偶函数,则等于( ) .- .-1. . .如图是一个由集合到集合的映射,这个映射表示的是( )

.奇函数而非偶函数 .偶函数而非奇函数 .既是奇函数又是偶函数 .既不是奇函数也不是偶函数 .若()=++ (≠)是偶函数,则()=++是( ) .奇函数.偶函数 .非奇非偶函数.既是奇函数又是偶函数

二、填空题 .已知函数()=++3a+为偶函数,其定义域为[-,2a],则=,=. .下列四个结论:①偶函数的图象一定与纵轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③ 既是奇函数,又是偶函数的函数一定是()= (∈);④偶函数的图象关于轴对称,其中正确的 命题有个. .已知()=+-,且(-)=,则()=.

三、解答题

.判断下列函数的奇偶性.

()()=+; ()()=+;

()()=(\\(+

?>? ?=? ,-- ?<?)) ; ()()=.

.已知()是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意,,()都满足(·) =·()+·().
()求(),(-)的值; ()判断()的奇偶性,并说明理由.

. 函数的奇偶性(一) 答案
自学导引 .原点原点原点轴 (-)=-() (-)=() .() ()有,例如()=,∈[-]. 对点讲练 例解()函数定义域为. (-)=(-)+(-)=-(+)=-(). ∴()是奇函数. ()函数的定义域为{≠-}. 不关于原点对称, ∴函数()既不是奇函数也不是偶函数. ()由(\\(-≥-≥)) ,得=±, 此时()=,∈{-}. ∴()既是奇函数又是偶函数. ()∵(\\(-≥,+-≠,)) ∴()的定义域为[-)∪(], 关于原点对称. 此时()==. 又(-)==-=-(), ∴()=为奇函数. 变式迁移解()既是奇函数,又是偶函数. ∵()=,(-)=. ∴(-)=()且(-)=-(). ()函数的定义域为, ∵(-)=-+---=--+ =-(+--)=-(), ∴()=+--是奇函数. ()由(\\(-≥,-≥,)) 知=, ∴函数()的定义域为{},不关于原点对称. 故()既不是奇函数,也不是偶函数. 例解①当<时,->. (-)=-(-)+(-)- =---=-(). ②当>时,-<,

(-)=(-)+(-)+ =-+=-(-+-)=-(), 综上可知()为奇函数. 变式迁移解当<时,->, (-)=--=-(+)=-(), 当>时,-<, (-)=-+=-(-)=-(), 而()=,∴()是奇函数. 例证明设=,则()=()+(),∴()=. 又设=-,=,则()=(-)+(). ∴(-)=-(). ∴()是奇函数. 变式迁移证明令=,=, 则得()+(-)=2f()()① 又令=,=,得 ()+()=2f()()② 由①、②得(-)=(),∴()是偶函数. 课时作业 . [∵≠,∴(-)===(), ∴()是偶函数.] . [∵=()是奇函数,过(-,(-))点, 而(-)=-() ∴=()过点(-,-()).] . [结合选项,当=时,=-, 显然为偶函数.] . [因为()=,∈{-},满足(-)=±(). 所以该映射表示的既是奇函数又是偶函数.] . [∵()是偶函数,∴(-)=(), 即-+=++,∴=, 此时()=+ (≠), 由于(-)=(-)+(-) =-(+)=-(),∴()是奇函数.]
解析∵()是定义域为[-,2a]的偶函数, ∴-=-2a,∴=. 又(-)=(), 即-++=+++.∴=. . 解析①错误,如偶函数()=的图象与纵坐标轴不相交.

②错误,如奇函数()=不过原点. ③错误,如()=,∈[-],既是奇函数又是偶函数. ④正确. .- 解析∵(-)+()=-,∴()+(-)=-, ∴()=-. .解()定义域为,不关于原点对称. 该函数既不是奇函数也不是偶函数. ()定义域为,关于原点对称,()=,(-)=, ∴(-)≠-(),(-)≠(), 故其既不是奇函数也不是偶函数. ()定义域为,关于原点对称. 当>时,-<, (-)=-(-)-=-(+)=-(); 当<时,->, (-)=(-)+=-(--)=-(); 当=时,()=. 故该函数为奇函数. ()函数的定义域为{∈且≠},不关于原点对称. 所以函数()=既不是奇函数也不是偶函数. .解()∵()对任意,都有 (·)=·()+·(), 令==时,有(·)=·()+·(), ∴()=. 令==-时,有[(-)·(-)] =(-)·(-)+(-)·(-),∴(-)=. ()∵()对任意,都有 (·)=·()+·(),∴令=,=-, 有(-)=-()+·(-). 将(-)=代入得(-)=-(), ∴函数()在(-∞,+∞)上为奇函数.
虽然在学习的过程中会遇到许多不顺心的事,但古人说得好——吃一堑,长一智。多了一次失败,就多了一次教训;多了一次挫折,就多了一次经验。没有失败和挫折的人,是永远不会成功 的。 快乐学习并不是说一味的笑,而是采用学生容易接受的快乐方式把知识灌输到学生的大脑里。因为快乐学习是没有什么大的压力的,人在没有压力的情况下会表现得更好。青春的执迷和 坚持会撑起你的整个世界,愿你做自己生命中的船长,在属于你的海洋中一帆风顺,珍惜生命并感受生活的真谛! 老师知道你的字可以写得更漂亮一些的,对吗,智者千虑,必有一失;愚者 千虑,必有一得,学习必须与实干相结合,学习,就要有灵魂,有精神和有热情,它们支持着你的全部!灵魂,认识到自我存在,认识到你该做的是什么;精神,让你不倒下,让你坚强,让你不 畏困难强敌;热情,就是时刻提醒你,终点就在不远方,只要努力便会成功的声音,他是灵魂与精神的养料,它是力量的源泉。


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