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高考模块训练(数列三角)


高三数学周三专题练(数列三角函数)
命题人:张小城 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.在等差数列 ?a n ? 中,若 a 4 + a 6 + a 8 + a10 + a 12 =120,则 2 a10 - a 12 的值为 A、20
2





B、22

C、24 )

D、28

2.函数 y ? 2 cos ( x ?

?
4

) ? 1是 (

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

? 的偶函数 2 S S 3.在等差数列 ?an ? 中,a1 ? ?2008 ,其前 n 项的和为 Sn .若 2007 ? 2005 ? 2 ,则 S2008 ? 2007 2005
A. ?2007 B, ?2008 C. 2007 D. 2008

? 的奇函数 2

4.如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ? A .

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最小值为 ? 3 ?
D.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

? 2

5.已知函数 f ?x? ? A cos2 ??x ? ? ? ? 1? A ? 0, ? ? 0? 的最大值为3, f ?x ? 的图像在 y 轴上的 截距为2,其相邻两对称轴间的距离为1,则 f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ? ? ? ? ? f ?100? ? ( A. 0 B. 100 C. 150 D.200 ( ) )

6.设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 A.1 B.-1

a5 5 S ? ,则 9 ? a3 9 S5
C.2

D. )

7.已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是 ( ...

1 2

1

8.给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a,q 成等比数列,p,b,c,q 成等差数列, 则一元二 次程 bx -2ax+c=0 A.无实数根 C.有两个同号的相异的实数根
0
2

( B.有两个相等的实数根 D.有两个异号的相异的实数根



9.如图,在扇形 OAB 中, ?AOB ? 60 , C 为弧 AB 上且与 A, B 不重合的 一个动点,且 OC ? xOA ? yOB ,若 u ? x ? ?y?? ? 0? 存在最大值,则 取值范围为( A. ?1,3? ) B. ? ,3 ? 的

?1 ? ?3 ?

C. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D. ? ,2 ?

?1 ?2

? ?

10.等差数列 ?a n ?的公差 d ? ?? 1,0? , 且

sin 2 a3 ? cos2 a3 ? cos2 a3 cos2 a6 ? sin 2 a3 sin 2 a6 sin ?a2 ? a7 ?
)

=1,仅当 n ? 9 时,数列 ?a n ?的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是( A. ? , ? ? 3 2 ?

? 4? 3? ?

B. ?

? 4? 3? ? , ? 3 2? ?

C. ?

? 4? 3? ? , ? ? 3 2 ?
*

D. ? , ? 3 2? ?

? 4? 3? ?

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.设数列{an}满足 a1=6,a2=4,a3=3,且数列{an+1-an}(n∈N )是等差数列,求数列{an} 的通项公式__________________. 12.2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的 弦图为基础设计的. 弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一 个大正方形(如图) .如果小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直 角三角形中较小的锐角为 ? ,那么 cos 2? 的值等于 13.函数 f ( x) ? sin x ? 2 | sin x |, x ? ?0,2? ?的图象与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点 则 k 的取值范围是__________
n 14. 已知 an ? 2 ? ( 1 ,把数列 ?a n ?的各项排成三角形状; 3)

a1 a2
a5

a3
a7

a4

a6

a8
.

…… 记 A(m,n)表示第 m 行,第 n 列的项,则 A(10,8)=
2

15.已知函数 y ? f ?x ? ,任取 t ? R ,定义集合 At ? y y ? f ?x? ,点 P?t , f ?t ??, Q?x, f ?x ?? 满足 PQ ? 2 ,设 M , m 分别表示集合 A 中元素的最大值和最小值,记 h?t ? ? M t ? mt , 则 (Ⅰ)若函数 f ?x ? ? x ,则 h?1? ? (Ⅱ)若函数 f ? x ? ? sin ; .

?

?

?t
2

,则 h ?t ? 的最小正周期为

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤) 16. 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a+b=5,c = 7 ,且

4 sin 2

A? B 7 ? cos 2C ? . 2 2

(1) 求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积.

17.已知函数 f ?x ? ? 3 sin 2 x ?

1 '? ? ? ?? ? f ? ? cos 2 x ? f ' ? ? . 2 ? 12 ? ?4?

(1)求 f ?x ? 的最小正周期和最小值; (2)若不等式 f ?x? ? m ? 3 对任意 x ? ?

?? ?? 恒成立,求实数 m 的取值范围. , ? 12 3 ? ?

18.已知 ? 为锐角,且 tan? ? 的首项 a1 ? 1, an?1 ? f ?an ?. (Ⅰ)求函数 f ?x ? 的表达式;

?? ? 2 ? 1 ,函数 f ?x ? ? 2 x tan2? ? sin? 2? ? ? ,数列 ?an ? 4? ?

(Ⅱ)求数列 ?nan ?的前 n 项和 Sn .

3

19. 数列 ?an ? 的前 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 和 的等差中项,等差数列 ?bn ?满足 b1 ? a1 ,

b4 ? S3 .
(1)求数列 ?an ? 、 ?bn ?的通项公式; (2)设 Cn ?

1 1 1 ,数列 ?Cn ? 的前 n 项和为 Tn ,证明: ? Tn ? . 3 2 bnbn?1

20.某个公园有个池塘,其形状为直角△ABC,∠C=90°,AB=2百米,BC=1百米.

