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2018j届高三数学一轮复习第六章第5讲直接证明与间接证明


第六章

不等式、推理与证明

第5讲

直接证明与间接证明

第六章

不等式、推理与证明

1.直接证明 (1)综合法 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的 推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫 做综合法. (2)分析法 结论 出发,逐步寻求使它成立的__________ 充分条件 直至最后,把 从______ 要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 ( 已知条件、定 理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.
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第六章

不等式、推理与证明

2.间接证明

不成立 ,经过正确的推理,最后得出 (1)反证法:假设原命题________ 矛盾 ,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的 ______
证明方法叫做反证法. (2)反证法中的矛盾主要是指: ①与假设矛盾; ②与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾; ③与公认的简单事实矛盾; ④与题设矛盾.
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不等式、推理与证明

1.在不等边三角形中,a 为最大边,要想得到∠A 为钝角的结 2 2 2 a > b + c 论,三边 a,b,c 应满足________.

b2+c2-a2 [解析] 由余弦定理 cos A= <0,所以 b2+c2-a2<0, 2bc 即 a2>b2+c2.

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不等式、推理与证明

1 1 x y 2.已知 a、b、x、y∈(0,+∞)且a>b,x>y,则 与 的 x + a y + b x y > x+a y+b . 大小关系为___________

x y [解析] 要比较 与 的大小, x+a y+b 只需看 x(y+b)与 y(x+a)的大小. 1 1 即 xb 与 ya 的大小,而a>b,x>y 且 x、y、a、b∈(0,+∞), x y 所以 a<b,y<x,所以 xb>ya,所以 > . x+a y+b
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不等式、推理与证明

3.用反证法证明“如果 a>b,那么 a3>b3”时假设的内容为
3 3 a ≤ b ________.

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不等式、推理与证明

1.必明辨的 2 个易错点 (1)用分析法证明问题,要证、即证、也就是证…这些联结词一 定要有. (2)利用反证法证明数学问题时,没有用假设命题推理而推出矛 盾结果,其推理过程是错误的.

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不等式、推理与证明

2.必会的 3 种方法 (1)综合法证题的一般规律 用综合法证明命题时,必须要找到正确的出发点,也就是能想 到从哪里起步,我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所 具备的各种性质,逐层推进,从而由已知逐步推出结论. (2)分析法证题的一般规律 分析法的思路是逆向思维,用分析法证题必须从结论出发,倒 着分析,寻找结论成立的充分条件.应用分析法证明问题时要 严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件.
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不等式、推理与证明

(3)反证法证题的一般规律 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依 据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是:或者是 A,或者 是非 A.即在同一讨论过程中, A 和非 A 有且仅有一个是正确的, 不能有第三种情况出现.

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1.已知

2 2 ?a+mb? a + mb ?2 m>0,a,b∈R,用分析法证明:? ? 1+m ? ≤ 1+m . ? ?

[证明] 因为 m>0,所以 1+m>0. 所以要证原不等式成立, 只需证(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2), 即证 m(a2-2ab+b2)≥0,即证(a-b)2≥0, 而(a-b)2≥0 显然成立, 故原不等式得证.

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不等式、推理与证明

2.已知非零实数 a、b、c 成公差不为零的等差数列,用反证法 1 1 2 证明: + ≠ . a c b

1 1 2 4ac [证明] 假设a+ c=b,则 2b= .又 2b=a+c, a+ c 所以(a+c)2=4ac,即(a-c)2=0, 所以 a=c, 又 c-a=2d, 所以公差 d=0, 与已知 d≠0 相矛盾. 1 1 2 所以a+c ≠b.

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不等式、推理与证明

综合法 (2017· 武汉模拟)已知函数 f(x)=(λx+1)ln x-x+1. (1)若 λ=0,求 f(x)的最大值; (2)若曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与直线 x+y+1=0 垂直, f(x) 证明: >0. x-1

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不等式、推理与证明

【解】

(1)f(x)的定义域为(0,+∞).

