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2016届艺术班高考文科数学复习讲义


复习讲义
第 1 讲 集合
【基础知识】 一、集合有关概念 1、集合中元素的特性:1.确定性; 2.互异性; 3.无序性 2、常用数集及其记法:自然数集 二、集合间的基本关系 1.子集: A ? B .任何一个集合是它本身的子集。A?A 2.集合相等: A=B 3.真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A ? B(或 B ? A) 4. 空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为 ? 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集的定义: A ? B ? {x | x ? A,且x ? B} . 2、并集的定义:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. 3、补集: CS A ? {x | x ? S , 且x ? A} 性质: A ? B ? A ? 四、集合中元素的个数的计算: 若集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 的所有子集个数为______,所有真子集的个数是______,所有非空 真子集的个数是 。 ; A? B ? A ? ; ;正整数集 ;整数集 ;有理数集 、实数集 。

五、范例学习 [例 1] (1)设集合 A={1,2,3}, B={4,5}, M={x|x=a+b, a∈A, b∈B}, 则 M 中元素的个数为( A.3 B.4 C.5 D. 6 )

(2)若集合 A={x∈R|ax -3x+2=0}中只有一个元素,则 a=(
第1页

2

)

A.

9 2

B.

9 8

C.0

9 D.0 或 8

[例 2] (1)已知集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 B? A,则实数 m 的取值范围为 ________.

[例 3] (2014·重庆高考)设全集 U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(? UA)∩ B=________.

[例 4] (2014·山东高考)设集合 A={x|x -2x<0},B={x|1≤x≤4},则 A∩B=( A.(0,2] B.(1,2) C.[1,2) D.(1,4)

2

)

[例 5] 设全集 U=M ∪ N={1,2,3,4,5},M ∩ ? UN={2,4},则 N=( A.{1,2,3} B.{1,3,5} C.{1,4,5} D.{2,3,4}

)

[例 6] 已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B=(-1,n),则 m =________,n=________.

第2页

【基础训练】

1、(2013·四川高考文科)设集合 A ? {1, 2,3} ,集合 B ? {?2, 2} ,则 A ? B ? (



A. ?

B. {2}

C. {?2, 2}

D. {?2,1, 2,3}

2、(2010·福建高考文科)若集合 A ? x 1 ? x ? 3 , B ? x x ? 2 ,则 A ? B 等于 ( (A) x 2 ? x ? 3

?

?

?

?



?

?

(B) x x ? 1

?

?

(C) x 2 ? x ? 3

?

?

(D) x x ? 2

?

?
)

3、(2011·全国)已知集合 M ? ?0,1,2,3,4?, N ? ?1,3,5?, P ? M ? N , 则 P 的子集共有( (A)2 个 (B)4 个 (C)6 个 (D)8 个

4、(2010·湖南高考文科)已知集合 A={1,2,3},B={2,m,4},A∩B={2,3},则 m=

.

【典例分析】

2 1、(2010·北京高考文科)集合 P ? {x ? Z 0 ? x ? 3}, M ? {x ? Z x ? 9} ,则 P ? M = (



(A) {1,2}

(B) {0,1,2}

(C){1,2,3}

(D){0,1,2,3}

2、(2010·安徽高考文科)若 A= ?x | x ? 1 ? 0? ,B= ?x | x ? 3 ? 0? ,则 A ? B =( (A)(-1,+∞) (B)(-∞,3) (C)(-1,3)

) (D)(1,3) )

3. (2013·北京高考文科)已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则 A∩B= (

A.{0}

B.{-1,0}

C.{0,1}

D.{-1,0,1}

4、 (2011· 广东) 已知集合 A=( B= {( x, y ) | x, y为实数 , 且x ? y ? 1} , { x, y) | x, y为实数 , 且x 2 ? y 2 ? 1} , 则 A ? B 的元素个数为( (A)4 【提高训练】 ) (B)3 (C)2 (D)1

2, 3, 4} ,集合 A ? {1, 2}, B ? {2, 3} ,则 CU ? A ? B? ? ( 1、 (2013·重庆高考文科)已知全集 U ? {1,
3, 4} A. {1, 4} B. { 3,
C. { 3}
)

)

D. { 4 }

2、(2013·浙江高考文科)设集合 S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则 S∩T=(

A.[-4,+∞)

B.(-2,+∞)

C.[-4,1]

D.(-2,1]

第3页

3、(2012·湖南高考文科)设集合 M={-1,0,1},N={x|x =x},则 M∩N=( (A){-1,0,1} (B){0,1} (C){1}

2

) (D){0}

4、(2013·安徽高考文科)已知 A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则( CR A)∩B=(



A.{-2,-1}

B.{-2}

C.{-2,0,1}

D.{0,1}

5、(2011·山东高考文科)设集合 M ={x|x +x-6<0},N ={x|1≤x≤3},则 M∩N =( (A)[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3]

2



6、(2013·天津高考文科)已知集合 A={x∈R ||x|≤2},B={x∈R |x≤1},则 A∩B=

(

)

A.(-∞,2]

B.[1,2]

C.[-2,2]

D.[-2,1]

第4页

第 2 讲 常用逻辑用语
【基础知识】 1、四种命题及其关系:
原命题 若p, 则q 逆命题 若q, 则p

否命题 若非p, 则非q

逆否命题 若非q, 则非p

2、充分条件与必要条件 一般地,如果 p ? q ,那么称 p 是 q 的充分条件;同时称 q 是 p 的必要条件. 从集合观点看,若 A ? B,则 A 是 B 的充分条件,B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A、B 互为充要条件. 3、简单的逻辑联结词 (1)P 或 q: p ? q (2)p 且 q: p ? q (3) 非 p: ?p

4、全称量词与存在量词 ⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等,用 ? 表示; 全称命题 p: ?x ? M , p( x ) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x ) 。 ⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等,用 ? 表示; 特称命题 p: ?x ? M , p( x ) ; 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x ) 【基础训练】 1. 命题“若 a ? b ,则 a ? 1 ? b ? 1 ”的否命题 是( ... )

A. 若 a ? b ,则 a ? 1 ? b ? 1 C. 若 a ? b ,则 a ? 1 ? b ? 1

B. 若 a ? b ,则 a ? 1 ? b ? 1 D. 若 a ? b ,则 a ? 1 ? b ? 1
) (D) 若 p 则 ?q

2.(2012·重庆高考文科)命题“若 p 则 q ”的逆命题是( (A)若 q 则 p (B) 若 ?p 则 ?q

(C) 若 ?q 则 ?p

3、(2012·湖南高考文科)命题“若α=

? ,则 tanα≠1 4 ? (C)若 tanα≠1,则α≠ 4
(A)若α≠

? ,则 tanα=1”的逆否命题是( ) 4 ? (B)若α= ,则 tanα≠1 4 ? (D)若 tanα≠1,则α= 4

第5页

4、(2011·福建卷文科)若 a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( (A)充分而不必要条件 【典例分析】 (B)必要而不充分条件

) (D)既不充分又不必要条件

(C)充要条件

2 1、(2013·重庆高考文科)命题“对任意 x ? R ,都有 x ? 0 ”的否定为(

)

2 A.存在 x0 ? R ,使得 x0 ?0 2 C.存在 x0 ? R ,使得 x0 ?0

B.对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 0 D.不存在 x ? R ,使得 x 2 ? 0


2、命题“若 f ( x) 是奇函数,则 f ( ? x ) 是奇函数”的否命题是(

A. 若 f ( x) 是偶函数,则 f ( ? x ) 是偶函数 C. 若 f ( ? x ) 是奇函数,则 f ( x) 是奇函数

B. 若 f ( x) 不是奇函数,则 f ( ? x ) 不是奇函数 D. 若 f ( ? x ) 不是奇函数,则 f ( x) 不是奇函数
( )

3、(2013·安徽高考文科)“ (2 x - 1) x = 0 ”是“ x = 0 ”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件


D.既不充分也不必要条件

4、(2013·湖南高考文科) “1<x<2”是“x<2”成立的(

A.充分不必要条件
【提高训练】

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

1、(2012·湖北高考文科)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( (A)任意一个有理数,它的平方是有理数 (C)存在一个有理数,它的平方是有理数



(B)任意一个无理数,它的平方不是有理数 (D)存在一个无理数,它的平方不是有理数

2、设 a , b 是向量,命题“若 a ? ?b ,则 | a |?| b | ”的逆命题是( )

A. 若 a ? ?b ,则 | a |?| b | C. 若 | a |?| b | ,则 a ? ?b

B. 若 a ? ?b ,则 | a |?| b | D. 若 | a |?| b | ,则 a ? ?b
)

3、(2011·湖南高考文科)“x>1”是“|x|>1”的( (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件 )

4、(2010·湖南高考文科) 下列命题中的假命题是( (A) ?x ? R,lg x ? 0 (C) ?x ? R, x3 ? 0

(B) ?x ? R, tan x ? 1 (D) ?x ? R, 2 x ? 0

第6页

第 3 讲 函数及其性质
【基础知识】 1、函数的概念。 2、函数的三要素: 3、函数的性质: (1)单调性: (2)奇偶性: , , 。

f(x) =f(-x) ? f(x)为偶函数 ? 图像关于 f(x) =-f(-x) ? f(x)为奇函数 ? 图像关于
(3)周期性: f(x+T)=f(x),则 T 为函数 f(x)的周 期 周期性的三个常用结论, 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a; (2)若 f(x+a)= 1 ,则 T=2a; f(x) 1 ,则 T=2a.(a>0) f(x)

对称; 对称。

(3)若 f(x+a)=-

4 函数的定义域 函数表达式有意义的准则一般有: (1)分式中的分母不为 0; (2)(2)偶次根式的被开方数非负; 0 (3)(3)y=x 要求 x≠0; (4)(4)对数式中的真数大于 0,底数大于 0 且不等于 1.

