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[K12配套]2017_2018学年高中数学课时作业121.7简单几何体的面积和体积北师大版必修2


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课时作业 12 柱、锥、台的体积
|基础巩固|(25 分钟,60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥,则三棱锥的体积与原来长方体 体积之比为( ) A.1:3 B.1:6 C.1:8 D.1:4 解析:设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,
则 V 三棱锥=13???12ab???c=a6bc. 又 V 长方体=abc.故选 B.
答案:B 2.正四棱锥的侧棱长为 2 3,侧棱与其在底面上的射影所成的角为 60°,则该棱锥的 体积为( ) A.3 B.6 C.9 D.18

解析:如图所示 O 为正四棱锥底面中心,∠PCO=60°,PC=2 3,则在 Rt△POC 中,

PO=3,OC=

3,AC=2

3,AB= AC = 2

6,∴V

1 锥=3×



6×3=6,故选 B.

答案:B

3.若棱台的上、下底面面积分别为 4,16,高为 3,则该棱台的体积为( )

A.26 B.28

C.30 D.32

解析:所求棱台的体积 V=13×(4+16+ 4×16)×3=28.

答案:B

4.已知某几何体的三视图如图所示,则它的体积为( )

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A.12π B.45π

C.57π D.81π 解析:该几何体的上部是一个圆锥,下部是一个圆柱,由三视图可得该几何体的体积 V

=V

圆锥+V

1 圆柱=3×π

×32×

52-32+π ×32×5=57π .故选 C.

答案:C

5.(2016·云南省第一次统一检测)如图是底面半径为 1,高为 2 的圆柱被削掉一部分

后剩下的几何体的三视图(注:正视图也称主视图,侧视图也称左视图),则被削掉的那部分

的体积为( )

A.π

+2 3

B.5π3-2

C.5π3 -2 D.2π -23

解析:由三视图可知,剩下部分的几何体由半个圆锥和一个三棱锥组成,其体积 V=13×12

×π ×12×2+13×12×2×1×2=π3 +23,∴被削掉的那部分的体积为 π ×12×2-???π3 +23???=

5π3-2.

答案:B

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

6.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是________.

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解析:由俯视图与左视图,可知该三棱锥的底面积为12×4×3=6,由左视图,可知该三

棱锥的高为 2,所以该三棱锥的体积为13×6×2=4.

答案:4

7.体积为 52 的圆台,一个底面积是另一个底面积的 9 倍,那么截得这个圆台的圆锥的

体积是________.

解析:由题意知 r:R=1:3,r、R 分别为上、下底面的半径,故(V-52):V=1:27,

解出 V=54.

答案:54

8.一个正方体和一个圆柱等高,并且侧面积也相等,则它们的体积大小关系是________. 解析:设正方体棱长为 a,则圆柱高为 a,又设圆柱底面圆的半径为 r,则 4a2=2π ra, 即 r=2πa.

∴V

正方体=a3,V

圆柱=π

r2a= 4 π

a3.

∵4>π >0, ∴V 正方体<V 圆柱. 答案:V 正方体<V 圆柱 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)

9.已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=3,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,

求三棱锥 P-ABC 的体积.

解析:因为 PA⊥底面 ABC,且底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,所以三棱锥 P-ABC 的

体积 V=13×12×2× 3×3= 3.

10.

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如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2 2,AD=2,求 四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的体积.
解析:

如图,过 C 作 CE 垂直于 AD,交 AD 延长线于 E,则所求几何体的体积可看成是由梯形

ABCE 绕 AE 旋转一周所得的圆台的体积,减去△EDC 绕 DE 旋转一周所得的圆锥的体积.

所以所求几何体的体积

V=V

圆台-V

1 圆锥=3π

×(52+5×2+22)×4-13π

×22×2=1348π

.

|能力提升|(20 分钟,40 分)
11.在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°(如图所示,若将△ABC 绕直线 BC 旋 转一周,则所形成的旋转体的体积是( )

A.9π2 B.72π

C.5π2 D.32π

解析:从 A 点向 BC 作垂线,垂足为 Q,所求旋转体的体积可视为两个圆锥的体积之差:

V

旋=V

大-V

1 小=3π

(

3)2×2.5-13π (

3)2×1=32π .

答案:D 12.已知圆锥的母线长为 5 cm,侧面积为 15π cm2,则此圆锥的体积为________ cm3. 解析:设圆锥的底面半径为 r,高为 h,则有 π rl=15π ,知 r=3,

∴h= 52-32=4.

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KK12 配套学习资料 ∴其体积 V=13Sh=13π r2h=13×π ×32×4=12π . 答案:12π 13.如图,已知某几何体的三视图如图(单位:cm).
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (2)求这个几何体的表面积及体积. 解析:(1)这个几何体的直观图如图所示.
(2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及三棱柱 B1C1Q-A1D1P 的组合体. 由 PA1=PD1= 2,A1D1=AD=2, 可得 PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积 S=5×22+2×12×2×1+2× 2×2=22+4 2(cm2), 所求几何体的体积 V=23+12×( 2)2×2=10(cm3). 14.如图,A1A 是圆柱的一条母线,AB 是圆柱底面圆的直径,C 是底面圆周上异于 A,B 的任意一点,A1A=AB=2.求三棱锥 A1-ABC 的体积的最大值.
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解析:因为 VA1-ABC=13S△ABC·AA1,而 A1A=2,要使得三棱锥 A1-ABC 的体积最大,只 需三角形 ABC 的面积最大.
记 AB 边上的高为 CD,则 S△ABC=12·AB·CD=CD. 显然 CD 有最大值 1,所以 VA1-ABC=13×CD×AA1≤13×1×2=23. 故三棱锥 A1-ABC 的体积的最大值为23.
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