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2014学年第一学期十校联合体高三期中联考数学(文)


2014 学年第一学期十校联合体高三期中联考 数 学 试 卷(文)
(满分 150 分,考试时间:120 分钟) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。) 1.设集合 U={1,2,3,4},A={1, 2},B={2,4},则 CU (A ? B) 等于( A.{1,4 } B.{1,3,4} C.{2} ) D.2 ) D.{3} 2.已知复数 z 满足 (1 ? 3i) z ? 1 ? i ,则 | z |? ( A. )

2 2

B.

1 2

C. 2

3.点 P (cos ? , tan ? ) 在第二象限是角 ? 的终边在第三象限的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ?

D.既不充分也不必要条件 )

4.设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ?

5.已知 {an } 是等差数列,其前 n 项和为 S n ,若 a3 ? 7 ? a2 ,则 S 4 =( A.15 B.14 C.13 D.12



6.已知向量 a , b 满足 | a |? 1, | b |? 2, 且(a ? b) ? a, 则向量a 与 b 的夹角为 ( 学。科。网 Z。X。X。

) [来源:

A.300

B.600

C.1200

D.1500

7. 同时具有性质“①最小正周期是 ? ,②图象关于直线 x ? ( ) A. y ? sin( ?

?
3

对称”的一个函数是

x 2

?
6

)

B. y ? cos( x ?

?
3

)

C. y ? cos(2 x ?

?
6

)

D. y ? sin(2 x ?

?
6

)

? x ? y ? 2 ? 0, ? 8.x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 若 z ? y ? ax 取得最大值的最优解不唯一 , 则实数 a ... ?2 x ? y ? 2 ? 0. ?
的值为( ) 高三文科数学试卷 第 1 页 共 8 页

A.

1 或-1 2

B.2 或

1 2

C.2 或 1

D.2 或-1

9.已知函数 f ( x) ? x ? m x ? 5 当 1 ? x ? 9 时, f ( x) ? 1 有解,则实数 m 的取值范围为 ( )

A. m ?

13 3

B. m ? 5

C. m ? 4

D. m ? 5

10.已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? b2 ,若在椭圆 C1 上不存在点 a 2 b2

P,使得由点 P 所作的圆 C 2 的两条切线互相垂直,则椭圆 C1 的离心率的取值范围是 ( A. ? 0, )

? ? ?

2? ? 2 ? ?

B. ? 0,

? ? ?

3? ? 2 ? ?

C. [

2 ,1) 2

D. [

3 ,1) 2

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。) 11.已知角 ? 的终边经过点(-4,3),则 cos ? =__________ 12.某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为____________ 13.设 f ( x) ? ?

?log 3 ( x 2 ? 1), x ? 2 ? , x ?1 ? ?e , x ? 2

则 f ( f (2)) 的值为 14.设直线过点 (0, a ), 其斜率为 1,且与圆 x ? y ? 2 相切,则 a 的值为________
2 2

15.函数 f ( x) ?

4 ? x2 的定义域为______________ ln x

16.已知 f ( x) ? a sin x ? 3 x ? 5 ,若 f ? ? lg ? lg 2 ? ? ? ? 3 ,则 f ?lg(log2 10)? ? ______ 17.已知 f ? x ? 为偶函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? ? x ? 1? ? 1 ,则满足 f ? ? f ? a ?? ? ? 2 的实数 a
2

1

的个数有________个

高三文科数学试卷 第 2 页 共 8 页

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 18.( 本小题满分 14 分 ) 已知 a,b,c 为 △ ABC 的三个内角 A, B, C 的对边,向量 ? B m ? (2sin B,2 ? cos2B) , n ? (2sin 2 ( ? ), ? 1) , m ? n , a ? 3 , b ? 1

4

2

(1)求角 B 的大小;(2)求 c 的值.

中,a7 ? 4, a19 ? 2a9 . 数列 ?bn ?满足 bn ? an ? 2 19.(本小题满分 14 分)等差数列 {an }
(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n 。

2 an

20.(本小题满分 14 分)) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AA1 ⊥底面 ABC , 且△ ABC 为正三角形, AA1 ? AB ? 6 , D 为 AC 的中点. (1)求证:直线 AB1 ∥平面 BC1 D ; (2)求证:平面 BC1 D ⊥平面 ACC1 A1 ; (3)求三棱锥 C ? BC1 D 的体积.

C1 A1 B1

C A D B

高三文科数学试卷 第 3 页 共 8 页

21.(本小题满分 15 分)已知函数 f ?x ? ? x 2 ? ?b ? 1?x ? 1是定义在 ?a ? 2, a? 上的偶函数,

g ?x? ? f ?x? ? x ? t ,其中 a, b, t 均为常数。
(1)求实数 a , b 的值; (2)试讨论函数 y ? g ?x ? 的奇偶性; (3)若 ?

1 1 ? t ? ,求函数 y ? g ?x ? 的最小值。 2 2

22.(本小题满分 15 分)如图,已知抛物线 y ? 2 px? p ? 0? 上点 ?2, a ? 到焦点 F 的距离为
2

3 ,直线 l : my ? x ? t ?t ? 0? 交抛物线 C 于 A, B 两点,且满足 OA ? OB 。圆 E 是以

?? p, p ?为圆心, p 为直径的圆。
(1)求抛物线 C 和圆 E 的方程; (2)设点 M 为圆 E 上的任意一动点,求当 动点 M 到直线 l 的距离最大时的直线方程。

高三文科数学试卷 第 4 页 共 8 页

高三文科数学答案
命题人:龙港高中 蔡南好 13857778601 审核人:温州八高 吕杰富 13587684589 1-5BACCB 11.- 6-10CDDBA 12. 3 3 13.1 17.8 14. ?2

4 5
(1, 2]

15. (0,1)

16.7

2 18.(1) m n ? 0 , 4sin B sin (

?
4

?