[例 1] (1)函数 f(x)=

2 -1+

x

1

x-2

的定义域为(

)

A.(2,+∞] B.(-2,1] C.(-∞,-2)∪(-2,0] D.[2,+∞)

(2)已知函数 f(x -1)的定义域为[0,3],则函数 y=f(x)的定义域为________

2

第7页

[例 2] (1)已知 f(2x+1)=4x +2x+1,求 f(x)的解析式;

2

?1? (2)已知 f(x)满足 2f(x)+f? ?=3x,求 f(x)的解析式. ?x?

[例 3] (1)(2014·湖南高考)已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x) 2 =x +x +1,则 f(1)+g(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3
3

(2)(2013·重庆高考)已知函数 f(x)=ax +bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则 f(lg(lg 2)) =( ) A.-5 B.-1 C.3 D.4

3

[例 4]

(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若 f(x-1)>0,则 x

的取值范围是________.

[例 5]

(2014·安徽高考)若函数 f(x)(x∈R) 是周期为 4 的奇函数,且在[0,2] 上的解析式为 f(x)=

? ?x(1-x),0≤x≤1, ?29? ?41? ? 则 f? ?+f? ?=________. ?4? ?6? ?sin πx,1<x≤2, ?

[例 6] (2014·新课标全国卷Ⅱ)偶函数 y=f(x)的图象关于直线 x =2 对称,f(3)=3,则 f(-1) =________.
第8页

[例 7] 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x), 且在区间[0, 2]上是增函数, 则( A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

)

【基础训练】

? x 2 ? 1, x ? 1 ? 1.(2012·江西高考文科)设函数 f ( x ) ? ? 2 则 f ( f ( 3)) =( x?1 ? ?x
(A)



1 5

(B)3

(C)

2 3

(D)

13 9
)

2.(2013·北京高考文科)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是(

A.y=

1 x

B.y= e ? x

C. y ? ? x 2 ? 1

D.y=lg∣x∣

3.(2012·广东高考文科)函数 y ?

x ?1 的定义域为 x

.

2 4. (2011· 安徽高考文科) 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x≤0 时,f ( x) = 2 x ? x , 则 f (1) ?

.

【典例分析】 1、(2012·山东高考文科)函数 f ( x) ? (A) [?2, 0) ? (0, 2]

1 ? 4 ? x2 的定义域为( ln( x ? 1)
(C) [ ?2, 2]

) (D) ( ?1, 2]

(B) (?1, 0) ? (0, 2]

2、(2012·陕西高考文科)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( (A) y ? x ? 1 (B) y ? ? x 3 (C) y ?

) (D) y ? x | x |

1 x

第9页

3、(2013·湖南高考文科)已知 f ( x ) 是奇函数, g ( x ) 是偶函数,且 f ( ?1) ? g (1) ? 2 , f (1) ? g ( ?1) ? 4 , 则 g (1) 等于( )

A.4

B.3

C.2

D.1
( )

2 4、(2013·福建高考文科)函数 f ? x ? ? ln x ? 1 的图像大致是

?

?

【提高训练】 1、(2013·山东高考文科)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f(x) =x +
2

1 ,则 f(-1)= ( x

)

A.-2

B.0

C.1

D.2

2.(2011·广东高考文科)函数 f ( x) ? (A)(- ? ,1) +?)

1 ? lg(1 ? x) 的定义域是( 1? x

) (D)(- ? ,

(B)(1,+ ? )

(C)(-1,1)∪(1,+ ? )

3、(2011·全国高考文科)下列函数中,既是偶函数又在 ? 0, ?? ? 上单调递增的函数是( (A) y ? x
3



(B) y ? x ? 1

(C) y ? ? x ? 1
2

(D) y ? 2

?x

4、(2011·福建卷文科) 已知函数 f ( x) ? ? (A)-3 (B)-1

?2x,x ? 0,
, ? x ? 1, x ? 0 (C)1

若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( (D)3



5、(2011·湖南高考文科)已知 f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则 f(2)=______.

第 10 页

第 4 讲 指数函数和对数函数 【基础知识】 1、指数幂的运算法则:

?1? ar as ? ar ?s ? a ? 0, r, s ?Q?
? 3?? ab ?
r

? 2? ? ar ?

s

? a rs ? a ? 0, r , s ? Q ?

? a r b r ? a ? 0, b ? 0, r ? Q ?

2、对数运算法则: ① loga ( MN ) = loga M + loga N ; ③ loga M n = n loga M ② log a
M N
m

= log a M - log a N ;
n m log a b

④ log a b n =

logcb 1 (1)logab= (a,c 均大于 0 且不等于 1,b>0);(2)logab·logba=1,即 logab= ; logca logba

3、指数函数:一般地,函数 y=ax(a>0 且 a≠1)叫做指数函数.
y=ax
图象

a>1

0<a<1

定义域 值域

R (0,+∞) 过定点(0,1)

性质

当 x>0 时,y>1;x<0 时,0 <y<1 在 R 上是增函数

当 x>0 时,0<y<1;x <0 时,y>1 在 R 上是减函数

4、对数函数:函数 y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数
a>1 0<a<1

图象

定义域 值域 定点 单调性 函数值正负

(0,+∞) R 过点(1,0) 在(0,+∞)上是增函数 当 x>1 时,y>0; 当 0<x<1 时,y<0 在(0,+∞)上是减函数 当 x>1 时,y<0; 当 0<x<1 时,y>0

第 11 页

注意:比较对数式的大小. ①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则 需对底数进行分类讨论; ②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较; ③若底数与真数都不同,则常借助 1,0 等中间量进行比较. 1 [例 1] (1)(2015·西安模拟)函数 y=ax- (a>0,a≠1)的图象可能是(

a

)

(2)若曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围是________.

[例 2] (1)函数 y=2log4(1-x)的图象大致是(

)

例 3 (2015· 南昌模拟)已知 a=40.7, b=80.45, c=0.5-1.5, 则 a, b, c 的大小关系是( A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b

)

1 1 1 [例 4] (2014·辽宁高考)已知 a=2- ,b=log2 ,c=log1 ,则( 3 3 3 2
第 12 页

)

A.a>b>c C.c>b>a

B.a>c>b D.c>a>b

(

[例 5] (2013·新课标全国卷Ⅱ)若存在正数 x 使 2x(x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是 ) A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞)

[例 6] (1)若 x=log43,则(2x-2-x)2 等于( A. 9 4 5 B. 4 C. 10 3 D. 4 3

)

?log2x,x>0, 1? ? (2)已知函数 f(x)=? -x 则 f(f(1))+f?log3 ?的值是( 2? ? ?3 +1,x≤0, A.5 B. 3 C.-1 D. 7 2

)

1 (3) lg 25+lg 2-lg 0.1-log29×log32 的值是________. 2

【基础训练】
1、函数 y ? a
x ?2

? 1.(a ? 0 且 a ? 1) 的图像必经过点(



第 13 页

A.(0,1)

B.(1,1)

C.(2,0)

D.(2,2)

2、(2010·浙江高考文科)已知函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1), 若 f (? ) ? 1, (A)0 (B)1 (C)2

? =(



(D)3

3、(2013·四川高考文科) lg 5 ? lg 20 的值是____________。 4、已知 f ( x) ? ? 【典例分析】 1、(2013·广东高考文科)函数 f ( x ) ?

? ?log 2 x x ? ?3

( x ? 0) ( x ? 0)

,则 f [ f (1)] ? _____________.

lg( x ? 1) 的定义域是( ) x ?1
D. [?1,1) ? (1, ??)


A. (?1, ??)

B. [?1, ??) C. (?1,1) ? (1, ??)

2、(2011·天津高考文科)已知 a = log2 3.6, b = log4 3.2, c = log4 3.6 ,则(

(A)a ? b ? c

(B) a > c > b

(C)b ? a ? c

(D)c ? a ? b
( )

3、(2013·陕西高考文科)设 a, b, c 均为不等于 1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是
logc b ? log c a A. log a b·

B. loga b ? logc a ? logc b D. loga (b ? c) ? loga b ? loga c
2 2

C. loga (bc) ? loga b ? loga c

4、 (2012·北京高考文科·T12)已知函数 f(x)=lgx,若 f(ab)=1,则 f(a )+f(b )=___________. 【提高训练】 1、(2011·北京高考文科)如果 log 1 x ? log 1 y ? 0 ,那么(
2 2



( A) y ? x ? 1

( B) x ? y ? 1

(C )1 ? x ? y

( D)1 ? y ? x


2、(2013·全国Ⅱ高考文科)设 a ? log3 2 , b ? log5 2 , c ? log 2 3 ,则(

A. a ? c ? b

B. b ? c ? a

C. c ? b ? a


D. c ? a ? b

3、(2012·安徽高考文科) log2 9 ? log3 4 ? ( (A)

1 4

(B)

1 2

(C)2

(D)4

4、(2011·陕西高考文科)设 f ( x) ? ?

