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安徽省阜阳一中2019届高三第一次月考数学理试题


阜阳一中 2019 学年度高三第一次月考 数学(理科)试卷
满分:150 分 考试时间:120 分钟

一、选择题: (本大题共有 10 小题,共 50 分) 1.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 [?1, 2] ,则函数 y ? f (log 2 x ) 的定义域是( A.[1,2] B.[0,4] C. (0,4] D.[ )

1 ,4] 2

2.函数 f ( x) ? ln x ? A.0 个

1 的零点的个数是 x ?1
B.1 个



) D.3 个

C.2 个

3.给定函数① y ? x ,② y ? log 1 ( x ? 1) ,③ y ?| x ? 1| ,④ y ? 2x?1 ,其中在区间(0,1)上单调
2

1 2

递减的函数序号是( A.①②

) B.②③ C.③④ D .①④

4.抛物线 y ? x 上的任意一点到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离为(
2



A.

2

B.

7 2 8

C. 2 2 )

D. 以上答案都不对

5.下列有关命题的说法正确的是 (
2

2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” . 2 x ? ? 1 B. “ ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. 2 2 C.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ” . x ? y D.命题“若 ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题.

6.已知 f ( x) ? ?
y 2 1 O 1

?x ? 1 ?x ? 1
2

x ? [?1,0) x ? [0,1]
y 2 1

,则下列函数的图象错误 的是 ..
y 2 1 y 2 1 1 x -1 O





·1·

2

x

-1

O 1

x

-1

O

1

x

7. 在 R 上定义的函数 f ? x ? 是偶函数 , 且 f ? x ? ? f ? 2 ? x ? . 若 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 上的减函数 , 则 A.在区间 ??2, ?1? 上是增函数, 在区间 ?3, 4? 上是增函数 B.在区间 ??2, ?1? 上是增函数, 在区间 ?3, 4? 上是减函数 C.在区间 ??2, ?1? 上是减函数, 在区间 ?3, 4? 上是增函数

f ? x? (

).

D. 在区间 ??2, ?1? 上是减函数, 在区间 ?3, 4? 上是减函数 8.某商场宣传在“五一黄金周”期间对顾客购物实行一定的优惠,商场规定: ①如一次性购物不超过 200 元,不予以折扣; ②如一次性购物超过 200 元但不超过 500 元的,按标价给予九折优惠; ③如一次性购物超过 500 元的,其中 500 元给予 9 折优惠,超过 500 元的部分给予八五折优惠.某 人两次去购物,分别付款 176 元和 432 元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付款( ) A.608 元 B.574.1 元 C.582.6 元 D.456.8 元 9.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4)=1,f′(x)为函数 f(x)的导函数.已知函数 y=f′(x)的图象如图 2 b+2 所示,两个正数 a、b 满足 f(2a+b)<1,则 的取值范围是( a+2 )

1 1 A.( , ) 3 2

图2 1 1 B.(-∞, )∪(3,+∞) C.( ,3) 2 2

D.(-∞,-3)

10. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f (2) ? 0 ,当 x ? 0 时,有 式 x f ( x) ? 0 的解集是(
2

xf ?( x) ? f ( x) ? 0 恒成立,则不等 x2

) C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D. (-∞,-2)∪(0,2)

A. (-2,0) ∪(2,+∞)

B. (-2,0) ∪(0,2)

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡相应位置上。 )

·2·

11.已知 R 是实数集, M ? ? x

? 2 ? ? 1?, N ? y y ? x ? 1 ? 1 ,则 N ? C R M ? ? x ?


?

?



12.函数 f(x)=-x4+2x2+3 的最大值为

13.已知函数 y ? log1 (3x 2 ? ax ? 5) 在[-1,+ ∞)上是减函数,则 a 的取值范围
2





14.已知定义在区间[0,1]上的函数 y ? f ( x) 图象如图所示,对于满足 0< x1 < x2 <1 的 任意 x1 , x2 给出下列结论:

① f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ② x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ③ 其中正确结论的序号是 .(把所有正确结论的序号都填写在横线上)



15.已知函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 在 [?2,2] 的图象如下所示:

给出下列四个命题: ①方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根 ③方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根 其中正确的命题是 ②方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根 ④方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根 . (将所有正确的命题序号填在横线上).

