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泷州中学2014-2015学年第二学期期中考试高二理数试题


泷州中学 2014-2015 学年第二学期期中考试高二理数试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1.已知复数 z1=2+i,z2=1+2i,则 z1-z2 在复平面内对应的点位于 ( A.第一 B.第三 C.第二 D.第四 ) ) 象限

2、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60 ? ”时,首先假设 ( A.三个内角都不大于 60 ? C.三个内角至多有一个大于 60 ? 2.设 f(x)=10x+lgx,则 f′(1)等于 ( A.10 B.10ln10+lge C. ) 10 +ln10 ln10 ) D.11ln10 B.三个内角都大于 60 ? D.三个内角至多有两个大于 60 ?

4.函数 f(x)的图像如图所示,下列数值排序正确的是 ( A.0 < f′(2) < f′(3) < f(3)-f(2) B.0 < f′(3) < f(3)-f(2) < f′(2) C.0 < f′(3) < f′(2) < f(3)-f(2) D.0 < f(3)-f(2) < f′(2) < f′(3)

1 5.三角形的面积为 S= r(a+b+c) ,r 为三角形内切圆半径,a、b、c 为三角形三边 2 长,利用类比推理可以得出四面体的体积为( ) 1 1 1 A、V= abc B、V= Sh C、V= (ab+bc+ac)h(h 为四面体的高) 3 3 3 1 D、V= r(S1+S2+S3+S4) , (S1、S2、S3、S4 为四面体四个面的面积,r 为内切球的半径) 3

6.观察按下列顺序排列的等式:9×0+1=1, 9×1+2=11,9×2+3=21, 9×3+4=31,…,猜想第 n (n∈N*)个等式应为 ( A.9(n+1)+n=10n+9 C.9n+(n-1)=10n-9 )

B.9(n-1)+n=10n-9 D.9(n-1)+(n-1)=10n-10

1 7.如图由曲线 f ( x) ? e x 和g ( x) ? ( ) x 及直线x ? 1 所围成阴影 e

图形的面积是 ( 1 A.e+ e

) 1 C.e+ -2 e D.e- 1 e

1 B.e+ -1 e

8.在古希腊毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10,15,21,28,…这些数叫做三角形数, 因为这些数对应的点可以排成一个正三角形

1

3 )
1 (B) n(n ? 1) 2

6

10

15
1 (D) n(n ? 1) 2

则第 n 个三角形数为( (A) n

(C) n 2 ? 1

9.曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是(
( A) 5 (B) 2 5 (C ) 3 5 ( D) 0



10.若函数 f(x)=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调增函数,则( A.m > 3 B. m ≥ 1 3 C.m < 1 3

) D.m < 0

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11、若复数 z1 ? 1 ? i , z2 ? 3 ? i ,则 | z1? z 2 |? ________ 12、变速直线运动的物体的速度为 v(t)=1-t2 (m/s)(其中 t 为时间,单位:s), 则它在前 2 s 内所走过的路程为________ m. 13、 y ? f ( x) 是二次函数, ?1 ? 2i 是方程 f ( x) ? 0 的一根,且 f ?( x) ? 2 x ? 2 . 则 y ? f ( x) 的表达式为______________ 14.函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ?1在闭区间 [0, 3] 上的最大值与最小值的和是 15.由 tan100 ? tan200 ? tan200 ? tan600 ? tan600 ? tan100 ? 1 ,
tan50 ? tan150 ? tan150 ? tan700 ? tan700 ? tan50 ? 1 ,

???,

tan 60 ? tan190 ? tan190 ? tan 650 ? tan 650 ? tan 60 ? 1 ,

可以猜想若 ? ? ? ? ? ? _______ ,且 ? , ? , ? 都不等于 k? ? 则有 tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? 1

?
2

(k ? Z ) ,

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤) 16. (16 分)已知复数 z ? (m2 ? 8m ? 15) ? (m2 ? 9m ? 18)i 在复平面内表示的点为 A, 实数 m 取什么值时, (1)z 为实数; (2)z 为纯虚数; (3)A 位于第三象限; (4)z=0.

17、 (15 分) (1)在复数范围内把多项式 x +4x 分解因式。 (2)在复数范围内解方程: x3 ?1 ? 0; (3)求由曲线 y ? x2 , y ?| x | 围成的平面图形面积.

3

18、 (10 分) (1)已知复数 z 的模等于 2,则 | z ? i | 的最大值; (2) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ,当 x ? 1 时有极值 3 .求 a , b 的值及函数 f(x)的单调区间.

19、 (10 分)如图,一矩形铁皮的长为 8 m,宽为 5 m,在四个角各截去一个大小相 同的小正方形,然后折起,可以制成一个无盖的长方体容器,所得容器的容积 V (单 位: m 3 )是关于截去的小正方形的边长 x (单位: m )的函数. (1)写出容器的容积 V 关于小正方形的边长 x 的 函数解析式; (2)截去的小正方形的边长 x 为多少时,容器的 容积最大?最大容积是多少?

20、 (12 分)已知 0 < a, b, c < 1,求证:a b c (1 ? a) (1 ? b)(1 ? c) ≤

1 . 64

21、 (本题 12 分)已知数列

1 1 1 1 , , ,…, ,…, 1 ? 4 4 ? 7 7 ? 10 (3n ? 2)(3n ? 1)

(1)计算 S1,S2,S3,S4,(2)根据计算结果,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明.


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