?lg x, x ? 0
x ?10 , x ? 0

,则 f ( f (?2)) ? _____

第 5 讲 函数与方程 【基础知识】
第 14 页

1 常用的初等函数: (1)一次函数: y ? ax ? b(a ? 0) ,当 a ? 0 时,是增函数;当 a ? 0 时,是减函数; (2) 二次函数: 一般式: 对称轴方程是 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; 2.幂函数: y ? xa 函数 ; 顶点为 ;

n>0 Y=x
R R

n<0 y=x-1
[0,+∞] [0,+∞) {x|x≠0} {y|y≠0}

y=xn
定义域 值域

y=x2
R [0,+∞)

y=x3
R R

图像

3.函数与方程: (1)方程 f(x)=0 有实根 ? 函数 f(x)的图像与 x 轴有交点 ? 函数 y= f(x)有零点。 (2)函数在区间[a,b]上的图像是连续的,且 f(a)f(b)<0,那么函数 f(x)在区间[a,b]上 至少有一个零点。

[例 1] (1)函数 f(x)=1-xlog2x 的零点所在区间是(

)

A.? , ? C.(1,2)

?1 1? ?4 2?

B.? ,1? D.(2,3)

?1 ?2

? ?

(2)(2013·重庆高考)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)·(x-b)+(x-b)(x-c)+(x- c)(x-a)的两个零点分别位于区间( ) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内

例 2.(2014·山东高考)已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程 f(x)=g(x)有 两个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是( )

第 15 页

1? ? A.?0, ? 2 ? ? C.(1,2)

?1 ? B.? ,1? 2 ? ? D.(2,+∞)

[例 3] (2013·天津高考)设函数 f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若实数 a,b 满 足 f(a)=0,g(b)=0,则( ) A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a) C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0

【基础训练】 1、(2011·浙江高考文科)设函数 f ( x ) ?
2

4 ,若 f (a) ? 2 ,则实数 a =__________. 1? x


2.二次函数 y=x +2x-7 的函数值是 8,那么对应的 x 的值是(

A.3

B.5

C.-3 和 5
2

D.3 和-5

3.在同一直角坐标系中,一次函数 y=ax+c 和二次函数 y=ax +c 的图象大致为( ) y O A 4.函数 y ? (m2 ? m ?1) xm
2

y x O B
?3m?3

y x O C x O

y x

D

是幂函数,且在区间 (0, ??) 上为减函数,则 m= ________ 。

【典例分析】 1、(2010·天津高考文科)函数 f ( x ) ? e x ? x ? 2 的零点所在的一个区间是( (A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2) ) )

2、 (2013· 浙江高考文科)已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则 (

A.a>0,4a+b=0 D.a<0,2a+b=0

B.a<0,4a+b=0

C.a>0,2a+b=0

第 16 页

3、(2011·陕西高考文科)方程 x ? cos x 在 ? ??, ??? 内( (A)没有根 无穷多个根 (B)有且仅有一个根

) (D)有

(C)有且仅有两个根

4、 若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算, 其参考数据如下:

f(1)=-2

f(1.5)=0.625

f(1.25)=-0.98
4

f(1.375)=-0.2 f(1.4375)=0.1 f(1.40625)=-0
60 62 .054 ).

那么方程 x3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1)为(

A. 1.2

B. 1.3

C. 1.4

D. 1.5

【提高训练】 1、(2011·福建卷文科)若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取 值范围是( (A)(-1,1) ∪(1,+∞) 2、 (2011· 全国高考文科) 在下列区间中, 函数 f ( x) ? e x ? 4 x ? 3 的零点所在的区间为 (
? 1 ? (A) ? ? , 0 ? ? 4 ?
? 1? (B) ? 0, ? ? 4?
1

) (B)(-2,2) (C)(-∞,-2) ∪(2,+∞) (D)(-∞,-1)



?1 1? (C) ? , ? ?4 2?

?1 3? (D) ? , ? ?2 4?

1 3、(2012·北京高考文科·T5)函数 f ( x) ? x 2 ? ( ) x 的零点个数为( 2

) (D)3

(A)0

(B)1

(C)2

4、(2012·福建高考文科)已知关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? 2a ? 0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取 值范围是_________.

第 17 页

第 6 讲 不等式的性质和基本不等式
【基础知识】 一、不等式的基本性质: ①若 ab>0,则

1 1 ? 。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变。 a b

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论。 ③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象),直接比较大小。 ④中介值法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小 二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若 a, b ? 0 ,则 基本变形:① a ? b ?

a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时取等号) 2 a?b 2 ) ? ;( ; 2
2 2

②若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab , 三.简单的绝对值不等式

a2 ? b2 a?b 2 ?( ) 2 2

|x|<a ? x2<a2 ? -a<x<a(a>0),|x|>a ? x2>a2 ? x>a 或 x<-a(a>0)。
一般地有:|f(x)|<g(x) ? -g(x)<f(x)<g(x),|f(x)|>g(x) ? f(x)>g (x)或 f(x)<g(x)。

【基础训练】 1、若 a,b,c 为任意实数,且 a>b,则下列不等式恒成立的是 (A)ac>bc (B)|a+c|>|b+c| (C)a2>b2
第 18 页

(

)

(D)a+c>b+c

2、已知 a, b, c, d 为实数,且 c ? d 。则“ a ? b ”是“ a ? c ? b ? d ”的 A. 充分而不必要条件 C.充要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件.

3、若 a>b,下列不等式中一定成立的是( A、

) C、2a>2b D、lg(a-b)>0

1 1 ? a b

B、

b ?1 a

4、(08·上海)不等式 | x ? 1 |? 1的解集是

【典例分析】 1、设 A={x||x-2|<3},B={x||x-1|>1},则 A∩B 等于( ) A、{x| -1<x<5} B、{x| x<0 或 x>2} C、{x| -1<x<0 或 2<x<5} D、{x| -1<x<0}

2、(2012· 天津高考文科)集合 A ? x ? R x ? 2 ? 5 中的最小整数为

?

?

.

3、(2013· 福建高考文科)若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是 A. ? 0, 2? B. ? ?2,0?

(

) D. ? ??, ?2?

C. ? ?2, ?? ?

4、已知 x, y ? (0,??) ,且 A.5

1 1 ? ? 1 ,则 x + 2 y 的最小值为( x y
B.6 C.8

) D.9

【提高训练】 1、(2013· 北京高考文科)设 a,b,c∈R,且 a>b,则( A.ac>bc B. ) D.a3>b3

1 1 ? a b

C.a2>b2

第 19 页

2、(2011· 陕西高考文科)设 0 ? a ? b ,则下列不等式中正确的是(



a?b 2 a?b (C) a ? ab ? b ? 2
(A) a ? b ?

ab ?

(B) a ? (D)

a?b ?b 2 a?b ab ? a ? ?b 2 ab ?
)

3、(2012· 浙江高考文科)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( (A)

24 5

(B)

28 5

(C)5

(D)6

4、(2012· 湖南高考理科)不等式|2x+1|-2|x-1|>0 的解集为_______. 5、(2013· 四川高考文科)已知函数 f ( x) ? 4 x ?

a ( x ? 0, a ? 0) 在 x ? 3 时取得最小值,则 a ? _____。 x

第 7 讲 一元二次不等式和线性规划 【基础知识】 1、一元一次不等式: Ⅰ、 ax ? b(a ? 0) :⑴若 a ? 0 ,则 Ⅱ、 ax ? b(a ? 0) :⑴若 a ? 0 ,则 2、一元二次不等式: 二次函数 y=ax +bx+c (a>0)
2

;⑵若 a ? 0 ,则 ;⑵若 a ? 0 ,则

; ;

△ 情况 △ =b -4ac △ >0
2

一元二次方程 ax +bx+c=0 (a>0)
2

一元二次不等式 ax2+bx+>0 (a>0) 不等式解集为 {x|x<x1 或 x >x2} ax2+bx+c<0 (a>0) 不等式解集为 { x | x1 < x < x2}

图 像 与 解 △ =0

?b ? ? x1= 2a
x2=

?b ? ? 2a
不等式解集 { x | x≠x0,x∈R} 解集为 ?

x1=x2=x0=

?

b 2a

△ <0

方程无解

不等式解集为 R(一切实数)

解集为 ?

第 20 页

3、线性规划 平面区域:一般地,二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 在平面直角坐标系中表示 Ax ? By ? C ? 0 某一 侧所有点组成的平面区域。

【基础训练】 1、不在 3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是 A.(0,0) B.(1,1) C.(0,2) 2、不等式 x2+ax+4<0 的解集为空集,则 a 的取值范围是( A.[-4,4] B.(-4,4) D.(2,0) ). ( )

( ? ?,?4] ? [4,??) C.
.

( ? ?,?4) ? (4,??) D.

3、(2013· 上海高考文科)不等式

x <0 的解为 2x ? 1
1 6 ? x ? x2

4、(2011· 安徽高考文科)函数 y ?

的定义域是___________

【典例分析】 1、(2011· 广东高考文科)不等式 2x2-x-1>0 的解集是( (A) ( ? ) (D) (??, ? ) ? (1, ??)

1 , ?1) 2

(B)(1, + ? )

(C)(- ? ,1)∪(2,+ ? )

1 2

? x ? 2 y ? 8, ? 2、(2013· 湖南高考文科)若变量 x,y 满足约束条件 ?0 ? x ? 4, 则 x+y 的最大值为________ ?0 ? y ? 3, ?

?y ? x ? 3、(2011· 湖南高考文科)设 m>1,在约束条件 ? y ? m x 下,目标函数 z=x+5y 的最大值为 4,则 m 的值 ?x ? y ? 1 ?
为______

2 4、(2013· 大纲版全国卷高考文科)不等式 x ? 2 ? 2的解集是 (



A. ? -1,1?

B. ? -2, 2?

C. ? -1,0? ? ? 0,1?

D. ? -2,0? ? ? 0, 2?

第 21 页

【提高训练】 1、 (2013· 重庆)关于 x 的不等式 x 2 ? 2ax ? 8a 2 ? 0(a ? 0) 的解集为 ( x1 , x2 ) ,且 x2 ? x1 ? 15 ,则 a ? ( A. )

5 2

B.

