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2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科数学试题卷


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数学(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的。 1、设集合 A={x|-1<x<2},集合 B={x|1<x<3},则 A∪B= (A){x|-1<x<3} (B){x|-1<x<1} (C){x|1<x<2} (D){x|2<x<3}

2、设向量 a=(2,4)与向量 b=(x,6)共线,则实数 x= (A)2 (B)3 (C)4 (D)6

3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异, 拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是 (A) 抽签法 (D)随机数法 4、设 a,b 为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的 (A)充要条件 (C)必要不充分条件 要条件 5、下列函数中,最小正周期为 π 的奇函数是 (A)y=sin(2x+ (B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必 (B) 系统抽样法 (C) 分层抽样 法

? ) 2

(B)y=cos(2x+

? ) 2

(C)y=sin2x+cos2x 6、执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 (A)- (C)-

(D)y=sinx+cosx

3 2
1 2

(B)

3 2
1 2

(D)

y2 ? 1的右焦点且与 x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于 A、B 两点, 7、过双曲线 x ? 3
2

则|AB|=

-1-

(A)

4 3 3

(B)2 3

(C)6

(D)4 3

8、某视频保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关系 y=etx (e=2.718…为自 然对数的底数,t,b 为常数)。若该食品在 6℃的保鲜时间是???小时,在 72℃的保鲜时间是 41 小时 ,则该食品在 33℃的保鲜时间是 (A)16 小时 (B)20 小时 (C)24 小时 (D)21 小时

? 2 x ? y ? 10 ? 9、设实数 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 14 ,则 xy 的最大值为 ?x ? y ? 6 ?
(A)

25 2

(B)

49 2

(C)12

(D)14

10、设直线 l 与抛物线 y2=4x 相较于 A,B 两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点 M,且 M 为线段 AB 中点,若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是 (A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11、设 i 是虚数单位,则复数 i ? =_____________. 12、lg0.01÷log216=_____________. 13、已知 sinα+2cosα=0,则 2sin.a.cosα-cos2α 的值是______________. 14、在三棱住 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯 视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形,设点 M,N,P 分别是 AB,BC,B1C1 的中点,则三棱锥 P- A1MN 的体积是______. 15、 已知函数 f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中 a∈R).对于不相等的实数 x1,x2, 设 m=

1 i

f ( x1 ) ? f ( x2 ) , x1 ? x2

n=

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,现有如下命题: x1 ? x2

(1)对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 m>0; (2)对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1,x2,都有 n>0; (3)对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n; (4)对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=-n。 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号)。

-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? (n=1,2,3…)的前 n 项和 Sn 满足 Sn =2 an - a3 ,且 a1 , a2 +1, a3 成等差数列。 (I) (II) 求数列的通项公式; 设数列 ?

?1? ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . ? an ?

17、(本小题满分 12 分) 为 1,2,3,4,5,他们按照座位号顺序先后上车,乘客 P1 因身体原因没有坐自己号座位,这时司机 要求余下的乘客按以下规则就坐:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位。如果自己的 座位已有乘客就坐,就在这 5 个座位的剩余空位中选择座位. (I)若乘客 P1 坐到了 3 号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有 4 种坐法。下表给出其中 两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)

(II)若乘客 P1 坐到了 2 号座位,其他乘客按规则就坐,求乘客 P1 坐到 5 号座位的概率。

18、(本小题满分 12 分) 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。 (I) 请按字母 F,G,H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (II) 判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系。并说明你的结论。 (III) 证明:直线 DF ? 平面 BEG

19、(本小题满分 12 分) 已知 A、B、C 为 ABC 的内角,tanB 是关于方程 x2 ? 3 px ? p ? 1 ? 0 (p ? R)两个实根. (I) 求 C 的大小

-3-

(II)

若 AB=1,AC= 6 ,求 p 的值

20、(本小题满分 13 分) 如图,椭圆 E:

x2 y 2 2 ? 2 ? 1( a > b >0)的离心率是 ,点(0,1)在短轴 CD 上, 2 a b 2

且 PC PD ? ?1 (I)
(II)

求椭圆 E 的方程; 设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A、B 两点。是否存 在常数 ? ,使得 OA OB ? ? PA PB 为定值?若存在,求 ? 的值;若不 存在,请说明理由。

21、(本小题满分 14 分)
2 2 已知函数 f(x)= ?2 x ln x ? x ? 2ax ? a ,其中 a>0.

(I) (II)

设 g(x)为 f(x)的导函数,讨论 g(x)的单调性; 证明:存在 a ? (0,1) ,使得 f(x) ? g(x).

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