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河南省南阳市2017届高三数学下学期期中质量评估试题文


南阳市 2016 年秋期高中三年级期中质量评估 数学试题(文)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {1, 2,3} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0, x ? Z } ,则 A ? B ? ( A. {1} B. {1, 2} C. {0,1, 2,3} ) D. ?1 ? 2i D. {?1, 0,1, 2,3} )

2.设复数 z 满足 z ? i ? 3 ? i ,则 z ? ( A. 3 ? 2i B.

3 ? 2i

C. 1 ? 2i

3.已知向量 a ? (1, m) , b ? (3, ?2) ,且 (a ? b) ? b ,则 m ? ( A. 8 B. 6
2

?

?

? ?

?



C. -6

D. -8
2 2

4.已知不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A , 不等式 x ? x ? 6 ? 0 的解集为 B , 不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 A ? B ,那么 a ? b 等于( A. -3 B. 1 C. -1 ) D.3 )

5.已知等差数列 {an } 前 9 项的和为 27, a10 ? 8 ,则 a100 ? ( A. 97 B. 98 C. 99 D.100

6. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? 5 , c ? 2 , cos A ? A. 2 B.

2 ,则 b ? ( 3



3

C. 2
a

D.3 )

7.在同一直角坐标系中,函数 f ( x) ? x ( x ? 0) , g ( x) ? loga x 的图象可能是(

8.若 a ? b ? 0 , 0 ? c ? 1 ,则( A. c ? c
a b

) C.

B.

a c ? bc

logc a ? logc b

D. loga c ? logb c

1

9.如图是函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图象的一段,它的解析式为( A. C.



2 ? sin(2 x ? ) 3 3 2 ? y ? sin( x ? ) 3 3 y?

2 x ? sin( ? ) 3 2 3 2 2? ) D. y ? sin(2 x ? 3 3
B. y ?

10. O 为平 面上的定点, A, B, C 是平面上不共线的三点,若 (OB ? OC) ? (OB ? OC ? 2OA) ? 0 , 则 ?ABC 是( ) B.以 BC 为底边的等腰三角形 D.以 BC 为斜边 的直角三角形

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

A. 以 AB 为底边的等腰三角形 C. 以 AB 为斜边的直角三角形

11.下面四个图象中, 有一个是函数 f ( x) ? 象,则 f (?1) ? ( )

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? 1(a ? R) 的导函数 y ? f ' ( x) 的图 3

A. ?

1 5 或 3 3

B.

?

1 3

C.
x

5 3

D.

1 3

? x 2 ? (a ? b) x ? 2, x ? 0 12.若 a 满足 x ? lg x ? 4 , b 满足 x ? 10 ? 4 ,函数 f ( x ) ? ? ,则关于 x 的 ?2, x ? 0
方程 f ( x) ? x 的解的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 ) D.4

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.设等比数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1 , a3 ? 4 , Sk ? 63 ,则

k?


2

14.设函数 f ( x ) ? ?

?3 x ? 1, x ? 1 ?2 , x ? 1
x

,则满足 f ( f (a)) ? 2 f ( a ) 的 a 的取值范围是



15.设函数 f ( x) ?

2016 x ?1 ? 2015 ? ? ? 2017sin x( x ?[? , ]) 的最大值为 M ,最小值为 N ,那么 x 2016 ? 1 2 2


M ?N ?

16.某企业生产甲、乙两种产品均需用 A, B 两种原料,已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料 的可用限额如表所示,如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该企业每天可 获得最大利润为 万元.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分) 已知数列 {an } 是首项为 1,公差不为 0 的等差数列,且 a1 , a2 , a5 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ?

1 1 , Sn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求证: S n ? . 2 an an?1

18. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 (1)求角 B 的大小 ; (2)若 b ? 3 ,求 ?ABC 的面积的最大值. 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } ,当 n ? 2 时,满足 1 ? Sn ? an?1 ? an . (1)求该数列的通项公式; (2)令 bn ? (n ?1)an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 20. (本小题满分 12 分)
3 2 设函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,曲线 y ? f ( x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 .

cos B b ?? . cos C 2a ? c

3

(1)若 y ? f ( x) 在 x ? ?2 时有极值,求 f ( x) 的表达式; (2)若函数 y ? f ( x) 在区间 [?2,1] 上单调递增,求实数 b 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分)

? 3x 3x x x ? ,sin ) , b ? (cos , ? sin ) ,且 x ? [0, ] . 2 2 2 2 2 ? ? ? ? (1)求 a ? b 及 | a ? b | ;
已知向量 a ? (cos

?