7 2

C.

15 4

D.

15 2

? y ? 2x ? 2、(2013· 湖南高考理科)若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 , 则x ? 2 y的最大值是 ( ? y ? ?1 ?
A. -



5 2

B. 0

C.

5 3

D.

5 2

? x ? y ? 1 ? 0, ? 3、(2013· 全国Ⅱ高考文科)设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是( ) ? x ? 3, ?
A. ?7 B. ?6 C. ?5 D. ?3

第 22 页

第 7 讲 任意角的三角函数和三角函数的诱导公式 【基础知识】 1、 角的概念的推广: 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫 角,按顺时针方向旋转所形成的角叫 2、象限角的概念: 在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限, 就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角 3.弧长公式: l ? 4、任意角的三角函数的定义: 设 ? 是 任 意 一 个 角 , P ( x, y ) 是 ? 的 终 边 上 的 任 意 一 点 ( 异 于 原 点 ) , 它 与 原 点 的 距 离 是 ,扇形面积公式: s ? , 任何象限。 角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个 角。

r?

x 2 ? y 2 ? 0 ,那么 sin ? ?
5. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: 6、三角函数诱导公式( 角 函数 正弦 余弦 正切

, cos? ?

, tan? ?

, ( y ? 0) 。

(2)商数关系:

k ? ? ? )的本质是:奇变偶不变,符号看象限. 2
π+α -α -sin_α cos_α -tan_α π-α sin_α -cos_α -tan_α π -α 2 cos_α sin_α — π +α 2 cos_α -sin_α —

2kπ+α (k∈Z) sin_α cos_α tan_α -sin_α -cos_α tan_α

特殊角的三角函数值

α
sin

0

π 6 1 2 3 2 3 3

π 4 2 2 2 2

π 3 3 2 1 2

π 2 1

π

3π 2 -1

0

0

α
cos 1

0

-1

0

α
tan 0

1

α

3

不存在

0

不存在

第 23 页

[例 1] (1)若 sin α·tan α<0,且 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

cos α <0,则角α是( tan α

)

(2)sin 2·cos 3·tan 4 的值( A.小于 0 C.等于 0 B.大于 0 D.不存在

)

[例 2](1)

已知角θ的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角θ终边上一点,且

2 5 sin θ=- ,则 y=_______ 5

3π (2)在平面直角坐标系中,点 O(0,0),P(6,8),将向量 OP― →绕点 O 按逆时针方向旋转 后得向 2 量 OQ― →,则点 Q 的坐标是( A.(8,-6) C.(-6,8) )

B.(-8,-6) D.(-6,-8)

[例 3] (1)sin 1°+sin 2°+…+sin 90°=________. 3 (2)已知 cos(π+x)= ,x∈(π,2π),则 tan x=________. 5 1 (3)已知α为三角形的内角,且 sin α+cos α= ,则 tan α=________. 5

2

2

2

第 24 页

【基础训练】 1. sin2 1200 等于( )

A

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?
o

3 2

B

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3 2


C

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?

3 2

D

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1 2

2. -300 化为弧度等于(

A. -

4π 3

B. -

7π 4

C. -

5π 3

D. -

7π 6


3.若 cos? ? 0, 且sin ? ? 0, 则角? 的终边所在象限是(

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象


4. 设 a ? 0 ,角 ? 的终边经过点 P ? ?3a, 4a ? ,那么 sin ? ? 2 cos ? 的值等于(

A.

2 5

B.

?

2 5

C.

1 5

D. ?

1 5

【典例分析】 1、已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P ? 4, y ? 是角 ? 终边上一点,且 sin ? ? ? 则 y=_____.

2 5 , 5

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? ? ( ) 2 5 2 1 A. ? B. ? 5 5 5 , 则cos? ? ( 3、已知 ? 是第二象限角, sin ? ? 13 12 5 A. ? B. ? 13 13
2、已知 sin( 4、已知 sin? ? cos ? ? 2 , ? ? (0, ? ) ,则 sin 2? ? ( (A) ? 1 【提高训练】 (B) ?

C. ) C.

1 5

D.

2 5

5 13

D.

12 13

) (C)

2 2

2 2

(D)1

1、(2011·新课标全国高考文科)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线

y ? 2 x 上,则 cos 2? =(
(A) ?

) (B) ?

4 5

3 5

(C)

3 5

(D)

4 5

第 25 页

2、如果 A 为锐角, sin(? ? A) ? ?

1 , 那么cos(? ? A) ? ( 2
C.



A.

3 2

B. ?

3 2


2 2

D. ?

2 2

3、sin(-

10 ? )的值等于( 3
B.-

A.

1 2

1 2

C.

3 2

D.-

3 2

4、已知角 ? 的终边过点 P ( 4,?3) ,则 sin a =_______, cos a =_______, tan a =_______. 5、已知 tan ? ?

1 sin ? ? cos ? ? ,则 2 cos ? ? sin ?

?π ? 6.已知 sin θ,cos θ是关于 x 的方程 x2-ax+a=0(a∈R)的两个根,求 cos3? -θ?+ ?2 ? ?π ? sin3? -θ?的值. ?2 ?

1 5π 3π 7.(2015·揭阳模拟)已知 sin αcos α= ,且 <α< ,则 cos α-sin α的值为? 8 4 2

8

(2012·辽宁高考)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=?

第 26 页

第 8 讲 三角恒等变换和解三角形 【基础知识】 (1)两角和与差的三角函数

sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin ? ; tan(? ? ? ) ?
(2).二倍角公式
sin 2? ? 2 sin? cos ? ; tan 2? ?

tan ? ? tan ? 。 1 ? tan ? tan ?

2 tan ? ; cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin2 ? ; 2 1 ? tan ?

(3)降幂公式

1 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ; cos2 ? ? 。 sin? cos ? ? sin 2? ; sin2 ? ? 2 2 2
(4)辅助角公式

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ? 其中sin ? ?

b a ?b
2 2

, cos ? ?

a a ? b2
2



? 5? 正弦定理:

a b c ? ? ? 2R , sin A sin B sin C

? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? , ? 2 bc 2 2 2 ? a ? b ? c ? 2bc cos A, ? a 2 ? c 2 ? b2 ? 2 2 2 ? 6 ? 余弦定理: ? , ?b2 ? a2 ? c 2 ? 2ac cos B, ? ?cos B ? 2 ac c ? a ? b ? 2 ab cos C . ? ? 2 2 2 ? ? cos C ? a ? b ? c . ? 2ab ?
(7)三角形面积公式: S ?ABC ?

1 1 ah ? ab sin C 2 2

(8)函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤

(9)
第 27 页

例 1:已知 tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,则 tan 2α=________.

例2

(2015·金华模拟)设α,β为钝角,且 sin α=

5 3 10 ,cos β=- ,则α+β的值为( 5 10

)

A. B.
例3

3π 5π 7π B. C. 4 4 4

D.

5π 7π 或 4 4

(2014· 重庆高考)已知函数 f(x)= 3· sin(ωx+φ)(ω>0, -

π π π ≤φ< )的图象关于直线 x= 对 2 2 3

称,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值; 2π? 3π? 3?π ?α? ? (2)若 f? ?= ? <α< ,求 cos?α+ ?的值. 3 ? 2 ? ?2? 4 ?6 ? ?

1 例 4 (1)(2014·北京高考)在△ABC 中,a=1,b=2,cos C= ,则 c=________;sin A=________. 4 (2)(2014·天津高考)在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a-c= = 6sin C. ①求 cos A 的值; 6 b,sin B 6

? ②求 cos?2A- ?

π?
6? ?

的值.

例5

在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2a·sin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.
第 28 页

(1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状.

例6

(2012·湖南高考)

π? ? 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?x∈R,ω>0,0<φ< ?的部分图象如图所示. 2? ? (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)=f(x- π ? π? )-f?x+ ?的单调递增区间. 12 ? 12?

基础训练 1、sin10°sin40°+sin50°sin80°=( )
第 29 页

A.

1 2

B.

2 2


C.

3 2

D. ?

3 2

2、若 sin

?
2

?

3 ,则 cos ? ? ( 3
B. ?

A. ?

2 3

3、已知 sin 2? ? A.

1 6

2 ? 2 ,则 cos (? ? ) ? ( 3 4 1 B. 3

1 3

C.错误!未找到引用源。 ) C.

D.

2 3

1 2

D.

2 3


4、在锐角 ? ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b. 若 2asinB= 3 b,则角 A 等于( A.

5、在△ ABC 中,角 A , B ,C 对应的边分别是 a ,b ,c . 已知 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1 . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ? 5 3,b ? 5 ,求 sin B sin C 的值

? 3

B.

? 4

C.

? 6

D.

?
12

6、 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 若 a sin B cos C ? c sin B cos A ? ( )

1 b, 且 a ? b, 则 ?B ? 2

A.

?
6

B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6

7、 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,若 B ? 2 A , a ? 1 , b ? 3 ,则 c ? ( ) A. 2 3 B. 2 C. 2 D.1

8、?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , 已知 b ? 2 ,B ? A. 2 3 ? 2 B. 3 ? 1 C. 2 3 ? 2

?
6

,C ?

?