(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB、BC、CA 上取点 D,E,F,如图(1),使得 EF‖AB,EF⊥ED,在△DEF 喂食,求△DEF 面积 S△DEF 的最大值; (2)现在准备新建造一个荷塘,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,如图(2),建造△DEF 连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使△DEF 为正三角形,求△DEF 边长的最小值.

21. 已知点 Pn(an,bn)都在直线 l :y=2x+2 上,P1 为直线 l 与 x 轴的交点,数列 ?an ? 成等差数 列,公差为 1.(n∈N+) (1)求数列 ?an ? , ?bn ?的通项公式; (2) 若 f(n)= ?

?a n (n为奇数) ?b n (n为偶数)
1 1 p1 p3
2

问是否存在 k ? N ? ,使得 f(k+5)=2f(k)-2 成立; 若存在,

求出 k 的值,若不存在,说明理由。 (3)求证:
2

p1 p2

?

? ??? ?

1 p1 pn
2

?

2 5

(n≥2,n∈N+)

4

参考答案 一、选择题 题号 答案 二、填空题 1 C 2 A 3 B 4 B 5 D 6 A 7 D 8 A 9 D 10 C

11.

an ?

n 2 ? 7n ? 18 (n∈N ) 2
*

12.

7 25

13.

?1,3?

14. 2 ? ( 1 3)

89

,15。2,2

三、解答题 16. (1) 解:∵A+B+C=180°

A? B 7 C 7 ? cos 2C ? 得4 cos 2 ? cos 2C ? 2 2 2 2 1 ? cos C 7 ∴4? ………………3 分 ? (2 cos 2 C ? 1) ? 2 2
由 4 sin
2

…………1 分

整理,得 4 cos 解 得: cos C

2

C ? 4 cosC ? 1 ? 0
1 2
……5 分 ∵ 0? ?
2 2 2

…………4 分

?

C ? 180 ?
2

∴C=60°
2

………………6 分

(2)解:由余弦定理得:c =a +b -2abcosC,即 7=a +b -ab ∴7

…………7 分

? (a ? b) 2 ? 3ab
?

………………8 分

由条件 a+b=5 得 7=25-3ab …… 9 分

ab=6 ……10 分

∴ S ?ABC

1 1 3 3 3 ab sin C ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

…………12 分

17.解析: (1 )









,解得





. 最小正周期 ,最小值为 . 6分

(2)有(1)知

,当 5





,则



8分

又对任意



恒成立.

,即

.

12分

考点:导数的计算,三角函数中两个角的正弦公式,恒成立.

18. 解析:⑴

又∵

为锐角,





5分

(2) ∵ ∵ ∴数列



∴ 是以2为首项,2为公比的等比数列。

可得 下面先求

,∴ 的前 项和



9分所以,

两式相减,得

12分

19. 解析: (1)∵ 当 当 时, 时,



和 的等差中项,∴ ,∴ ,



, 即 6

3分∴数列

是以

为首项, 为公比

的等比数列,∴ 设 的公差为 ,

, , ,∴ ∴

5分

(2)

7分



9分



,∴

10分

∴数列

是一个递增数列



.综上所述, 20.解析: (1 ) 中, ,

12分 百米, 百米.

,可得









,则

米,

中,

米,C 到 EF 的距离

米,

∵C 到 AB 的距离为

米, ∴点 D 到 EF 的距离为

米,

可得

, ∵

, 当且仅当

时等号成立,∴当

时,即 E 为 AB 中点时,

的最大值为



6分

(2)设正 设

的边长为 ,可得



,则



, 7





.在

中,





,化简得



11分

(其中

是满足

的锐角) ,



边长最小值为 ∴ a1

百米.

13分 ∴ b2

21. 1) P 1 ( ?1,0)

? ?1, b1 ? 0, a2 ? ?1 ? 1 ? 0

? 2, b2 ? b1 ? 2

an ? a1 ? (n ? 1) ?1 ? ?1 ? n ? 1 ? n ? 2, bn ? b1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 2
(2)若 k 为奇数 则 f(k)= ak 若 k 为偶数 则 f(k)=2k-2 f(k+5)=k+3 k+3=4k-4-2 q=3k k=3(舍去)无解

? k ?2 2k ? 8

f(k+5)=b k ?5 ? 2k+8=2k-4-2 无解:

这样的 k 不存在 (3)

p1 pn ? (n ? 2 ? 1,2n ? 2) ? (n ? 1,2n ? 2)
2

p1 pn
1 p1 p 2
=

? (n ? 1) 2 ? 4(n ? 1) 2 ? 5(n ? 1) 2
? 1 p1 p3
2

2

? ??? ?

1 p1 p n
2

?

? 1?1 1 1 ? 1?1 1 1 1 ? ? 2 ? ? ? ??? ? ? 2 ? 2 ? ??? 2 ? 5 ?1 (n ? 2)(n ? 1) ? 2 (n ? 1) ? 5 ?1 1 ? 2 2 ? 3 ?

1? 1 ? 1?1? ? 5? n ? 1? ?

n?

2, n ? 1 ? 1

?

1 ?1 ? 1? 5 2 ? 5

8


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