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4.3.1 空间直角坐标系


第四章
圆与方程
4.3.1 空间直角坐标系

数轴上的点
B
-2 -1 A

O

1

2

3

x

数轴上的点可以用 唯一的一个实数表示

平面坐标系中的点
y

y

P (x,y) 平面中的点可以用 有序实数对(x,y) 来表示点

O

x

x

在空间,我们是否可以建立一个坐标系, 使空间中的任意一点都可用对应的有序实数 组表示出来呢?

自学教材P134-135,完成下列问题:

1、空间直角坐标系是如何建立的? 2、如何找出空间点的坐标?

3、特殊位置的点的坐标有何特点?

一、空间直角坐标系:
以单位正方体 OABC ? D?A?B?C ?的 A' 顶点O为原点,分别以射线OA, OC, OD? 的方向为正方向,以 线段OA,OC, OD?的长为单位 x 长度,建立三条数轴:x轴,y轴,
A

z
D'

C'

B'

O
B

C

y

z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系 Oxyz。 点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴, 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分别 称为xoy平面、 yoz平面、和 zox平面.

右手直角坐标系

z

z
y x

O

y

x

空间直角坐标系的画法:
1.x轴与y轴、x轴与z轴均成1350, z

而z轴垂直于y轴.
0 135 2.y轴和z轴的单位长度相同, o

x轴上的单位长度为y轴 (或z轴)的单位长度的一半. x

1350

y

空间直角坐标系中任意 一点的位置如何表示?

空间直角坐标系
设点M是空间的一个定点,过点M分别作垂直 于x 轴、y 轴和z 轴的平面,依次交x 轴、y 轴和z 轴 于点P、Q和R. 设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别 是x,y和z,那么点M就对应唯一确定的有序实数组 (x,y,z). z
R

M
P

O
M’

Q

y

x

空间直角坐标系
反过来,给定有序实数组(x,y,z),我们可以 在x 轴、y 轴和z 轴上依次取坐标为x,y和z的点P、Q 和R,分别过P、Q和R各作一个平面,分别垂直于x 轴、 y 轴和z 轴,这三个平面的唯一交点就是有序实数组 (x,y,z)确定的点M.

z
R

M
P

O
M’

Q

y

x

空间直角坐标系
这样空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y, z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M 在此空 间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z).其中x 叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的 竖坐标. z
R

M
P

O
M’

Q

y

x

四、特殊位置的点的坐标:
z

?
F

C

小提示:坐标轴

?
x

1
O

?
1

E

?

?
D

B y

上的点至少有两个 坐标等于0;坐标面 上的点至少有一个 坐标等于0。

? A1

?

点P的位置 坐标形式

原点

O D

X轴上

A E

Y轴上

B F

Z轴上

C

(0,0,0) (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
Xo Y面内 Yo Z面内 Zo X面内

点P的位置
坐标形式

(x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)

例1:如图
在长方体OABC - D ⅱ A Bⅱ C 中, OA = 3, OC = 4, OD ⅱ = 2, 写出D ,C,Aⅱ ,B 四点的坐标.
z D' A' O B' C'

D’ (0,0,2) C (0,4,0) A’ (3,0,2)
B’ (3,4,2)

C y
x A B

例2:结晶体的基本单位称为晶胞,如
图是食盐晶胞示意图(可看成是八个 棱长为1/2的小正方体堆积成的正方 体),其中红色点代表钠原子,黑点 代表氯原子,如图:建立空间直角坐 标系 O ? xyz 后, z 试写出全部钠原子 所在位置的坐标。
y x

z
P 1 (1, ?1,1)
o

P2 (?1,1,1)
P(1,1,1)

y
x

P 3 (1,1, ?1)

【总一总★成竹在胸】
1、空间直角坐标系的建立; 2、空间中点的坐标(一一对应); 3、特殊位置的点的坐标(表格); 4、空间点的对称问题。

课后活动
1、预习下一节内容。


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