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高考数学复习 参数方程极坐标


参数方程与极坐标
编稿:林景飞 审稿:张扬 责编:严春梅 目标认知 考试大纲要求: 考试大纲要求: 1. 理解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况; 2. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示 点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化; 3. 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方 程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时 选择适当坐标系的意义; 4. 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表 示点的位置的方法相比较,了解它们的区别; 5. 了解参数方程,了解参数的意义,能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参 数方程; 6. 了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程,了解其他摆线的生 成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。

重点、难点: 重点、难点: 1.理解参数方程的概念,了解常用参数方程中参数的意义,掌握参数方程与普通方程 的互化。 2.理解极坐标的概念,掌握极坐标与直角坐标的互化;直线和圆的极坐标方程。 知识要点梳理: 知识要点梳理: 知识点一: 知识点一:极坐标 1.极坐标系
平面内的一条规定有单位长度的射线 , 为极点, 为极轴,选定一个长度单位

和角的正方向(通常取逆时针方向) ,这就构成了极坐标系。

2.极坐标系内一点 平面上一点 序实数对 就叫做点

的极坐标 的距离 称为极径 , 与 轴的夹角 称为极角,有

到极点

的极坐标。 表示非负数;

(1)一般情况下,不特别加以说明时

当 当 使 求的点。 (2)点

时表示极点; 时,点 ,在 的位置这样确定:作射线 的反向延长线上取一点 , ,使得 ,点 即为所

与点



)所表示的是同一个点,即角 与



终边是相同的。 综上所述,在极坐标系中,点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对 应, 即 , , 均表示同一个点.

3. 极坐标与直角坐标的互化 当极坐标系与直角坐标系在特定条件下 (①极点与原点重合; ②极轴与 轴正半轴重合; ③长度单位相同) 平面上一个点 , 的极坐标 和直角坐标 有如下

关系: 直角坐标化极坐标: ;

极坐标化直角坐标:

.

此即在两个坐标系下,同一个点的两种坐标间的互化关系. 直线的极坐标方程: 4. 直线的极坐标方程: (1)过极点倾斜角为 (2)过 的直线: 或写成 及 .

垂直于极轴的直线:

圆的极坐标方程: 5. 圆的极坐标方程: (1)以极点 (2)若 为圆心, , 为半径的圆: ,以 .

为直径的圆:

知识点二:柱坐标系与球坐标系: 知识点二:柱坐标系与球坐标系:

柱坐标系的定义: 1. 柱坐标系的定义:

空间点 球坐标系的定义: 2. 球坐标系的定义:

与柱坐标

之间的变换公式:

空间点

与球坐标

之间的变换公式:

知识点三: 知识点三:参数方程
1. 概念:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 数 的函数: 都是某个变

,并且对于 的每一个允许值,方程所确定的点 么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系

都在这条曲线上,那

间的关系的变数 叫做参变数(简称参数). ,

相对于参数方程来说,前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程 叫做曲线的普通方程。

知识点四: 知识点四:常见曲线的参数方程 1.直线的参数方程
(1)经过定点 ,倾斜角为 的直线 的参数方程为:

( 为参数) ; 其中参数 的几何意义: 点 的距离。 (当 在 上方时, ,有 , 在 ,即 表示直线上任一点 M 到定 )。

下方时,

(2)过定点

,且其斜率为

的直线 的参数方程为:

( 为参数, 其中 的几何意义为:若 2.圆的参数方程 (1)已知圆心为

为为常数, 是直线上一点,则

) ; 。

,半径为 的圆

的参数方程为:

( 是参数,

) ;

特别地当圆心在原点时,其参数方程为

( 是参数) 。

(2)参数 的几何意义为:由 轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的 角。

(3)圆的标准方程明确地指出圆心和半径,圆的一般方程突出方程形式上的特点,圆 的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。 3. 椭圆的参数方程

(1)椭圆



)的参数方程



为参数) 。

(2)参数 的几何意义是椭圆上某一点的离心角。 如图中,点 交大圆即以 对应的角为 为直径的圆于 (过 作 轴, 。

) ,切不可认为是

(3)从数的角度理解,椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。

椭圆

上任意一点可设成



为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。 4. 双曲线的参数方程

双曲线 5. 抛物线的参数方程



,

)的参数方程为

( 为参数) 。

抛物线

(

)的参数方程为

( 是参数) 。

参数 的几何意义为:抛物线上一点与其顶点 圆的渐开线与摆线的参数方程: 6. 圆的渐开线与摆线的参数方程:

连线的斜率的倒数,即



(1)圆的渐开线的参数方程



是参数) ;