(2)若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ? 22. (本小题满分 12 分)

? ?

? ?

3 ,求 ? 的值. 2

已知函数 f ( x) ? ax(ln x ? 1) ( a ? R 且 a ? 0 ). (1)求函数 y ? f ( x) 的单调递增区间; (2)当 a ? 0 时,设函数 g ( x) ?

1 3 x ? f ( x) ,函数 h( x) ? g ' ( x) . 6

①若 h( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; ②证明: ln(1? 2 ? 3 ??? n)2e ? 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 (n ? N * ) .

4

试卷答案 一、选择题 1.C 2.B 3.A 4.A 5.B 6.D 7.D 8. C 9. D 10.B 11.A 12.C

x ? Z? , 解析:1. B ? x ? x ? 1?? x ? 2? ? 0 ,x ? Z ? ?x ?1 ? x ? 2 ,

?

?

1? ,∴ A ? B ? ?0 , 1, 2, 3? ,故选 C. ∴ B ? ?0 ,
2.由 z ? i ? 3 ? i 得 z ? 3 ? 2i ,所以 z ? 3 ? 2i ,故选 B. ? ? ? ? ? ? ? ? m ? 2? ,∵ (a ? b) ? b ,∴ (a ? b) ? b ? 12 ? 2(m ? 2) ? 0 解得 m ? 8 ,故选 A. 3. a ? b ? ? 4 , 4.由题意得 A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},A∩B={x|-1<x<2},由根与系数 的关系可知,a=-1,b=-2,∴a+b=-3, 故选 A 5.由等差数列性质可知:
S9 ? 9 ? a1 ? a9 ? 2 ?

,故选 a ? 3 , 9 ? 2a5 5 ? 9a5 ? 27 2

而 a10 ? 8 ,因此公差 d ?
2

a10 ? a5 ?1 10 ? 5

∴ a100 ? a10 ? 90d ? 98 .故选 B.

6.由余弦定理得 5 ? b ? 4 ? 2 ? b ? 2 ?

2 1 ,解得 b ? 3 ( b ? ? 舍去) ,故选 D. 3 3

7.根据对数函数性质知,a>0,所以幂函数是增函数,排除 A(利用(1,1)点也可以排除); 选项 B 从对数函数图像看 a<1,与幂函数图像矛盾;选项 C 从对数函数图像看 a>1, 与幂函数图像矛盾,故选 D. 8.根据指数函数与对数函数的性质分析比较可得, 故选 C. 2 1 π 9.由图像知 A= , T= ,所以 T=π ,所以 ω =2, 3 2 2 7π 3 2π 又由- ×2+φ =2kπ + π ,k∈Z,所以当 k=-1 时,φ = ; 12 2 3 2π ? 2 ? 所以 y= sin?2x+ ?.故选 D. 3 ? 3 ? 10 . 因 为 (O B ?

? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ???? ? 以 C B O) ? C( O ? B 0 ?C 2 ,? O ) 所A0 ?( O ?B ??? ? ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ?2 ( AB ? AC) ? ( AB ? AC) ? 0 , AB ? AC ? 0 , AB ? AC =0 ,即 AB =

? ? ??

? ?? ? ? ?? ? ? ? O ? 0 A ? C ) , ? O 0 A ???? AC ,

?

故选 B. 11.∵f′(x)=x +2ax+a -1,∴f′(x)的图像开口向上. 5 根据图像分析,若图像不过原点,则 a=0,f(-1)= ; 3 若图像过原点,则 a -1=0,又对称轴 x=-a>0,∴a=-1,
2 2 2

5

1 ∴f(-1)=- .故选 A. 3 12.∵a 满足 x+lgx=4,b 满足 x+10 =4, ∴a,b 分别为函数 y=4-x 与函数 y=lgx,y=10 图象交 点的横坐标 由于 y=x 与 y=4-x 图象交点的横坐标为 2,函数 y=lgx,y=10 的图象关于 y=x 对称 ∴a +b=4
x x x

∴函数 f(x)= 当 x≤0 时,关于 x 的方程 f(x)=x,即 x +4x+2=x,即 x +3x+2=0, ∴x=-2 或 x=-1,满足题意 当 x>0 时,关于 x 的方程 f(x)=x,即 x=2,满足题意 ∴关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数是 3 故选 C. 二、填空题 13.6
2 2

?2 ? 14.? ,+∞? ?3 ?