·3·

三:解答题(共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 16. (本小题满分 12 分) 二次函数 f(x)满足 f (x+1)-f (x)=2x 且 f (0)=1. ⑴求 f (x)的解析式; ⑵在区间[-1,1]上,y=f (x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? a ln x(a ? R) 2

(1)若 a ? 2, 求f ( x)的单调区间和极值。 (2)若函数 f ( x ) 在 ?1, ? ?? 上是增函数,求 a 的取值范围 18. (本小题满分 12 分)已知命题 p :方程 a x ? ax ? 2 ? 0 在[-1,1]上有解;命题 q :只有一
2 2

个实数 x 满足不等式 x ? 2ax ? 2a ? 0 ,若命题“p 或 q”是假命题,求实数 a 的取值范围.
2

19、 (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 对任意实数 x 有 f ( ? x ) ? ? f ( ? x) 成立. (1)证明 y ? f ( x) 是周期函数,并指出其周期; (2)若 f (1) ? 2 ,求 f (2) ? f (3) 的值;
2 (3)若 g ( x) ? x ? ax ? 3 ,且 y ?| f ( x) | ?g ( x) 是偶函数,求实数 a 的值.

3 2

3 2

20.(本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? k (k ? 0) 在 x ? 0 处取得极值, 且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直 于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ?

ex ,讨论 g ( x) 的单调性. f ( x)
4x , x ? ? 0, 2?. 3x 2 ? 3

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 f ( x) 的值域;

·4·

(Ⅱ)设 a ? 0 ,函数 g ( x) ?

1 3 ax ? a 2 x, x ? ? 0, 2? .若对任意 x1 ??0,2? ,总存在 x0 ??0, 2? ,使 3

f ( x1 ) ? g ( x0 ) ? 0 ,求实数 a 的取值范围.

安徽省阜阳一中 2019——2019 学年度高三第一次月考数学(理)答题
参考答案 一、选择题 1—5:DCBBD 6—10:DBCCD 二、填空题 11、[1,2] 12、4 13、(-8,6] 三、解答题

14、②③

15、①③④

16、(1)设:f(x)=ax2+bx+1 又因为 f(x+1)-f(x)=2x, 化简可知 所以:a=1,b=-1 所以 f(x)=x2-x+1 2a-2=0;a+b=0

(2)因为 y==f(x)的图像恒在 y=2x+m 的图像上方 所以[-1,1]上,f(x)>y=2x+m 恒成立即:x2-3x+1>m 在区间[-1,1]恒成立 所以令 g(x)=x2-3x+1 所以 g(x)min=g(1)=-1, g'(x)=2x-3=0, 所以 m<-1 x=1.5

17、 (1)当 x∈(0,√2)时, f'(x)<0,f(x)是减函数 当 x∈(√2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)是增函数 当 x=√2 是 f (x) 是极小值点,f (√2)=1-ln√2 ] 无极大值点 (2)a≤1

·5·

18、解:由 a2x2+ax-2=0 ,得(ax+2) (ax-1 )=0 ,

显然 a ≠0,





∵x∈[-1,1],





∴|a|≥1.

又只有一个实数 x 满足 x2+2ax+2a≤0,即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴△=4a2-8a=0, ∴a=0 或 a=2,

∴命题“p 或 q”为真命题时,|a|≥1 或 a=0. ∵命题“p 或 q”是假命题, ∴a 的取值范围是{a|-1<a<0 或 0<a<1}. 19、 (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 对任意实数 x 有 f ( ? x ) ? ? f ( ? x) 成立. (1)证明 y ? f ( x) 是周期函数,并指出其周期; (2)若 f (1) ? 2 ,求 f (2) ? f (3) 的值;
2 (3)若 g ( x) ? x ? ax ? 3 ,且 y ?| f ( x) | ?g ( x) 是偶函数,求实数 a 的值.

3 2

3 2

、解(1)由 f ( ? x ) ? ? f ( ? x) ,且 f (? x) ? ? f ( x) 知

3 2

3 2

3 3 3 3 f (3 ? x) ? f [ ? ( ? x)] ? ? f [ ? ( ? x)] ? ? f (? x) ? f ( x) , 所 以 y ? f ( x) 是 周 期 函 数 , 且 2 2 2 2 T ? 3 是其一个周期.

) 1 (2) 因为 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数, 所以 f (0) ? 0 , 且 f (?
的一个周期,所以 f (2) ? f (3) ? f (?1) ? f (3) ? ?2 ? 0 ? ?2 ;

?) 1 ( ?f2 ?? , 又 T ? 3 是 y ? f ( x)

2 (3)因为 y ?| f ( x) | ? g ( x) 是偶函数,且可证明 y ?| f ( x) | 是偶函数,所以 g ( x) ? x ? ax ? 3 为偶

函数,即 g (? x) ? g ( x) 恒成立. 于是 (? x) ? a(? x) ? 3 ? x ? ax ? 3 恒成立,于是 2ax ? 0 恒成立 ? a ? 0 ,
2 2