当 λ=0 时,f(x)=ln x-x+1. 1 则 f′(x)= -1,令 f′(x)=0,解得 x=1. x 当 0<x<1 时,f′(x)>0,所以 f(x)在(0,1)上是增函数; 当 x>1 时,f′(x)<0,所以 f(x)在(1,+∞)上是减函数. 故 f(x)在 x=1 处取得最大值 f(1)=0.

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不等式、推理与证明

λx+1 (2)证明:由题可得,f′(x)=λln x+ -1. x 由题设条件,得 f′(1)=1,即 λ=1. 所以 f(x)=(x+1)ln x-x+1. 由(1)知,ln x-x+1<0(x>0,且 x≠1). 当 0<x<1 时, f(x)=(x+1)ln x-x+1=xln x+(ln x-x+1)<0, f(x) 所以 >0. x-1

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不等式、推理与证明

当 x>1 时,f(x)=ln x+(xln x-x+1) =ln
? x-x?ln ? ? 1 1 f(x) ? - +1 >0,所以 >0. x x ? x-1

f(x) 综上可知, >0. x-1

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不等式、推理与证明

综合法的证题思路 (1)综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知 (从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已 知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列中间推理,最 后导出所要求证结论的真实性. (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.

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不等式、推理与证明

在△ABC 中,设 a,b,c 分别是内角 A,B, C 所对的边, 且直线 bx+ycos A+cos B=0 与 ax+ycos B+cos A =0 平行,求证:△ABC 是直角三角形.

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不等式、推理与证明

[证明] 法一:由两直线平行可知 bcos B-acos A=0, 由正弦定理可知 sin Bcos B-sin Acos A=0, 1 1 即 sin 2B- sin 2A=0,故 2A=2B 或 2A+2B=π, 2 2 π 即 A=B 或 A+B= . 2 若 A=B,则 a=b,cos A=cos B,两直线重合,不符合题意, π 故 A+B= ,即△ABC 是直角三角形. 2

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不等式、推理与证明

法二:由两直线平行可知 bcos B-acos A=0, a2+c2-b2 b2+c2-a2 , =b· 由余弦定理,得 a· 2ac 2bc 所以 a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 所以 c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2), 所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, 所以 a=b 或 a2+b2=c2. 若 a=b,则两直线重合,不符合题意, 故 a2+b2=c2,即△ABC 是直角三角形.
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不等式、推理与证明

分析法 设 a、b、c 均为大于 1 的正数,且 ab=10,求证:logac +logbc≥4lg c. 【证明】 由于 a>1, b>1, c>1, 故要证明 logac+logbc≥4lg c,

lg a+lg b lg c lg c 只要证明 + ≥4lg c,即 ≥4,因为 ab=10,故 lg a lg b lg a·lg b 1 lg a+lg b=1.只要证明 ≥ 4, 由于 a>1, b>1, 故 lg a>0, lg a·lg b lg b>0, 所以 0<lg a· lg
?lg b≤? ? ?

a+lg b? 1?2 1 1 ?2 ? ? ? =2 = , 即 ≥ ? 4 ? ? 2 lg a·lg b ?

4 成立.所以原不等式成立.
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不等式、推理与证明

分析法的证明思路 分析法是数学中常用到的一种直接证明方法, 就证明过程来讲, 它是一种从未知到已知 (从结论到题设)的逻辑推理方法.具体 地说,即先假设所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证 此结论成立的充分条件,而最后当这些判断恰恰都是已证的命 题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时 命题得证.

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不等式、推理与证明

已知函数 f(x) = tan
? π? x2∈?0,2 ?,且 ? ?

? π? x , x∈ ?0,2 ? ,若 ? ?

x1 ,

?x1+x2? 1 ? ? x1≠x2,用分析法证明: [f(x1)+f(x2)]>f? ?. 2 2 ? ?