15.4 031
2

16.18

解析:13.设等比数列 ?an ? 公比为 q,由已知 a1=1,a3=4,得 q = =4.又 ?an ? 的各项均为正数, 1-2 k ∴q=2.而 Sk= =63,∴2 -1=63,解得 k=6. 1-2 14.由 f(f(a))=2
f(a)

a3 a1

k

得,f(a)≥1.

2 2 当 a<1 时,有 3a-1≥1,∴a≥ ,∴ ≤a<1. 3 3 当 a≥1 时,有 2 ≥1,∴a≥0,∴a≥1. 15.依题意得,f(x)=2 016-
a

2 综上,a≥ . 3

1 +2 017sin x, 2016 x ? 1

注意到

1 1 ? π π? + = 1 , 且 函 数 f(x) 在 ?- , ? 上 是 增 函 数 ( 注 : 函 数 y = - x ?x ? 2 2? 2016 ? 1 2016 ? 1

1 与 y=2 017sin x x 2016 ? 1

? π π? ?π ? ? π ? 在?- , ?上都是增函数),故 M+N=f? ?+f?- ?=4 032-1=4 031. ? 2 2? ?2? ? 2?
16.设每天生产甲、乙产品分别为 x 吨、y 吨,每天所获利润为

z 万元,则由题意可得,

6

3x+2y≤12, ? ? ?x+2y≤8, ? ?x≥0,y≥0,

z=3x+4y,作出可行域如图阴影部分所示,由图形可知,当直线 z=3x+4y 经

过点 A(2,3)时,z 取最大值,最大值为 3×2+4×3=18.

三、解答题 17.解析: (I)设数列 ?an ? 公差为 d,且 d≠0,∵a1,a2,a5 成等比数列,a1=1 ∴(1+d) =1×(1+4d)解得 d=2,∴an=2n-1.??????????????5 分 (Ⅱ) bn ?
2

1 1 1 1 ? ) = ( an an ?1 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) (1- )+ ( - )+?+ ( 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ) = (1- + - +?+ 2n ? 1 2n ? 1 2 3 3 5 1 1 ) = (12n ? 1 2 1 < ????????????????????????10 分 2
∴Sn=b1+b2+?+bn= 18. 解析:(Ⅰ)∵在△ABC 中, ∴根据正弦定理,得 =﹣ , ,

去分母,得 cosB(2sinA+sinC)=﹣sinBcosC,??? ???????????2 分 即 2cosBsinA+(sinBcosC+cosBsinC)=0,可得 2cosBsinA+sin(B+C)=0, ∵△ABC 中,sinA=sin (B+C) , ∴2cosBsinA+sinA=0,即 sinA(2cosB+1)=0.??????????????4 分 又∵△ABC 中,sinA>0,∴2cosB+1=0,可得 cosB=﹣ . ∵B∈(0,π ) ,∴B= ? . ??????????????????????6 分 (Ⅱ)∵b=3,cosB=cos π =﹣ ,
7

2 3

∴由余弦定理 b =a +c ﹣2accosB,即 9=a +c +ac≥3ac,即 ac≤3, ?????8 分 ∴S△ABC= acsinB≤ ×3× = (当且仅当“a=c”时取“=”号) ,

2

2

2

2

2

则△ABC 面积最大值为

. ?????????????????????12 分

19.解析:(Ⅰ)? 当 n ? 2 时, 1 ? S n ? an?1 ? an ,则 1 ? Sn?1 ? an ? an?1 ,

1 an ?1 .????????????2 分 2 1 又 1 ? S2 ? a1 ? a2即1 ? a1 ? a2 ? a1 ? a2 ? a1 ? , 2
作差得: an?1 ? an?1 ? 2an ? an?1 ,? an ? 由已知 an ? 0 ,?

an 1 ? , an ?1 2

1 1 ? ?an ? 是首项为 ,公比为 的等比数列,???????????????4 分 2 2 1 1 n ?1 1 ? an ? ( ? ) ? n . ???????????????????????6 分 2 2 2 n ?1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得: bn ? n , ????????????????????7 分 2 2 3 4 n n ?1 ?Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ,① 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 ? Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2 2

?Tn ? 3 ?

n?3 . ???????????????????????????12 分 2n
3 2 2

20. 解析:(Ⅰ)由 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 得 f ' ( x) ? 3x ? 2ax ? b ,

y ? f ( x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? f (1) ? f ' (1)(x ? 1) ,
即 y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)(x ? 1) . 而 y ? f ( x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 , 故?