4 D. 3 ?1

, 则 ?ABC 的面积为 (



9、设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? (

?
2

, ? ) ,则 tan 2? 的值是____________。

第 30 页

第 9 讲 三角函数及其性质 【基础知识】 1.三角函数定义:角 ? 终边上任一点 P ( x, y ) ,设 | OP |= r 则: sin α = 2.⑴ y = A sin(ωx + φ)

y r

,cos α =

x r

, tan α =

y x

对称轴:令 ? x ? ? ? k? ? ⑵ y = A cos(ωx + φ)

?
2

kπ - φ +
,得 x =

π 2

ω

对称中心: (

k? ? ?

?

,0)( k ? Z ) ;

对称轴:令 ωx + φ = kπ ,得 x =

kπ - φ ω

k? ?
;对称中心: (

?
2

??

?

,0)(k ? Z ) ;
2π ω

3.周期公式:①函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及 y ? A cos(? x ? ? ) 的周期 T = ②函数 y ? A tan??x ? ? ? 的周期 T = 4.同角三角函数的基本关系: sin 2 x + cos2 x = 1;

π ω

.

sin x = tan x cos x

[例 1] (1)函数 y=lg(2sin x-1)+ 1-2cos x的定义域是________. ?πx π? (2)函数 y=2sin? - ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________. 3? ? 6

[例 2] (2014·福建高考)已知函数 f(x)=2cos x(sin x+cos x). ?5π? ? 的值; (1)求 f? ? 4 ? (2)求函数 f(x) 的最小正周期及单调递增区间.

第 31 页

[例 3]

π? ?π ? ? (2012·新课标全国卷)已知ω>0,函数 f(x)=sin?ωx+ ?在? ,π?上是减 4 2 ? ? ? ? )

函数,则ω的取值范围是( ?1 5? A.? , ? ?2 4? 1? ? C.?0, ? ? 2? ?1 3? B.? , ? ?2 4? D.(0,2]

【基础训练】 1、(2012·福建高考文科)函数 f ( x ) ? sin( x ? (A) x ?

?
4

) 的图象的一条对称轴是(



?
4

(B) x ?

?
2

(C) x ? ?

?
4

(D) x ? ?

?
2


?? ? ? ?? 2、(2013·天津高考文科)函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? 在区间 ?0, ? 上的最小值是( 4? ? ? 2?
A. -1 B. ?

2 2

C.

2 2

D. 0

3、3.(2012·安徽高考文科·T7)要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos2 x 的图象 ( ) (A)向左平移 1 个单位 (C)向左平移 (B)向右平移 1 个单位 (D)向右平移

1 个单位 2

1 个单位 2
.

4、(2013·江苏高考)函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
4

) 的最小正周期为

【典例分析】 1、(2013·湖北高考文科)将函数 y= 3 cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后, 所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A. ) C.

?
12

B.

? 6
第 32 页

? 3

D

5? 6

2、(2011·新课标全国高考文科)设函数 f ( x) ? sin(2 x ? (A) y ? f ( x) 在 ? 0,

?

) ? cos(2 x ? ) ,则( 4 4

?

)

? ? ? ? ? ? ? ?

?? ?? ?? ??

? 内单调递增,其图象关于直线 x ? 对称 2? 4 ? 内单调递增,其图象关于直线 x ? 对称 2? 2 ? 内单调递减,其图象关于直线 x ? 对称 2? 4 ? 内单调递减,其图象关于直线 x ? 对称 2? 2

? ? ? ?

(B) y ? f ( x) 在 ? 0,

(C) y ? f ( x) 在 ? 0,

(D) y ? f ( x) 在 ? 0,

3、 (2013·陕西高考文科)已知向量 a ? (cos x,? ), b ? ( 3 sin x, cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a ? b . (Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期.

1 2

? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

第 33 页

【提高训练】 1、(2012·山东高考文科)设命题 p:函数 y ? sin2 x 的最小正周期为

? ;命题 q:函数 y ? cos x 的图 2

象关于直线 x ? (A)p 为真

?
2

对称,则下列判断正确的是( (B) ?q 为假

) (C) p ? q 为假 (D) p ? q 为真

2、(2012·天津高考文科)将函数 f ( x) ? sin ?x (其中 ? >0)的图象向右平移

( 经过点

3? , 0) ,则 ? 的最小值是( 4 1 (A) (B)1 3

? 个单位长度,所得图象 4

) (C)

5 3

(D)2

3、(2012·北京高考文科)已知函数 f ( x ) ? (1)求 f ( x ) 的定义域及最小正周期. (2)求 f ( x ) 的单调递减区间.

(sinx ? cos x ) sin2 x . sinx

第 34 页

第 11 讲 平面向量
1、 向量的有关概念: ①向量:既有大小又有方向的量。向量常用有向线段来表示。 ②共线向量:方向相同或相反的向量,又叫平行向量。 ③相等向量:长度相等且方向相同的向量。 ④单位向量:长度等于一个单位长度的向量。 2、 平面向量基本定理: 如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线的向量 , 那么对该平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数 ⑤零向量:长度为零的向量

??

?? ?

?

? ? ? λ1,λ2 ,使 a = λ1e1 + λ2e2 .
? ? 3、向量的坐标运算:设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) . 则
① a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? ? ② a ? b ? x1 x2 ? y1 y2
④ a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

? ? ③ a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ;
4、平面向量的数量积:

?

?

? ?

? ? ? ? ? ? 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ?| a || b | cos? ? x1 x2 ? y1 y2 ;
? ? ? ? ? ? ? 其几何意义是 a ?b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积; a 在 b 的方向上的投影

? ? ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ? b x1 x2 ? y1 y2 a ?b .向量数量积的性质: cos? ? ? ? ? ; | a | cos? ? ? ? 2 2 2 2 2 |b| | a || b | x2 ? y2 x1 ? y12 x2 ? y2
【基础训练】 1、(2012·广东高考文科)若向量 AB ? (1 , 2), BC ? (3, 4) ,则 AC ? ( (A)(4,6) (B)(-4,-6) (C)(-2,-2) ) (D)(2,2) ( )

2、(2013· 陕西高考文科)已知向量 a ? (1, m),b ? (m,2) , 若 a // b , 则实数 m 等于 A. ? 2 B.
2

C. ? 2 或 2

D. 0

3.(2013· 湖北高考文科)已知点 A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,1)、D(3,4),则向量 AB 在 CD 方向上的投影为( A. )

3 2 2

B.

3 15 2

C. -

3 2 2

D.-

3 15 2

第 35 页

4.(2013· 四川)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交 于点 O , AB ? AD ? ? AO ,则 ? ? ____________。
B

A

D

??? ? ????

????

O C

【典例分析】 1. (2013· 全国卷高考文科)已知向量 m ? (? ? 1,1), n ? (? ? 2,2) ,若 (m ? n) ? (m ? n) ,则 ? ? ( A.-3 B.-4 C.-2 D.-1 )

2.(09· 湖南) 如图 D,E,F 分别是 ? ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则(



A

? ???? ??? ? ??? A. AD + BE + CF =0

??? ? ??? ? ???? B. BD ? CE ? DF =0

D

???? ??? ? ??? ? C. AD ? CE ? CF =0

??? ? ??? ? ??? ? D. BD ? BE ? FC =0
B E

F

C

3. (2013· 福建高考文科)在四边形 ABCD 中, AC ? (1 , 2), BD ? (?4, 2) 则该四边形的面积为( A. 5 B. 2 5 C.5 D.10



4.(2013· 天津文科) 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 AC ? BE ? 1 , 则 AB 的长为 .

【提高训练】 1.已知两个单位向量 a, b 的夹角为 60° , c ? t a ? (1 ? t )b ,若 b ? c ? 0 ,则 t ? _____. 2.(2012· 辽宁文)已知向量 a ? (1,?1),b ? (2, x) ,若 a ? b ? 1,则 x ? ( )

( A)

?1

( B)

?

1 2

(C )
0

1 2

( D)

1
) D.12
A D

3.(09· 辽宁) 平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2,0),| b |? 1 ,则 | a ? 2b |? ( A. 3 B.2 3 C.4

?

?

4.(2012· 湖南高考文科)如图,在平行四边形 ABCD 中 ,AP⊥BD, 垂足为 P,且 AP ? 3 ,则 AP ? AC ? .

P B C

5、(2013· 重庆文科) OA 为边, OB 为对角线的矩形中, OA ? (?3, 1),OB ? (?2,k ) ,则实数 k ? 6、(2013· 全国Ⅱ文科)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE ? BD ?
第 36 页

.

第 12 讲 数列
【基础知识】 1、等差数列与等比数列: 等差数列 通项公式 等比数列

an = a1 + (n - 1)d
n ( a1 + an ) 2 n ( n - 1) 2

an = a1qn- 1

前 n 项和

Sn =

= na1 +

d

?na1 , q ? 1 ? Sn ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ,q ? 1 ?
an = am qn- m ;
m + n = p + q时,aman = a p aq

an = am + (n - m)d
性质

m ? n ? p ? q时,am ? an ? a p ? aq
2、 an 与 Sn 的关系: S n ? a1 ? a2 ?? an ? an ? ? 【基础训练】

(n ? 1) ? S1 ? S n ? S n ?1 (n ? 2)

1、(2013· 重庆高考文科)若 2、 a 、 b 、 c 、9 成等差数列,则 c ? a ? 2、(2013· 北京高考文科)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q= Sn= .