?x1+x2? 1 ? [证明] 要证 [f(x1)+f(x2)]>f? ? 2 ?, 2 ? ?

x1+x2 1 即证明 (tan x1+tan x2)>tan , 2 2 x1+x2 1? sin x1 sin x2 ? ? ? 只需证明 cos x +cos x >tan , 2? 2 1 2? sin(x1+x2) sin(x1+x2) 只需证明 > . 2cos x1cos x2 1+cos(x1+x2)
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不等式、推理与证明

由于

? π? x1,x2∈?0,2 ?,故 ? ?

x1+x2∈(0,π).

所以 cos x1cos x2>0,sin(x1+x2)>0,1+cos(x1+x2)>0, 故只需证明 1+cos(x1+x2)>2cos x1cos x2, 即证 1+cos x1cos x2-sin x1sin x2>2cos x1cos x2, 即证 cos(x1-x2)<1.由
? π? x1,x2∈?0,2 ?,x1≠x2 知上式显然成立, ? ?

?x1+x2? 1 ? ? 因此, [f(x1)+f(x2)]>f? . ? 2 ? 2 ?

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不等式、推理与证明

反证法 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+Sn=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.

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不等式、推理与证明

【解】

(1)当 n=1 时,a1+S1=2a1=2,则 a1=1.

又 an+Sn=2, 所以 an+1+Sn+1=2, 1 两式相减得 an+1= an, 2 1 所以{an}是首项为 1,公比为 的等比数列, 2 所以 an= 2n 1
-1

.

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(2)证明:假设存在三项按原来顺序成等差数列, 记为 ap+1,aq+1,ar+1(p<q<r,且 p,q,r∈N*), 1 1 1 则 2· q= p+ r, 2 2 2 所以 2· 2r-q=2r-p+1.(*) 又因为 p<q<r, 所以 r-q,r-p∈N*. 所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不等立. 所以假设不成立,原命题得证.
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不等式、推理与证明

(1)用反证法证明问题需注意的三点 ①必须先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多 样性时,必须要罗列出各种可能结论,缺少任何一种可能,反 证都是不完全的; ②反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条 件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否定结论,不从 结论的反面出发进行推理,就不是反证法;

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不等式、推理与证明

③推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设 矛盾,有的与简单事实矛盾等,推导出的矛盾必须是明显的. (2)常见的“结论词”与“反设词”如下 原结论词 至少有一个 至多有一个 反设词 一个也没有 至少有两个 原结论词 对所有 x 成立 反设词 存在某个 x 不成立

对任意 x 不成立 存在某个 x 成立 p或q p且q ?p 且?q ?p 或?q
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至少有 n 个 至多有 n-1 个 至多有 n 个 至少有 n+1 个

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不等式、推理与证明

已知 f(x)=ax2+bx+c,若 a+c=0,f(x)在
?b? 5 [-1,1]上的最大值为 2,最小值为- .求证:a≠0 且?a?<2. 2 ? ? ?b? [证明] 假设 a=0 或?a?≥2. ? ?

(1)当 a=0 时,由 a+c=0,得 f(x)=bx,显然 b≠0. 由题意得 f(x)=bx 在[-1,1]上是单调函数, 所以 f(x)的最大值为|b|,最小值为-|b|. 5 1 由已知条件,得|b|+(-|b|)=2- =- , 2 2 这与|b|+(-|b|)=0 相矛盾,所以 a≠0.
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不等式、推理与证明

?b? (2)当?a?≥2 ? ?

b 时,由二次函数的对称轴为 x=- , 2a

知 f(x)在[-1, 1]上是单调函数, 故其最值在区间的端点处取得. 5 f(1)=a+b+c=2, ? ? ? ?f(1)=a+b+c=- , 2 所以? 5 或? f(-1)=a-b+c=- , ?f(-1)=a-b+c=2. ? 2 ? ? 又 a+c=0,则此时 b 由(1)(2),得 a≠0
?b? 无解,所以?a?<2. ? ?

?b? 且?a?<2. ? ?

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不等式、推理与证明

——转化化归思想在求解综合问题中的应用 设函数 f(x)=xn+bx+c(n∈N*,b,c∈R). (1)设
?1 ? n≥2,b=1,c=-1,证明:f(x)在区间?2,1?内存在唯一 ? ?

零点; (2)设 n 为偶数,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求 b+3c 的最小值和最 大值.