?3 ? 2a ? b ? 3 ?2a ? b ? 0 即? ?1 ? a ? b ? c ? 4 ?a ? b ? c ? 3

?????????????????3 分

8

∵ y ? f ( x) 在 x ? ?2 处有极值,故 f( ' - 2) ? 0, ? -4a ? b ? ?12. 联立解得 a ? 2, b ? ?4, c ? 5,? f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 5 . ?????????6 分 (Ⅱ)因为 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ,由(Ⅰ)知 2a ? b ? 0. ? f ' ( x) ? 3x 2 ? bx ? b , 依题意在 [?2,1] 上恒有 f ' ( x) ? 0 ,即 3x 2 ? bx ? b ? 0 即 b( x ? 1) ? 3x 2 在 [?2,1] 上恒成立. 当 x ? 1 时恒成立;

3x 2 3 ? 3( x ? 1) ? ?6 当 x ? [?2,1) 时, x ? 1 ? [?3,0) , b ? x ?1 x ?1
而 3( x ? 1) ? x ? 1 ? ?6(? x ? 1 ? [?3,0)) 当且仅当 x ? 0 时成立

?????8 分

3

? 3( x ? 1) ?

3 ?6?0 x ?1 3 ? 6 恒成立,只须 b ? 0 . ?????????????11 分 x ?1
????????????????????12 分

要使 b ? 3( x ? 1) ?

所以实数 b 的取值范围 ?0, ??? 21.解析:(Ⅰ)a·b=cos |a+b|= a +2a·b+b
2 2

3x x 3x x ·cos -sin ·sin =cos 2x. ??????2 分 2 2 2 2

= 2+2cos 2x=2 cos x=2|cos x|. ????????????????4 分

2

? π? ∵x∈?0, ?,∴cos x≥0, 2? ?
∴|a+b|=2cos x. ??????????????????????6 分

(Ⅱ)f(x)=cos 2x-4λ cos x, 即 f(x)=2(cos x-λ ) - 1-2λ . ??????????????????7 分
2 2

? π? ∵x∈?0, ?,∴0≤cos x≤1. 2? ?
①当 λ <0 时,当且仅当 cos x=0 时,f(x)取得最小值-1,这与已知矛盾. ②当 0≤λ ≤1 时,当且仅当 cosx=λ 时,f(x)取得最小值-1-2λ , 3 1 2 即-1-2λ =- ,解得 λ = . 2 2 ③当 λ >1 时,当且仅当 cos x=1 时,f(x)取得最小值 1-4λ , 3 5 即 1-4λ =- ,解得 λ = ,这与 λ >1 相矛盾. ????????????11 分 2 8
2

9

1 综上所述,λ = 即为所求.??????????????????????12 分 2 22.解析:(Ⅰ)∵ f ( x) ? ax(ln x ? 1) ,∴x>0 又? f ? ? x ? ? a ?? ln x ? 1? ? x ? ? ? a ln x , x ???????????1 分

? ?

1? ?

???????????2 分

令 f ? ? x? ? 0 , 当 a ? 0 时,解得 x ? 1 ;当 a ? 0 时,解得 0 ? x ? 1 , ??????????3 分 所以当 a ? 0 时,函数 y ? f ? x ? 的单调递增区间是 ?1, ?? ? ; 当 a ? 0 时,函数 y ? f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0,1? .???????????4 分 (Ⅱ)(1)? h( x) ? g ?( x) ? 因为 h? ? x ? ? x ?

1 2 1 x ? f ?( x) ? x 2 ? a ln x ,由题意得 h ? x ?min ? 0 , 2 2

a x 2 ? a ( x ? a )( x ? a ) ? , ? x x x

所以当 x ? (0, a ) 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递减; 当 x ? ( a , ??) 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增; ???????????6 分

? h( x) min ? h( a ) ?


1 a ? a ln a , 2

1 a ? a ln a ? 0 ,得 ln a ? 1 ,解得 0 ? a ? e , 2

所以实数 a 的取值范围是 ? 0,e? .????????????????????8 分 (2)由(1)知 a ? e 时, h ? x ? ? 当x?

1 2 x ? e ln x ? 0 在 x ? ? 0, ??? 上恒成立, 2

e 时等号成立,

? x ? N* 时, 2eln x ? x2 ,令 x ? 1, 2,3 ???, n ,累加可得

2e ? ln1 ? ln 2 ? ln3 ??? ln n? ? 12 ? 22 ? 32 ??? n2 ,
即 ln ?1? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2e

? 12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2 , ? n ? N * ? .????????12 分

10


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