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高一数学竞赛试题新课标人教A版必修1[1]


高一数学竞赛试题卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分(时间:120 分钟 满分:120 分)

第 Ⅰ卷
一、 项符合题目要求的。 )

(选择题,45 分)

选择题: (本题共 9 小题,每题 5 分,共 45 分。在每小题给出的四个选项中,只有一

1. 集 合 M ? {x | y ? ? x 2 ? 6 x ? 7, x, y ? R} , N ? { y | y ? ? x 2 ? 6 x ? 7, x, y ? R} , 则 集 合

M ?N ?(
( A)?



( B)[?1, 4]

(C )[?1,7]


( D)[0, 4]

2.下列函数与 y ? x 有相同图象的一个是( (A) y ? (C) y ? a

x2
log a x

(B) y ?

x2 x
x

(a ? 0, 且 a ? 1)

(D) y ? log a a

(a ? 0, 且 a ? 1)

3.已知二面角 ? ? l ? ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ? 平面 ? ,且 a 和 b 都不垂直于 l ,那么, a 与 ) b( ( A) 可能垂直,但不可能平行 ( B) 不可能垂直,但可能平行、 (C ) 可能垂直,也可能平行 ( D) 不可能垂直,也不可能平行 4.已知 A ? ? x ? N x ? 2? , B ? ? x x ? A? , C ? ? x x ? B? ,则集合 C 的元素个数为( (A) 2
8



(B) 4

(C) 8 )

(D) 16

5.函数

y ?3

log3 x

的图象是(

(A) (A)不存在 等于( (A) 0.5
2

(B) (B)有且只有一对 ) (B) ?0.5 (B)a<2

(C) (C)有且只有两对

(D) ) (D)有无数对

6.设 a, b 是夹角为 30°的异面直线, 则满足条件“ a ? ? , ? ? , ? ? ? ”的平面 ? , ( 且 ? b

7. 设 f ( x) 是 (??, ??) 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 0 ? x ? 1 时,f ( x) ? x , f (7.5) 且 当 则 (C) 1.5 (C)a≥2 (D) ?1.5 ) (D)a≥-2 )

8.若函数 f ( x) ? lg( x ? ax ? 3) 在(-∞,-1)上是减函数,则 a 的取值范围是 ( (A) a>2 9、对任意实数 x 规定 y 取 4 ? x, x ? 1, (5 ? x) 三个值中的最小值,则函数 y ( (A)有最大值 2,最小值 1, (C)有最大值 1,无最小值, 1 2 3 4 (B)有最大值 2,无最小值, (D)无最大值,无最小值。 5 6 7 8 9

1 2

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第 Ⅱ 卷(非选择题,共 75 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 )

?1, x ? 0 ? 10.设函数 f ( x ) ? ?0, x ? 0 ? ?1, x ? 0 ?



则方程 x f ? x ? 1? ? ?4 的解为______________
2

? ? 11.设数集 M ? ? x m ? x ? m ? 3 ? ,N ? ? x n ? 1 ? x ? n? , M , N 都是集合 ?x 0 ? x ? 1?的子集, 且 ? ? 3 4? ? ? ?
如果 把 b ? a 叫做集 合 x a ? x ? b 的“长度” ,那么 集合 M ? N 的“ 长度” 的最小值 是 .

?

?

12 . 高 斯 记 号 ?x ? 表 示 不 超 过 实 数 x 的 最 大 整 数 , 如 ? ?1.23? ? ?2 , ?1.23? ? 1 , 则 方 程

[log 2 (lg x)] ? 0 的解集为
13.设有一几何体的三视图如下,则该几何体体积为
2 2

. 。

2 2

3

1

1

2 2

三、解答题(共小 4 题,共 55 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 14.(本小题 10 分) 已知关于 x 的方程: x ? 2(a ? 1) x ? 2a ? 6 ? 0 ,
2

(Ⅰ)若方程有两个实根,且两根都在区间 ?1, ?? ? 内, 求实数 a 的范围;
2

(Ⅱ)设函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2a ? 6, x ? ? ?1,1? ,记此函数的最大值为 M (a) ,求 M (a) 的解析式。

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15、 (本小题 15 分 )在如 图所示 的四面 体 ABCD 中, AB、BC、CD 两 两互相 垂直,且 BC ? CD ? 1 . (Ⅰ)求证:平面 ACD ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 C ? AB ? D 的大小; (Ⅲ)若直线 BD 与平面 ACD 所成的角为 30? ,求线段 AB 的长度.

16、(本小题 15 分) 定义在非零实数集上的函数 f ( x) 满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( x) 是区 且 间 (0, ??) 上的递增函数。 (1)求: f (1), f (?1) 的值; (2)求证: f (? x) ? f ( x) ; (3)解不等式 f (2) ? f ( x ? ) ? 0 。

1 2

第 3 页 共 4 页

17、(本小题 15 分)如图,已知在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC=3,AB=5,BC= AA1 ? 4, 点 D 是

AB 的中点。
(1)求证: AC ? BC1 (II)求证: AC1 // 平面CDB1 (III)求三棱锥 A1 ? B1CD 的体积。

C1

A1
C

B1

B B

A

D

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