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河北省邢台市第一中学2015-2016学年高二数学上学期第二次月考试题 文


邢台一中 2015-2016 学年上学期第二次月考 高二年级数学试题(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项符合题目要求. 1.经过点 (14,10) ,且平行于直线 4 x ? 2 y ? 7 ? 0 的直线方程是( A. x ? 2 y ? 6 ? 0 C. x ? 2 y ? 34 ? 0 B. 4 x ? 2 y ? 9 ? 0 D. 2 x ? y ? 18 ? 0
2



2.若直线 ax ? 2 y ? 6 ? 0 和直线 x ? a(a ? 1) y ? (a ? 1) ? 0 垂直,则 a 的值为( A. 0 或 ?
2



3 2
2

B. 0 或 ?

2 3

C. 0 或

2 3

D. 0 或 )

3 2

3.以圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心为圆心,半径为 2 的圆的方程为( A. C.

?x ?1?2 ? y 2 ? 2 ?x ?1?2 ? y 2 ? 2
B. 3

B. D.

?x ?1?2 ? y 2 ? 4 ?x ?1?2 ? y 2 ? 4
) D. 6 )

4. 某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 最长的一条侧棱长度为( A. 2 C. 5

5.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,下列命题错误的是( A.若 m ? ? , m ? ? , 则 ? // ? C.若 m // ? , ? ? ? ? n, 则 m // n B.若 m // n, m ? ? , 则 n ? ? D.若 m ? ? , m ? ? , 则 ? ? ?

6.若直线 ax ? y ? 4 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 的交点位于第一象限,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. ?1 ? a ? 2
2 2

B. a ? ?1

C. a ? 2
2 2

D.

a ? ?1 或 a ? 2

7.两个圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 , C2 : x ? y ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的公切线的条数为 ( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 )

8.若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积为( A.

9? 2

B. 9?

C. 18?

D. 36?

1

?BCA ? 900 , 9.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, M、N 分别是 A1 B1、A1C1 的中点,AC ? BC

? AA1 ,则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为(
A. 1



10

B. 2

5

C.

2 2

D.

30 10

10.在三棱锥 S ? ABC 中,底面是边长为 1 的等边三角形,侧棱长均为 2 , SO ? 底面 ABC , O 为垂足,则侧棱 SA 与底面 ABC 所成角的余弦值为( A. )

3 2

B.

1 2

C.

3 3

D.

3 6


11.若直线经过点 P (1,1) 和点 Q(2, t ? ) , 其中 t ? 0 , 则该直线的倾斜角的取值范围是 ( A. (0,

?
4

]

B. [

? ?

1 t

, ) 4 2

C. (

? 3?
2 4 ,

]

D. [

3? ,? ) 4


2 2 12.圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是(

A. 2

B. 1 ? 2 2

C. 1 ?

2 2

D. 1 ? 2

第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上 13.直线 l : ax ? y ? 2 ? a ? 0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a = .

14.如图, PA ⊥⊙ O 所在的平面, AB 是⊙ O 的直径,C 是⊙ O 上的一点, E 、 F 分别是点 A 在 PB 、 PC 上的射影.给出下列结论:① AF ⊥ PB ; ② EF ⊥ .

PB ;

③ AF ⊥ BC ; ④ AE ⊥平面 PBC .其中正确命题的序号是
2 2

15.已知圆 C1 : ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 1 ,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的 方程为________. 16.过点 P(2,3) 的直线与圆 ( x ? 1) ? y ? 5 相切,且与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则
2 2

a?



2

三、解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.(10 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,?ABC ? 90? ,PA ? 平面 ABC ,

E , F 分别为 PB , PC 的中点.
(1)求证: EF // 平面 ABC ; (2)求证:平面 AEF ? 平面 PAB .

18.(12 分)已知点 P(1,2) 及圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 x ?12y ? 24 ? 0 .若直线 l 过点 P 且被圆 C 截 得的线段长为 2 7 ,求 l 的方程.

19.(12 分)如图,矩形 OABC 的顶点 O 为原点, AB 边所在直线的方 程为 3x ? 4 y ? 25 ? 0 ,顶点 B 的纵坐标为 10 . (1)求 OA ,OC 边所在直线的方程; (2)求矩形 OABC 的面积.

20.(12 分)如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为一直角梯形, 侧面 PAD 是等边三角形,

CD ? 2 AD ? 2 AB =2 ,平面 PAD ? 底面 ABCD ,E 是 PC 的 其中 BA ? AD, CD ? AD ,
中点. (1)求证: BE //平面 PAD ; (2)求证: BE ? CD ; (3)求三棱锥 P ? ACD 的体积 V .

21.(12 分)圆经过 P(?1,1) 、 Q(3,?1) 两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6 ,求圆的方程.

22.(12 分) 已知圆 C 的圆心在坐标原点,且与直线 l1 : x ? y ? 2 2 ? 0 相切 (1)求直线 l2 : 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 被圆 C 所截得的弦 AB 的长. (2)若与直线 l1 垂直的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 P, Q ,若 ?POQ 为钝角,求直线 l 纵 截距的取值范围.
3

(3)过点 G(1,3) 作两条与圆 C 相切的直线,切点分别为 M , N 求直线 MN 的方程.

高二年级数学(文科)答案 一、选择题 DABCC ABBDD 二、填空题 13. ? 2 或 1; 三、解答题 17.解析:证明:(1)在 ?PBC 中,? E , F 分别为 PB, PC 的中点? EF // BC 又 BC ? 平面 ABC , EF ? 平面 ABC ? EF // 平面 ABC ...............4 分 (2)由条件, PA ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC BD 15. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

14.①②③;

16. 2 或 ?