. ;前 n 项和

3(2013· 广东高考文科)设数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 ?2 的等比数列,则 a1 ? | a2 | ?a3 ? | a4 |? 4、(2013· 四川高考文科)在等比数列 {an } 中, a2 ? a1 ? 2 ,且 2a2 为 3a1 和 a3 的等差中项,求数列 {an } 的首项、公比及前 n 项和。

第 37 页

【典例分析】 1.(2013· 安徽高考文科)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, S8 =4a3 , a7 = - 2 ,则 a9=( ) A.-6 B.-4 C.-2 D.2

2.(2013· 新课标Ⅰ高考文科)设首项为 1,公比为 A. S n ? 2an ? 1 B. S n ? 3an ? 2

2 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则( 3
C. S n ? 4 ? 3an D. S n ? 3 ? 2an



3.(2013· 全国卷高考文科)已知数列 ?an ? 满足 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ? A. -6 1-3-10

4 , 则?an ?的前10项和等于 ( 3



?

?

B.

1 ?1-3-10 ? 9

-10 C. 3 1-3

?

?

D. 3 1+3-10

?

?
?

4.(2013· 湖南高考文科· T19)设 S n 为数列{ an }的前项和,已知 a1 ? 0 ,2 a n ?a1 ? S1 ? Sn , n ? N (Ⅰ)求 a 1 , a2 ,并求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ) 求数列{ nan }的前 n 项和。

【提高训练】 1、(2013· 上海高考文科)在等差数列 ?an ? 中,若 a1+ a2+ a3+ a4=30,则 a2+ a3= 2、(09.辽宁) 已知 ?an ? 为等差数列,且 a 7 -2 a 4 =-1, a3 =0,则公差 d=( A.-2 B.) D.2 .

1 2

C.

1 2

3、(2013· 大纲版全国卷高考文科)等差数列 ?an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 , (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ?

1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

第 13 讲 复数
【基础知识】 1.复数的定义:形如 a ? bi(a, b ? R) 的数叫复数, a 叫复数的实部,b 叫复数的虚部。全体复数所成的
第 38 页

集合叫做复数集,用字母 C 表示. 2. 复数与实数、 虚数、 纯虚数及 0 的关系: 对于复数 a ? bi(a, b ? R) , 当且仅当 b=0 时, 复数 a+bi(a、 b∈R)是实数 a;当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时,z=bi 叫做纯虚数;当且仅当 a=b=0 时,z 就是实数 0. 3. i 的周期性: i 4n+1=i, i 4n+2=-1,

i 4n+3=-i, i 4n=1

王新敞
奎屯

新疆

4.复数相等:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等 即:如果 a,b,c,
王新敞
奎屯 新疆

d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d

王新敞
奎屯

新疆

一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数,就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

5.共轭复数: 当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时, 这两个复数叫做互为共轭复数 例如:a ? bi
王新敞
奎屯 新疆

与 a ? bi 互为共轭复数 6.复数的四则运算:

(a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ① (a ? bi)(c ? di) ? (ac - bd ) ? (bc ? ad )i ②
a + bi c + di = ac + bd c +d
2 2



+

bc - ad c2 + d 2

i

【基础训练】 1、(2013· 浙江高考文科)已知 i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)= ( A.5-5i B.7-5i C.5+5i ) (C)-1+i (D)-1-i ) D.7+5i

2、(2010· 湖南高考文科) 复数 (A)1+i

2 等于( 1? i

(B)1-i

3、(2013· 辽宁高考文科)复数 z ?

1 的模为( i ?1



A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D.

2
) D.第四象限

4、(2013· 湖南高考文科)复数 z=i· (1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( A.第一象限 【典例分析】 1、(2013· 新课标Ⅰ高考文科) B.第二象限 C.第三象限

1 ? 2i ?( (1 ? i) 2



第 39 页

A. ? 1 ?

1 i 2

B. ? 1 ?

1 i 2

C. 1 ?

1 i 2

D. 1 ?

1 i 2

2、(2013· 山东高考文科)复数 z ?

(2 ? i ) 2 (i为虚数单位) ,则 | z |? ( ) i
C.5 D. 5

A.25

B.

41

3、(2013· 江西高考文科)复数 Z ? i (?2 ? i ) (i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4、(2012· 新课标全国高考文科)复数 z= (A)2+i 【提高训练】 (B)2-i

-3+i 的共轭复数是( 2+i (C)-1+i

) (D)-1-i

1、(2011· 湖南高考文科)若 a、b ? R ,i 为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则( (A)a=1,b=1 (B)a=-1,b=1 (C)a=1,b=-1



(D)a=-1,b=-1 )

2、(2013· 北京高考文科)在复平面内,复数 i (2 ? i ) 对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3、(2012· 湖南高考文科)复数 z=i(i+1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( (A)-1-i (B)-1+i (C)1-i

) (D)1+i )

4、(2012· 山东高考文科)若复数 z 满足 z (2 ? i ) ? 11 ? 7i ( i 为虚数单位),则 z 为( (A) 3 ? 5i (B) 3 ? 5i (C) ? 3 ? 5i ) (C)1+i (D)1-i (D) ? 3 ? 5i

5、(2011· 福建卷文科)i 是虚数单位,1+i3 等于( (A)i (B)-i

6、(2013· 重庆高考文科· T11)已知复数 z ? 1 ? 2i ( i 是虚数单位),则 z ?



第 40 页

第 6 讲 导数及其应用
【基础知识】 1.导数定义: f ( x ) 在点 x 0 处的导数记作 y ? | x ? x0 ? f ?( x0 ) ? lim 2.常见函数的导数公式:
n ' n- 1 ' ' ① C = 0 ;② ( x ) = nx ;③ (sin x ) = cos x ;④ (cos x) = - sin x ;
'

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

x ' x x ' x ⑤ (a ) = a ln a ;⑥ (e ) ? e ;⑦ (log a x ) =
'

1 x ln a

;⑧ (ln x ) ?
'

1 。 x

3.导数的四则运算法则: (1) [ f ( x) g ( x)]? ? f ( x)? g ( x) ? f ( x) g ( x)? (3) f (u ( x))? ? f u ? u x 4.导数的应用: (1)利用导数判断函数单调性: ① f ?( x) ? 0 ? f ( x) 是增函数;② f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为减函数;③ f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为常数; 用导数求函数的单调区间的“三个方法” (1)当不等式 f′(x)>0(或 f′(x)<0)可解时, ①确定函数 y=f(x)的定义域; ②求导数 y′=f′(x); ③解不等式 f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; ④解不等式 f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. (2)当方程 f′(x)=0 可解时,
第 41 页

? ? f ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) g ( x) ? ( 2) ? ? g ( x) ? ? ? g ( x) 2 ? ?

?

?

①确定函数 y=f(x)的定义域; ②求导数 y′=f′(x),令 f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根; ③把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起 来,然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间; ④确定 f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性. (3)当不等式 f′(x)>0(或 f′(x)<0)及方程 f′(x)=0 均不可解时, ①确定函数 y=f(x)的定义域; ②求导数并化简,根据 f′(x)的结构特征,选择相应基本初等函数,利用其图象与性质确定 f′(x) 的符号; ③得单调区间.

(2)利用导数求极值:①求导数 f ?( x ) ;②求方程 f ?( x) ? 0 的根;③列表得极值。

5、函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义 是在曲线 y=f(x)上点 P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数).相 应地,切线方程为 y-y0=f′(x0)·(x-x0)

[例 1] (2014·广东高考)曲线 y=-5e +3 在点(0,-2) 处的切线方程为________.

x

[例 2] (2014·江西高考)若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0,则点 P 的坐 标是________.

[例 3] (2014·江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax + (a,b 为常数)过点 P(2,- 5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是________.

2

b x

x a 3 [例 4]已知函数 f(x)= + -ln x- ,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直 4 x 2
线 1 2

y= x.
(1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值.
第 42 页

1 3 a 2 例 5] (2015·荆州质检)设函数 f(x)= x - x +bx+c,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程 3 2 为 y=1. (1)求 b,c 的值; (2)若 a>0,求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=f(x)+2x,且 g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围.

【基础训练】 1、曲线 y ? e 在点 A(0,1)处的切线斜率为(
x

)

(A)1

(B) 2
4 2

(C)e

(D)

1 e


2、已知曲线 y ? x ? ax ? 1在点 (?1, a ? 2) 处的切线的斜率为 8, a =( A. 9 B. 6 C. -9 D. -6

3、已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数 y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象是 ( )

第 43 页

4、曲线

3 y?x ?x?3在点(1,3)处的切线方程为

.

【典例分析】 1、若曲线 y=ax -lnx 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a=
2

.

2、函数 y ?

1 2 x ? ln x 的单调递减区间为( 2
(B) (0,1]

) (C) [1,??)

(A) ( ?1,1]

(0, ? ?) (D)

3、设函数 f ( x) ? (A) x ?

2 ? ln x ,则( x

) (B) x ?

1 为 f ( x ) 的极大值点 2

1 为 f ( x ) 的极小值点 2

(C) x ? 2 为 f ( x ) 的极大值点

(D) x ? 2 为 f ( x ) 的极小值点

4、已知函数 f ( x ) ?

1? x x e ,求 f ( x) 的单调区间。 1 ? x2

【提高训练】 1、曲线 y ?

sin x 1 ? ? 在点 M ( ,0) 处的切线的斜率为( sin x ? cos x 2 4
第 44 页

)

(A) ?

1 2

(B)

1 2

(C) ?

2 2

(D)

2 2

2、曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________ 3、函数 f ( x) ? sin x ? ln x 的导函数 f ?( x) ? 4、设函数 f ( x) ? x 3 ? kx 2 ? x

? k ? R? .