则 2sin B[1 ? cos( 所以 sin B ?

?
2

B ) ? cos 2 B ? 2 ? 0 ,??????????3 分 2

? B)] ? cos 2 B ? 2 ? 0 ,??????????5 分

1 ,??????????7 分 2 ? 5? 又 B ? (0, ? ) ,则 B ? 或 ??????????8 分 6 6 ? 又 a>b,所以 B ? ??????????9 分 6
2 2 2 (2)由余弦定理: b ? a ? c ? 2ac cos B ??????????10 分

得 c=2 或 c ? 1 ?????????????????????????14 分 5 338 19. ??????????1 分 ??????????2 分 ??????????3 分

??????????6 分 ??????????7 分 由(1)得 bn ? ?n ? 1?2
n

?????????? ??????????8 分 ??????????

则 Sn ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ?? ?n ? 1?2n ??????????9 分 高三文科数学试卷 第 5 页 共 8 页

2Sn ?

2 ? 22 ? 3? 23 ??? n ? 2n ? ?n ?1?2n?1 ??????????10 分

所以 ? Sn ? 2 ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? ?n ? 1?2n?1 ??????????10 分
2 n ?1 n ?1

? ? 2 ?1 ? 2 ? ? 4? ? ?n ? 1?2 1? 2 ? 4 ? 2 ?2 ? 1? ? ?n ? 1?2
2 n ?1

n ?1

? ?n ? 2 n ?1

??????????13 分

得 Sn ? n ? 2n?1 ????????????????????14 分 20、(1)证明:连接 B1C 交 BC1 于点 O,连接 OD,则点 O 为 B1C 的中点.????1 分 ∵D 为 AC 中点,得 DO 为 ?AB1C 中位线,∴ A1 B // OD .??????????2 分

?OD ? 平面AB1C, A1B ? 平面AB1C

∴直线 AB1∥平面 BC1D ?????????4 分

(2)证明:∵ AA1 ? 底面 ABC ,∴ AA1 ? BD ??????????????5 分 ∵底面 ABC 正三角形,D 是 AC 的中点 ∴BD⊥AC ????????????6 分 ∵ AA1 ? AC ? A ,∴BD⊥平面 ACC1A1 ??????????????7 分
? BD ? 平面BC1D ,?平面BC1D ? 平面ACC1 A1 ???????8 分

(3)由(2)知△ABC 中,BD⊥AC,BD=BCsin60°=3 ∴ S ?BCD = = ????????????10 分

又 CC 1 是底面 BCD 上的高 ????????????11 分 ∴ VC ? BC1D ? VC ?C1BD = ? ?6=9 ?????????13 分

21、解:(1)由题意得 ?

?a ? 2 ? a ? 0 ??????????????2 分 ?b ? 1 ? 0

解得 ?

?a ? 1 ??????????????3 分 ?b ? ?1
2

(2)由(1)得 g ?x? ? x ? x ? t ?1, x ? ?1,1

?

?

高三文科数学试卷 第 6 页 共 8 页

当 t ? 0 时,函数 y ? g ?x ? 为偶函数??????????????????6 分 当 t ? 0 时,函数 y ? g ?x ? 为非奇非偶函数???????????????9 分
2 ? ?x ? x ? t ? 1 , x ? t (3) g ? x ? ? f ? x ? ? x ? t ? ? ?????????????10 分 2 ? ?x ? x ? t ? 1 , x ? t

当 x ? t 时,函数 y ? g ?x ? 在 ?? 1,1? 上单调递增,则 g ?x ? ? g ?t ? ? t 2 ? 1???12 分 当 x ? t 时,函数 y ? g ?x ? 在 ?? 1,1? 上单调递减,则 g ?x ? ? g ?t ? ? t 2 ? 1 ????14 分
2 综上,函数 y ? g ?x ? 的最小值为 t ? 1 。??????????????????15 分

22、解:(1)由题意得 2+

p =3,得 p=2,??????1 分 2

所以抛物线 C 和圆 E 的方程分别为: y 2 ? 4x ;???2 分

?x ? 2?2 ? ? y ? 2?2 ? 1 ??????4 分
(2)设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?

? y 2 ? 4x 联立方程 ? 整理得 y 2 ? 4my ? 4t ? 0 ???????????6 分 ?my ? x ? t ? y1 ? y2 ? 4m 由韦达定理得 ? ??????① ? y1 y2 ? 4t
2 2 则 x1x2 ? ?my 1 ? t ??my 2 ? t ? ? m y1 y2 ? mt( y1 ? y2 ) ? t

???????7 分

由 OA ? OB 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 即 m2 ? 1 y1 y2 ? mt( y1 ? y2 ) ? t 2 ? 0 将①代入上式整理得 t 2 ? 4t ? 0 ????????????????9 分 由 t ? 0 得 t ? ?4 故直线 AB 过定点 N ?4,0? ???????????????????11 分 而圆上动点到直线距离的最大值可以转化为圆心到直线距离的最大值再加上 半径长
高三文科数学试卷 第 7 页 共 8 页

?

?

由 k MN ?

4?2 ? 1 得 kl ? ?1 ?????????????????13 分 0 ? ?? 2 ?

此时的直线方程为 l : y ? ? x ? 4 ,即 x ? y ? 4 ? 0 ?????????15 分

高三文科数学试卷 第 8 页 共 8 页


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