1 2

? PA ? BC ? ?ABC ? 90? ,即 AB ? BC ,
由 EF //BC ,? EF ? AB , EF ? PA 又 PA ? AB ? A , PA, AB 都在平面 PAB内

? EF ? 平面 PAB
又? EF ? 平面 AEF ? 平面 AEF ? 平面 PAB 18.解 ..............10 分

圆的方程可化为 ( x ? 2) ? ( y ? 6) ? 16
2 2

4

如图所示,|AB|= 2 7 ,设 D 是线段 AB 的中点,则 CD⊥AB, ∴|AD|= 7 ,又? |AC|=4. 故在 Rt△ACD 中,可得|CD|=3..............5 分 而圆心为 (?2,6)

? 当直线 l 的斜率不存在时,满足题意,此时方程为 x ? 1 .
当直线 l 的斜率存在时,设所求直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为: y ? 2 ? k ( x ? 1) , 由点 C 到直线 AB 的距离公式: 此 时 ,

? 2k ? 6 ? k ? 2 k ?1
2

? 3 ,得 k = ?
l


7 . 24
方 程 为



线

7 x ? 24y ? 41 ? 0
∴ 所 求 直 线

................11 分

l









x ?1



3 7 x ? 24y ? 41 ? 0 .

................12 分

19.解析: (1)∵ OABC 是矩形,∴ OA ? AB,OC // AB ,

3 由直线 AB 的方程 3x ? 4 y ? 25 ? 0 可知, k AB ? ? , 4 4 3 ∴ kOA ? ,kOC ? ? , ··························· 4 分 3 4
∴ OA 边所在直线的方程为 y ?
4 x ,即 4 x ? 3 y ? 0 , 3

3 OC 边所在直线的方程为 y ? ? x ,即 3x ? 4 y ? 0 ;··············· 6 分 4
(2)? 点 B 在直线 AB 上,且纵坐标为 10,

? 点 B 的横坐标由 3x ? 4 ?10 ? 25 ? 0 ,解得 ? 5 ,即 B(?5,10)

OA ?

0 ? 3 ? 0 ? 4 ? 25 32 ? 42

? 5 , AB ?

4 ? (?5) ? 3 ? 10 4 2 ? (?3) 2

? 10
................12 分

? S ? 50
20.解析: (1)证明:如图, 取 PD 的中点 F,连接 EF、AF,则在三角形 PDC 中 ∴EF∥CD 且 EF=

1 1 CD ,AB∥CD 且 AB= CD ; 2 2

∴EF∥AB 且 EF=AB ,∴四边形 ABEF 是平行四边形,..........2 分 ∴BE∥AF,而 BE ? 平面 PAD,而 AF? 平面 PAD,

5

∴BE∥平面 PAD;...................................4 分 (2)证明:在直角梯形 ABCD 中, CD ? AD 平面 PAD ? 底面 ABCD 平面 PAD ? 底面 ABCD ? AD

CD ? 底面 ABCD ? CD ? 平面 PAD 又 AF ? 平面 PAD ? CD ? AF
由(1) BE // AF,? CD ? BE (3)由(2)知 CD ? 平面 PAD , 且 ?PAD 是边长为 1 的正三角形 ..........8 分

1 1 1 ? 3 VP ? ACD ? VC ? PAD ? S ?PAD ? CD ? ? ?1?1? sin ? 2 ? 3 3 2 3 6

? 三棱锥 P ? ACD 的体积是

3 6

..........12 分

21. 设圆的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 令 y ? 0 得 x ? Dx ? F ? 0
2

..........1 分

设 x1 , x2 是方程的两根,? ? 由 x1 ? x2 ?
2

? x1 ? x2 ? ? D ? x1 x2 ? F
..........7 分

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 6

即 D ? 4 F ? 36 又将 P, Q 点的坐标分别代入得 ?

?? D ? E ? F ? ?2 ?3D ? E ? F ? ?10

? D ? ?6 ? D ? 2 ? ? 解之得 ? E ? ?8 或 ? E ? 8 ?F ? 0 ? F ? ?8 ? ?
故所求圆的方程为 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 0 或 x ? y ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 ..........12 分
2 2 2 2

22.解:(1)由题得:原点 O(0,0) 到直线 l1 : x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为圆的半径,

6

r?

2 2 ? 2 ,故圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 2

又圆心到直线 l 2 的距离 d ?

5 42 ? (?3) 2

?1

? AB ? 2 2 2 ? 12 ? 2 3
..........8 分 (2)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,直线 l 的方程为: y ? ? x ? b ,
2 2 联立 x ? y ? 4 得: 2 x ? 2bx ? b ? 4 ? 0 ,
2 2

..........4 分

2 2 由 ? ? (?2b) ? 8(b ? 4) ? 0 ,得 b ? 8 ,
2

? x1 ? x2 ? b ? 且? b2 ? 4 x x ? ? 1 2 2 ?
? ?POQ 是钝角,
即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,且 与 不是反向向量,

而 y1 y2 ? (? x1 ? b)(? x2 ? b)

? x1 x2 ? y1 y2 ? 2x1x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b2 ? 0
代入韦达定理,解之得 ? 2 ? b ? 2 , 而当 与 反向时, b ? 0 , ..........8 分
2 2

故所求直线纵截距的范围是 (?2,0) ? (0,2)
2 2

(3) OG ? 1 ? 3 ? 10 , GM ? OG ? OM

? 6
2 2

故以 G 为圆心, GM 的长为半径的圆 G 方程为 ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 6 又圆 C 的方程为 x ? y ? 4
2 2

相减得公共弦 MN 所在直线的方程为 x ? 3 y ? 4 ? 0 ..........12 分

7


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