(2)摆线的参数方程



是参数) 。

规律方法指导: 规律方法指导: 1、把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法. 常见的消 参方法有:代入消法 ;加减消参;平方和(差)消参法;乘法消参法;比值消参法;利用 恒等式消参法;混合消参法等.
2、把曲线 的普通方程 化为参数方程的关键:一是适当选取参数;二是确

保互化前后方程的等价性, 注意方程中的参数的变化范围。

经典例题精析 类型一: 类型一:极坐标方程与直角坐标方程
1.在极坐标系中,点 关于极点的对称点的坐标是_____ ,关于极轴的对

称点的坐标是_____,关于直线

的对称点的坐标是_______,

思路点拨: 思路点拨:画出极坐标系,结合图形容易确定。 解析: 解析:它们依次是 或 ; ;



).

示意图如下: 总结升华:应用数形结合,抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系,

同时应注意点的极坐标的多值性。 举一反三: 举一反三: 【变式】已知点 ,则点

(1)关于 (2)关于直线 【答案】

对称点 的对称点

的坐标是_______, 的坐标为________ 。

(1)

由 图 知 :

,

, 所 以



(2) 直线 ( )



,所以



2.化下列极坐标方程为直角坐标方程,并说明它是什么曲线。 2.

(1)



(2)



(3)



(4)

.

思路点拨: 思路点拨:依据关系式 解析: 解析: (1)方程变形为 ∴ 或 ,即 , 或

, 对已有方程进行变形、 配凑。



故原方程表示圆心在原点半径分别为 1 和 4 的两个圆。 (2) 变形得 故原方程表示直线 (3) 变形为 , 即 ,即 。 , ,

整理得



故原方程表示中心在

,焦点在 x 轴上的双曲线



(4)变形为 ∴ ,即

, , 。

故原方程表示顶点在原点,开口向上的抛物线

总结升华:极坐标方程化为直角坐标方程,关键是依据关系式 ,把极坐标方程中的 用x、y表示。

举一反三: 举一反三: 【变式 1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程,并说明它们是什么曲线.

(1)



(2)

, 其中



(3) 【答案】 : (1)∵ ,∴

(4)

即 .

,

故原方程表示是圆

(2)∵

,∴



∴ ∴ 或

,∴





故原方程表示圆

和直线

.

(3)由

,得 .



,整理得

故原方程表示抛物线

(4)由



,



,即

故原方程表示圆 【变式 2】圆的直角坐标方程 【 答 案 】 将 .

. 化为极坐标方程为_______________. 代 入 方 程 得

3.求适合下列条件的直线的极坐标方程: 3.

(1)过极点,倾斜角是

; (2)过点

,并且和极轴垂直。 的直线为 .过点

思路点拨: 思路点拨 : 数形结合,利用图形可知过极点倾斜角为 垂直于极轴的直线为 极坐标方程。 解析: 解析:

;或者先写出直角坐标方程,然后再转化成

(1)由图知,所求的极坐标方程为



(2) (方法一)由图知,所求直线的方程为

,即

.

(方法二)由图知,所求直线的方程为

,即

.

总结升华: 总结升华:抓住图形的几何性质,寻找动点的极径与极角所满足的条件,从而可以得到 极坐标方程.也可以先求出直角坐标方程 运用所得的方程形式,可以更简捷地求解. 举一反三: 举一反三:

【变式 1】已知直线的极坐标方程为 ______。

,则极点到该直线的距离是

【答案】 :

。 ,

(方法一)把直线的极坐标方程化为直角坐标方程:

则原点(极点)到该直线的距离是



(方法二) 直线 易知,

是将直线

绕极点顺时针旋转

而得到,

极点到直线的距离为 【变式 2】解下列各题



(1)在极坐标系中,以 切线方程为____; (2)极坐标系中,两圆

为圆心,半径为 1 的圆的方程为____,平行于极轴的



的圆心距为______ ;

(3)极坐标系中圆

的圆心为________。

【答案】 (1) (方法一)



在圆上,则









由余弦定理得



,为圆的极坐标方程。

其平行于极轴的切线方程为 (方法二)





圆心

的直角坐标为



则符合条件的圆方程为



∴圆的极坐标方程:

整理得

,即

.

又圆

的平行于( 轴)极轴的切线方程为:









(2) (方法一)

的圆心为



的圆心为

,∴两圆圆心

距为

.

(方法二)圆 圆

即 即

的圆心为 的圆心为

, ,

∴两圆圆心距为

.

(3) (方法一)令



,∴圆心为



(方法二)圆



的圆心为

,即

.

类型二: 类型二:参数方程与普通方程互化
4.把参数方程化为普通方程

(1) 参数) ;

(

, 为参数);

(2)

(

, 为

(3)

(

, 为参数);

(4)

( 为参数).