(1) 当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间;

第 15 讲 算法初步 【基础知识】
1.算法的概念:算法通常是指按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤. 2.程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形. 3.程序框图的三种基本逻辑结构是顺序结构、条件结构、循环结构. 4.算法的描述方式有:自然语言、程序框图、程序语言.
第 45 页

5.算法的基本特征:①明确性:算法的每一步执行什么是明确的;②顺序性:算法的“前一步”是“后一步” 的前提, “后一步”是“前一步”的继续;③有限性:算法必须在有限步内完成任务,不能无限制的持续进 行;④通用性:算法应能解决某一类问题.

【基础训练】
1、 (2013· 天津高考理科)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的值为 1,则输出 S 的值为 A.64 B.73 C.512 D.585 ( )

2、(2013· 安徽高考文科)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( A.



1 6

B.

25 24

C.

3 4

D.

11 12
)

3、(2013· 天津高考文科)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出 n 的值为 A.7 B.6 C.5

( D.4

第1题

第2题

第3题

4、(2013· 广东高考文科)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是( ) A.1 B.2 C.4 D.7

5、(2013· 重庆高考文科)执行如图所示的程序框图,则输出的 k 的值是( A. 3 B.4 C.5 D.6



第 46 页

6、 (2013· 湖南高考文科)相同执行如图所示的程序框图,如果输入 a ? 1, b ? 1 ,则输出 a 的为

.

第4题

第5题

第6题

第 16 讲 空间几何体的表面积和体积
【基础知识】 1、侧面积公式:① S直棱柱侧 ? 底面周长? 高 ;② S正棱锥侧 ? 2、体积公式:① V柱体 = sh ② V锥体 =

1 ? 底面周长 ? 侧面高 ;③ S球 = 4πR2 ; 2

1 4 sh ③ V球 = πR 3 3 3

3、正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长;
第 47 页

【基础训练】 1、(2013· 山东高考文科)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,该 四棱锥侧面积和体积分别是( )

A. 4 5,8

B. 4 5,

8 3

C. 4( 5 ? 1),

8 3

D. 8,8

2、(2013· 广东高考文科· T6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )

A.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D. 1 )

3、(2013· 重庆高考文科· T8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

A. 180

B. 200

C. 220

D. 240 ( )

4、(2013· 浙江高考文科· T5)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是

第 48 页

A.108cm3

B.100cm3

C.92cm3

D.84cm3

5、(2013· 湖南高考文科)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面 积为 2 的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( )

A.

3 2

B.1

C.

2 ?1 2

D. 2 )

6、(2013· 四川高考文科· T2)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是(

A 棱柱

B 棱台

C 圆柱 .

D 圆台

7、(2013· 陕西高考文科· T12)某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为

8、 (2012· 湖南高考文科) 某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能是(

)

第 17 讲 统计 【基础知识】 1.抽样方法: ①简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法);②系统抽样,也叫等距抽样③分层抽样(按比例抽样),常用于 某个总体由差异明显的几部分组成的情形。注: 它们的共同点:都是等概率抽样 2.频率分布直方图与茎叶图:
第 49 页

在频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相应的频率,各小长方形的面积的和为 1。 3.众数、中位数和平均数: ⑴众数:在数据中,频率分布最大值所对应的数据(或出现次数最多的那个数据); ⑵中位数:在数据中,累积频率为 0.5 时所对应的数据(或将数据按大小顺序排列,如果数据总数为 奇数,去最中间的一个,如果为偶数,取中间两个的平均数; ⑶平均数 x ? 1 ( x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ) ? 1 ? x i
n n
i ?1
n 4.总体特征数的估计:⑴样本方差 S 2 ? 1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] ? 1 ? ( x ? x )2 ; i

n

n

n

i ?1

n ⑵样本标准差 S ? 1 [(x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ? ? ( xn ? x )2 ] = 1 ( x ? x )2 ; ? i

n

n

i ?1

【基础训练】 1、(2012· 湖北高考文科)容量为 20 的样本数据,分组后的频数如下表: 分组 频数 [10,20) 2 [20,30) 3 ) (C)0.55 (D)0.65 [30,40) 4 [40,50) 5 [50,60) 4 [60,70) 2

则样本数据落在区间[10,40)的频率为( (A)0.35 (B)0.45

2、(2012· 陕西高考文科)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到 样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( (A)46,45,56 (C) 47,45,56 (B) 46,45,53 (D) 45,47,53 )

3、(2012· 湖北高考文科· T11)一支田径运动队有男运动员 56 人,女运动员 42 人.现用分层抽样的方法 抽取若干人,若抽取的男运动员有 8 人,则抽取的女运动员有______人. 4、(2013· 湖北高考文科)某学员在一次射击测试中射靶 10 次,命中环数如下: 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 则(Ⅰ)平均命中环数为 【典例分析】 1、(2012· 湖南高考文科)设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系, ; (Ⅱ)命中环数的标准差为 .

? =0.85x-85.71,则下列 根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为 y
结论中不正确的是( ) (B)回归直线过样本点的中心( x, y )

(A)y 与 x 具有正的线性相关关系

第 50 页

(C)若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg (D)若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg

2、(2013· 湖南高考文科)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为 120 件,80 件,60 件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查,其 中从丙车间的产品中抽取了 3 件,则 n=( ) A.9 B.10 C.12 D.13

3、(2013· 江西高考文科)总体由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体,选取方法从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字,则选出来 的第 5 个个体的编号为( ) 7816 3204 A.08 B.07 6572 0802 6314 9234 4935 8200 0702 4369 9728 0198 3623 4869 6938 7481 D.01

C.02

4、(2013· 陕西高考文科· T5)对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直 方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,在区间 [10,15)和[30,35]上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为 ( )

A. 0.09

B. 0.20

C. 0.25

D. 0.45

【提高训练】 1、(2013· 湖南高考理科)某学校有男、女学生各 500 名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否 存在显著差异,拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 )

2、(2013· 重庆高考文科· T6)下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则
第 51 页

数据落在区间[22,30)内的概率为( )

A.0.2

B.0.4

C.0.5

D.0.6

3、(2013· 辽宁高考文科)某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次 为 ?20,40? , ?40,60? , ?60,80? , ?80,100?. 若低于 60 分的人数是 15,则该班的学生人数是( )

A.

45

B.

50

C.

55

D.

60

4、(2012· 江苏高考· T2)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3:3:4,现用分层抽样的方 法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取_______名学生. 5、 (2013· 湖北高考理科· T11)从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 至 350 度之间,频率分布直方图如图所示

(1)直方图中 x 的值为

(2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250]内的户数为

第 18 讲 概率
【基础知识】 1.事件的关系: ⑴事件 B 包含事件 A:事件 A 发生,事件 B 一定发生,记作 A ? B ; ⑵事件 A 与事件 B 相等:若 A ? B, B ? A ,则事件 A 与 B 相等,记作 A=B;
第 52 页

⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生或 B 发生,记作 A ? B (或 A ? B ); ⑷并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生且 B 发生,记作 A ? B (或 AB ) ; ⑸事件 A 与事件 B 互斥:若 A ? B 为不可能事件( A ? B ? ? ),则事件 A 与互斥; ⑹对立事件: A ? B 为不可能事件, A ? B 为必然事件,则 A 与 B 互为对立事件。 2.概率公式: ⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B); ⑵古典概型: P( A) =

A包含的基本事件的个数 基本事件的总数



⑶几何概型: P( A) = 【基础训练】

构成事件A的区域长度(面积或体积等) 试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积等)

1、从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( ) A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

2、(2013· 福建高考文科)利用计算机产生 0 ~ 1 之间的均匀随机数 a ,则事件 “3a-1<0”发生的概率 为 . 3、(2013· 辽宁高考文科)现有 6 道题,其中其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 2 道题解答. 试求: (?) 所取的 2 道题都是甲类题的概率;

(?? ) 所取的 2 道题不是同一类题的概率;

【典例分析】 1、(2013· 安徽高考文科· T5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人,这五人被录 用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为 A. ( ) C.

2 3

B.

2 5
第 53 页

3 5

D.

9 10

2、(2013· 湖南高考文科).已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使△ APB 的最大边是 AB” 发生的概率为

AD 1 ,则 =( ) 2 AB
B.

A.

1 2

1 4

C.

3 2

D.

7 4

3、(2011· 湖南高考文科)已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 12 ,直线 l:4x+3y=25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为_________; (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为________.

4、(2013· 广东高考文科· T17)从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量)

[80,85)

[85,90)

[90,95)

[95,100)

频数(个)

5

10

20

15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个, 其中重量在 [80,85) 的有几个? (3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概率.

【提高训练】 1、 (2013· 江西文科) 集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A,B 中各取任意一个数, 则这两数之和等于 4 的概率是 ( )

2 1 错误!未找到引用源。 B. 3 2 1 引用源。 D. 错误!未找到引用源。 6
A.
第 54 页

错误!未找到引用源。C.

1 错误!未找到 3

2、(2012· 安徽高考文科)袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑 球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( (A) )

1 5

(B)

2 5

(C)

3 5

(D)

4 5

3、 (2013· 浙江高考文科)从 3 男 3 女 6 名同学中任选 2 名(每名同学被选中的机会均相等),则 2 名都是女同 学的概率等于 . 4、(2013· 湖南高考文科· T18)某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直 线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验,一株该种作物的年 收货量 Y (单位:kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示: X Y 1 51 2 48 3 45 4 42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米。

(Ⅰ)完成下表,并求所种作物的平均年收获量; Y 频数 51 48 4 45 42

(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为 48kg 的概率.