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不等式、推理与证明

【解】

(1)证明:当 b=1,c=-1,n≥2 时,

f(x)=xn+x-1. 因为 又当 所以 所以
?1? ?1 1? f?2?f(1)=?2n-2?×1<0,所以 ? ? ? ? ?1 ? f(x)在?2,1?内存在零点. ? ?

?1 ? x∈?2,1?时,f′(x)=nxn-1+1>0, ? ? ?1 ? f(x)在?2,1?上是单调递增的, ? ? ?1 ? f(x)在?2,1?内存在唯一零点. ? ?

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(2)法一:由题意知
? ?-1≤f(-1)≤1, ? ?0≤b-c≤2, ? 即? ? ? ?-1≤f(1)≤1, ?-2≤b+c≤0.

由图象知,b+3c 在点(0,-2)处取到最小值 -6,在点(0,0)处取到最大值 0, 故 b+3c 的最小值为-6,最大值为 0.

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不等式、推理与证明

法二:由题意知-1≤f(1)=1+b+c≤1, 即-2≤b+c≤0, -1≤f(-1)=1-b+c≤1, 即-2≤-b+c≤0, ①×2+②得 -6≤2(b+c)+(-b+c)=b+3c≤0, 当 b=0,c=-2 时,b+3c=-6; 当 b=c=0 时,b+3c=0, 所以 b+3c 的最小值为-6,最大值为 0.
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不等式、推理与证明

? ?f(-1)=1-b+c, 法三:由题意知? ? ?f(1)=1+b+c,

f(1)-f(-1) f(1)+f(-1)-2 解得 b= ,c= , 2 2 所以 b+3c=2f(1)+f(-1)-3. 又因为-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1, 所以-6≤b+3c≤0, 当 b=0,c=-2 时,b+3c=-6; 当 b=c=0 时,b+3c=0, 所以 b+3c 的最小值为-6,最大值为 0.
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不等式、推理与证明

综合法和分析法证明问题,江苏高考一般不会 单独命题,不等式证明一般会和函数、数列等知识交汇,在选 择证明方法时,一定要有“综合性选取”的意识,明确数学证 明方法不是孤立的,在实际解题时,常常把分析法和综合法结 合起来运用,先以分析法为主寻求解题思路,再用综合法表述 解答或证明过程.

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不等式、推理与证明

已知函数 f(x)=x+1,设 g1(x)=f(x),gn(x)= f(gn-1(x))(n>1,n∈N*). (1)求 g2(x),g3(x)的表达式,并猜想 gn(x)(n∈N*)的表达式(直接 写出猜想结果); (2)若关于 x 的函数 y=x + ? gi(x)(n∈N*)在区间(-∞,-1]上
2 i= 1 n

的最小值为 6,求 n 的值.(符号“ ? ”表示求和,例如: ? i
i= 1 i= 1

n

n

=1+2+3+…+n)
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不等式、推理与证明

[解] (1)因为 g1(x)=f(x)=x+1, 所以 g2(x)=f(g1(x))=f(x+1)=(x+1)+1=x+2, g3(x)=f(g2(x))=f(x+2)=(x+2)+1=x+3, 所以猜想 gn(x)=x+n. (2)因为 gn(x)=x+n, n(n+1) 所以 ?gi(x)=g1(x)+g2(x)+…+gn(x)=nx+ , 2 i= 1
n 2 ? ? n ( n + 1) n +2n n 2 2 2 所以 y=x + ?gi(x)=x +nx+ =?x+2 ? + , 2 4 ? ? i= 1 n

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不等式、推理与证明

2 ? n?2 n +2n n ①当- ≥-1,即 n≤2 时,函数 y=?x+ 2 ? + 在区间 2 4 ? ?

(-∞,-1]上是减函数, n2-n+2 所以当 x=-1 时,ymin= =6,即 n2-n-10=0,该方 2 程没有整数解; n2+2n n ②当- <-1,即 n>2 时,ymin= =6,解得 n=4, 2 4 综上所述,n=4.

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