思路点拨: 思路点拨: (1)将第二个式子变形后,把第一个式子代入消参; (2)利用三角恒等式进行消参; (3)观察式子的结构,注意到两式中分子分母的结构特点,因而可以采取加减消参的 办法;或把 用 表示,反解出 后再代入另一表达式即可消参; 而已,因而消参方法依旧,但需要注意

(4)此题是(3)题的变式,仅仅是把 换成 、 的范围。 解析: 解析: (1)∵ ;

,把

代入得

又∵

,

,∴ (

, , ,把

, ) 代入得 .

∴ 所求方程为: (2)∵

又∵





,

. ∴ 所求方程为

(

,

).

(3) (法一) :

,

又 ∴ 所求方程为 (

, , ).

,

(法二) 由 : ∴



,代入 (余略).

,

(4)由



,∴

,由



,



时,

;当

时,

,从而

.

法一: 即 ( ) ,故所求方程为 (

, )

法二: 由



,代入



,即

∴再将

代入



,化简得

.

总结升华: 总结升华: 1. 消参的方法主要有代入消参,加减消参,比值消参,平方消参,利用恒等式消参等。 2.消参过程中应注意等价性,即应考虑变量的取值范围,一般来说应分别给出 、 的 范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程,因而可以综合运用求值域的各种方法. 举一反三: 举一反三: 【变式 1】化参数方程为普通方程。

(1) 【答案】 :

(t 为参数) ;

(2)

(t 为参数).

(1)由 ∵ ,∴



,代入 , ( , )

化简得 .

.

故所求方程为

(2)两个式子相除得

,代入



,即

.



,故所求方程为

(

).

【变式 2】 (1)圆

的半径为_________ ;

(2)参数方程

(

表示的曲线为(

) 。

A、双曲线一支,且过点

B、抛物线的一部分,且过点

C、 双曲线一支, 且过点 【答案】 : (1)

D、 抛物线的一部分, 且过点

其中



,∴ 半径为 5。



2







,因而选 B。

【变式 3】 (1)直线 : A、 B、

(t 为参数)的倾斜角为( C、 D、

) 。

(2)

为锐角,直线

的倾斜角(

) 。

A、 【答案】 :

B、

C、

D、

(1) C。

,相除得

,∴倾斜角为

,选

(2)

,相除得





,∴

倾角为

,选 C。

5.已知曲线的参数方程 (1)当 为常数( ), 为参数(





为常数) 。

)时,说明曲线的类型;

(2)当 为常数且

, 为参数时,说明曲线的类型。

思路点拨: 思路点拨:通过消参,化为普通方程,再做判断。

解析: (1)方程可变形为 解析: 取两式的平方和,得 曲线是以 为圆心,

( 为参数, 为常数)

为半径的圆。

(2)方程变形为

( 为参数, 为常数),

两式相除,可得 曲线是过点 且斜率

,即 的直线。

,

总结升华: 总结升华:从本例可以看出:某曲线的参数方程形式完全相同,但选定不同的字母为参 数,则表示的意义也不相同,表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时,一般应标明选 定的字母参数。 举一反三: 举一反三:

【变式】已知圆锥曲线方程为 (1)若 为参数, (2)若



为常数,求此曲线的焦点到准线距离。

为参数, 为常数,求此曲线的离心率。

【答案】(1)方程可化为 :

消去 ,得:

∴曲线是抛物线,焦点到准线距离即为



(2)方程化为



消去

,得



∴曲线为椭圆,其中





,从而



类型三: 类型三:其他应用

6.椭圆

内接矩形面积的最大值为_____________.

思路点拨: 只需求出其中一个点的坐标 思路点拨: 由椭圆的对称性知内接矩形的各边平行于两轴,

就可以用来表示面积,再求出最大值。 解析: 解析:设椭圆上第一象限的点 ,则

当且仅当

时,取最大值,此时点

.

总结升华: 总结升华:利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。 举一反三: 举一反三:

【变式 1】 求椭圆 的坐标。 【答案】 :设

上的点到直线 :

的最小距离及相应的点

到 的距离为

,则



(当且仅当



时取等号) 。

∴点 【变式 2】圆 _______个.

到直线 的最小距离为

, 此时点 上到直线 的距离为

, 即



的点共有

【答案】 :已知圆方程为



设其参数方程为 则圆上的点 为



) 到直线 的距离

,即





又 【变式 3】实数 、 值范围. 【答案】 : (1)由已知 满足

,∴

,从而满足要求的点一共有三个. ,求(1) , (2) 的取



设圆的参数方程为

( 为参数)

∴ ∵ ,∴ ( 2 )



,∴

.


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