第 19 讲 点线面的位置关系 【基础知识】 1、三个公理:
第 55 页

(1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 2、等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 3、平行的有关定理 (1)直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 (2)两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 (3)直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线 与该直线平行。简记为:线面平行则线线平行。 (4)两个平面平行的性质定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 4、垂直的有关定理 (1)线面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 (2)面面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 (3)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 (4)面面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 【基础训练】 1.(2011· 浙江高考文科)若直线 l 不平行于平面 ? ,且 l ? ? ,则( (A) (C) )

? 内的所有直线与 l 异面 ? 内存在唯一的直线与 l 平行

(B) (D)

? 内不存在与 l 平行的直线

? 内的直线与 l 都相交

2、(2013· 广东高考文科· T8)设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ? B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ?

【典例分析】 1、(2011· 湖南高考文科)如图,在圆锥 PO 中,已知 PO= 2 ,⊙O 的直

第 56 页

径 AB=2,点 C 在弧 AB 上,且 ?CAB ? 30? , D 为 AC 的中点. (Ⅰ)证明:AC ? 平面 POD; (Ⅱ)求直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值.

2、(2013· 陕西高考文科)如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥ 底面 ABCD, AB ? AA1 ? 2 . (Ⅰ) 证明: 平面 A1BD // 平面 CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.
A D O B C D1 A1 B1 C1

第 57 页

3、(2011· 江苏高考)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60° , E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证:(1)直线 EF//平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD

4、(2013· 湖南高考文科)如图.在直棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,AB=AC= 2 错误!未找到引用 源。,AA1=3,D 是 BC 的中点,点 E 在棱 BB1 上运动。 (1)证明:AD⊥C1E; (2)当异面直线 AC,C1E 所成的角为 60° 时,求三棱锥 C1——A2B1E 的体积

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第 20 讲 平面解析几何初步
【基础知识】 1.斜率公式: k ?

y2 ? y1 x2 ? x1

,其中 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) .

2.直线方程的五种形式: (1)点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) .(2)斜截式: y ? kx ? b .(3)两点式:

y ? y1 x ? x1 ? . y2 ? y1 x2 ? x1

(4)截距式:

x y ? ? 1 .(5)一般式: Ax ? By ? C ? 0 . a b

3.两条直线的位置关系:⑴若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ,则: ① l1 ∥ l 2 ? k1 ? k 2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . 4.两个公式:⑴点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离: d =
Ax0 + By0 + C A2 + B 2



⑵两条平行线 Ax + By + C1 = 0 与 Ax + By + C2 = 0 的距离 d = 5.圆的方程:⑴标准方程:① ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2 2

C1 - C2 A2 + B 2
2 2

;② x ? y ? r
2



⑵一般方程: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

( D + E - 4 F > 0)

2

6.点、直线与圆的位置关系:(主要掌握几何法) ⑴点与圆的位置关系:( d 表示点到圆心的距离) ① d ? R ? 点在圆上;② d ? R ? 点在圆内;③ d ? R ? 点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系:( d 表示圆心到直线的距离) ① d ? R ? 相切;② d ? R ? 相交;③ d ? R ? 相离。 ⑶圆与圆的位置关系:( d 表示圆心距, R , r 表示两圆半径,且 R ? r ) ① d ? R ? r ? 相离;② d ? R ? r ? 外切;③ R ? r ? d ? R ? r ? 相交; ④ d ? R ? r ? 内切;⑤ 0 ? d ? R ? r ? 内含。 7.直线与圆相交所得弦长 | AB |? 2 r 2 ? d 2

第 59 页

【基础训练】 1.直线 l2 的倾斜角为 30 ,斜率为 k1 ,直线 l2 过点 (1, 2) , (5, 2 ? 5) ,斜率为 k 2 ,则
?

(

)

A

k1 ? k2

B

k1 ? k2

C

k1 ? k2
)

D 不能确定

2.过点 P (2,3) 且与直线 A. 2 x ? y ? 1 ? 0

x y ? ? 1 平行的直线的方程是( 3 2
B. 2 x ? 3 y ? 5 ? 0

C. 3x ? 2 y ? 5 ? 0 ) D (4, ?3) , 36 )

D. 2 x ? 3 y ? 7 ? 0

3、圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 11 ? 0 的圆心坐标和半径分别为( A. (4,3) , 6 B. (4, ?3) , 6 C. (4,3) , 36

4.圆 O 1: x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 和圆 O 2: x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是 (

A. 相离

B. 相交

C. 外切

D. 内切

【典例分析】 1、直线过点 (-3,-2)且在两坐标轴上的截距相等,则这直线方程为 A. 2 x ? 3 y ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0 B. x ? y ? 5 ? 0 D. x ? y ? 5 ? 0 或 x-y+5=0 ( )

2、 (2013· 重庆高考文科)设 P 是圆 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 上的动点,Q 是直线 x ? ?3 上的动点,则 PQ
2 2

的最小值为 A. 6

(

) B.4 C. 3 D. 2

3、(2013· 安徽高考文科)直线 x+2y-5+ 5 =0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为( A.1 B.2 C.4 D. 4 6



4、(2013· 陕西高考文科· T8)已知点 M(a,b)在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 外, 则直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关系 是 ( A. 相切 ) B. 相交 C. 相离 D. 不确定

第 60 页

【提高训练】 1、(2012· 山东高考文科· T9)圆 (x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 与圆 (x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 的位置关系为( (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离 )

2、(2013· 山东高考文科)过点(3,1)作圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的弦,其中最短的弦长为__________

3、(2013· 浙江高考文科)直线 y=2x+3 被圆 x2+y2-6x-8y=0 所截得的弦长等于

.

4、( 2013· 江西高考文科)若圆 C 经过坐标原点和点( 4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方程 是 .

第 61 页

第 21 讲 圆锥曲线
【基础知识】 1.椭圆与双曲线的性质: 椭 定义 方程 圆 双 曲 线

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a(2a ?| F1F2 |)
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

x2 y 2 ? ?1 b2 a 2

y
M M
2

P

图形

K F 1 F AK 1O A2
1 1 2 2

1

x

焦点 焦距 对称轴

F (?c, 0)

F (0, ?c)
F1 F2 ? 2C

F (?c, 0)

F (0, ?c)

关于 x、y 轴对称,关于原点成中心对称 长轴:(-a,0),(a,0) 长轴:(-b,0),(b,0) 短轴:(0,-a),(0,a) 实轴:(-a,0),(a,0) 虚轴:(0,-b),(0,b) 实轴:(-b,0),(b,0) 虚轴:(0,-a),(0,a)

顶点 短轴:(0,-b),(0,b) 轴 离心率 渐进线 a,b,c 2.抛物线的性质 标准方程
y 2 ? 2 px ( p ? 0)

长轴长 2a,短轴长 2b
e? c (0 ? e ? 1) a

实轴长 2a,虚轴长 2b
e? c (e ? 1) a


a ? b ? 0,a 2 ? b 2 ? c 2

y??

b x a

y??

a x b

c ? a ? 0,c 2 ? a 2 ? b 2

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)

x 2 ? 2 py ( p ? 0)

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

l
图形

y
o F
p ( ,0) 2

y
x

F o

l

y
x
l

F o
p (0, ) 2

x
p (0, ? ) 2

焦点坐标 准线方程 范围 离心率

(?

p , 0) 2

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

x?0 e ?1

x?0 e ?1
第 62 页

y?0
e ?1

y?0
e ?1

【基础训练】 1、(2011· 陕西高考文科)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程是( (A) y 2 ? ?8 x (B) y 2 ? ?4 x (C) y 2 ? 8 x (D) y 2 ? 4 x )

2、(2011· 新课标全国高考文科)椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为( 16 8
2 2
.



(A)

1 3

(B)

1 2

(C)

3 3

(D)

3、(2013· 陕西高考文科)双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 16 9

4、(2013· 北京高考文科)若抛物线 y2=2px 的焦点坐标为(1,0)则 p=____;准线方程为_____

【典例分析】 1、(2013· 全国卷高考文科)已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F2 且垂直于 x 轴的直线交 于 A,B 两点,且错误!未找到引用源。=3,则 C 的方程为 ( )

x2 ? y2 ? 1 A. 2

x2 y 2 ? ?1 B. 3 2

x2 y 2 ? ?1 C. 4 3

x2 y 2 ? ?1 D. 5 4

x2 y2 2、(2012· 湖南高考文科)已知双曲线 C: 2 - 2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 a b
C 的方程为( )

x2 y2 (A) =1 20 5

x2 y 2 (B) =1 5 20

x2 y2 (C) =1 80 20

x2 y2 (D) =1 20 80

3、(2013· 四川高考文科)抛物线 y ? 8 x 的焦点到直线 x ? 3 y ? 0 的距离是(
2



A. 2 3 C.

B. 2 D. 1

3

4、(2013· 湖南高考文科· T14)设 F1,F2 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点。若在 C 上存 a 2 b2

在一点 P。使 PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30° ,则 C 的离心率为________________.

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【提高训练】 1、(2013· 广东高考文科)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率等于 ( ) A.

1 ,则 C 的方程是 2

x2 y2 ? ?1 3 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 3

C.

x2 y2 ? ?1 4 2
(

D. )

x2 y2 ? ?1 4 3

2、(2013· 福建高考文科)双曲线 x2-y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于 A.

1 2

B.

2 2

C. 1

D. 2

3、(2011· 湖南高考文科)设双曲线 (A)4 (B)3

x2 y2 ? ? 1 (a>0)的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为( 9 a2
(C)2 (D)1



4、(2010·广东高考文科)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率 是( (A) )

4 5

(B)

3 5

(C)

2 5

(D)

1 5

5、(2010·湖南高考理科) 设抛物线 y 2 ? 8 x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离 是( (A)4 ) (B)6 (C)8 (D)12

6、(2011·江西高考文科)若双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的离心率 e=2,则 m=________. 16 m

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