所以 a ? 0 为所求.
·6·

20.(本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? k (k ? 0) 在 x ? 0 处取得极值, 且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直 于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ?

ex ,讨论 g ( x) 的单调性. f ( x)

解(Ⅰ)因 f ( x) ? ax2 ? bx ? k (k ? 0), 故f ?( x) ? 2ax ? b 又 f ( x) 在 x=0 处取得极限值,故 f ?( x) ? 0, 从而 b ? 0 由曲线 y= f ( x) 在(1,f(1) )处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相互垂直可知 该切线斜率为 2,即 f ?(1) ? 2, 有2a=2,从而a=1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

g ( x) ?

ex (k ? 0) x2 ? k

g ?( x) ?

ex ( x2 ? 2x ? k ) (k ? 0) ( x 2 ? k )2
2

令 g ?( x) ? 0, 有x ? 2 x ? k ? 0 (1)当 ? ? 4 ? 4k ? 0, 即当k>1时,g?(x)>0在R上恒成立,

故函数g(x)在R上为增函数
(2)当 ? ? 4 ? 4k ? 0, 即当k=1时, g ?( x) ? K=1 时,g(x)在 R 上为增函数 (3) ? ? 4 ? 4k ? 0,即当0<k<1时, 方程 x ? 2 x ? k ? 0 有两个不相等实根
2

e x ( x ? 1)2 ? 0( x ? 0) ( x 2 ? k )2

x1 ? 1? 1? k , x2 ? 1? 1? k
当 x ? (??,1 ? 1 ? k )是g?( x) ? 0, 故g ( x)在(? ?,1 ? 1 ? k )上为增 函数

·7·

当 x? 时, g ?( x) ? 0, 故 g ( x)在( 上为减函数 ( 1 ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 1 ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 时, g ?( x) ? 0, 故 g ( x)在( 上为增函数 x? ( 1 ? 1 ? k,+?) 1 ? 1 ? k,+?) 21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 f ( x) 的值域; (Ⅱ)设 a ? 0 ,函数 g ( x) ?

4x , x ? ? 0, 2?. 3x 2 ? 3

1 3 ax ? a 2 x, x ? ? 0, 2? .若对任意 x1 ??0,2? ,总存在 x0 ??0, 2? ,使 3

f ( x1 ) ? g ( x0 ) ? 0 ,求实数 a 的取值范围.
4 1 ? x2 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ? 2 , 3 ( x ? 1)2
令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? ?1 . 当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 在 (0,1) 上单调递增; 当 x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 在 (1, 2) 上单调递减, 而 f (0) ? 0, f (1) ?

2 8 , f (2) ? , 3 15

? 2? ? 当 x ??0, 2? 时, f ( x) 的值域是 ?0, ? . ? 3?
(Ⅱ)设函数 g ( x) 在 ? 0, 2? 上的值域是 A,

? 若对任意 x1 ??0,2? .总存在 x0 ??0, 2? 1,使 f ( x1 ) ? g ( x0 ) ? 0 ,
? 2? ? ?0, ? ? A . ? 3?

g ?( x) ? ax2 ? a 2 .
①当 x ? ? 0,2? , a ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,

? 函数 g ( x) 在 ? 0, 2 ? 上单调递减.
8 ? g( 0 ) ? 0g , (? 2 ) a ? 2a 2 ? , 0 3
·8·

?

当 x ? ?0, 2? 时,不满足 ? 0, ? ? A ; 3 ②当 x ? ? 0,2? , a ? 0 时, g?( x) ? a( x ? a )( x ? a ) , 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? (i) x ? ?0, 2? ,0 ?

? 2? ? ?

a 或 x ? ? a (舍去)

a ? 2 时, x, g ?( x), g ( x) 的变化如下表:
a
0

x
g ?( x)
g ( x)

0

? 0, a ?
-

?

a, 2
+

?

2

0

?

2 ? a2 a 3

?

8 a ? 2a 2 3

? g (0) ? 0, g ( a ) ? 0 .
? 2? ? ?0, ? ? A, ? 3?
8 2 1 ? g (2) ? a ? 2a 2 ? ,解得 ? a ? 1 . 3 3 3
(ii)当 x ? ?0, 2? , a ? 2 时, g ?( x) ? 0

? 函数 g ( x) 在 ? 0, 2 ? 上单调递减.
8 ? 2? ? 0g , (? 2 ) a ? 2a 2 ? ,? 0当 x ??0, 2? 时,不满 ? 0, ? ? A . ? g( 0 ) 3 ? 3?
综上可知,实数 a 的取值范围是 ? ,1? .

?1 ? ?3 ?

·9·


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