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2019-2020年高考数学一轮复习第5章数列第1讲数列的概念与简单表示法知能训练轻松闯关理北师大版


2019-2020 年高考数学一轮复习第 5 章数列第 1 讲数列的概念与简单表示

法知能训练轻松闯关理北师大版

1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( ) 111
A.1,2,3,4,…

B.-1,-2,-3,-4,… C.-1,-12,-14,-18,…

D.1, 2, 3,…, n

解析:选 C.根据定义,属于无穷数列的是选项 A、B、C(用省略号),属于递增数列的是选项

C、D,故同时满足要求的是选项 C.

2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-2n,则 a2+a18=( )

A.33

B.34

C.35

D.36

解析:选 B.当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-3,故 a2+a18=34.

??1+an,n为偶数, 2

3.(xx·杭州模拟)数列{an}定义如下:a1=1,当 n≥2 时,an=

若 an=

???an1-1,n为奇数,

14,则 n 的值为(

)

A.7

B.8

C.9

D.10

解析:选 C.因为 a1=1,所以 a2=1+a1=2,a3=a12=12,a4=1+a2=3,a5=a14=13,a6=1+

a3=32,a7=a16=23,a8=1+a4=4,a9=a18=14,所以 n=9,故选 C.

4.已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn+Sn+1=an+1(n∈N*),则此数列是( )

A.递增数列

B.递减数列

C.摆动数列

D.常数列

解析:选 D.因为 Sn+Sn+1=an+1, 所以当 n≥2 时,Sn-1+Sn=an, 两式相减,得 an+an+1=an+1-an, 所以 an=0(n≥2). 当 n=1 时,a1+(a1+a2)=a2,所以 a1=0. 所以 an=0,(n∈N*). 5.(xx·长春质量检测)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,{Sn+nan}为常数列,则 an

=( )

1 A.3n-1

2 B.n(n+1)

C.(n+1)6(n+2)

D.5-3 2n

解析:选 B.由题意知 Sn+nan=2,当 n≥2 时,(n+1)an=(n-1)an-1,从而aa21·aa32·aa43·…·aan-n 1

=13·24·…·nn- +11,有 an=n(n2+1),当 n=1 时上式成立,所以 an=n(n2+1).

6.已知数列{an}的通项公式 an=n2-(6+2λ )n+2 016,若 a6 或 a7 为数列{an}的最小项,

则实数 λ 的取值范围是( )

A.(3,4)

B.[2,5]

C.[3,4]

D.???52,92???

解析:选 D.依题意,由二次函数的性质可知,当121<3+λ <125,即52<λ <92时,a6 或 a7

为数列{an}的最小项,故实数 λ 的取值范围为???52,92???.

7.已知数列 3, 7, 11, 15,…,则 5 3是数列的第________项.

解析:易知数列的一个通项公式为 an= 4n-1.

令 4n-1=5 3,

即 4n-1= 75,

所以 4n-1=75,故 n=19.

答案:19 8.(xx·焦作模拟)已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=2Sn+1(n∈N*),则 an
=________.

解析:Sn+1=2Sn+1.① 当 n≥2 时,Sn=2Sn-1+1.② ①-②,得 an+1=2an. 所以 an=2an-1,an-1=2an-2,…,a2=2a1, 所以 an=2n-1a1=2n-1. 当 n=1 时,也适合上式, 所以 an=2n-1. 答案:2n-1

9.(xx·北京东城区模拟)已知函数 f(x)的对应关系如下表所示,数列{an}满足 a1=3,an+1

=f(an),则 a4=________,a2 015=________.

x

123

f(x) 3 2 1

解析:因为 a1=3,所以 a2=f(a1)=f(3)=1,a3=f(a2)=f(1)=3,a4=f(a3)=f(3)=1,…, 可知数列{an}是以 2 为周期的数列,所以 a2 015=a1=3. 答案:1 3

10.(xx·太原模拟)已知数列{an}满足 a1=1,an-an+1=n(2ann+an+11)(n∈N+),则 an=________.

解析:由 an-an+1=n(2ann+an+11)得an1+1-a1n=n(n2+1)=2×???1n-n+1 1???,则由累加法得a1n-a11=

2???1-1n???,又因为

a1=1,所以a1n=2???1-1n???+1=3nn-2,所以

n an=3n-2.

n 答案:3n-2

11.已知 Sn 为正项数列{an}的前 n 项和,且满足 Sn=12a2n+12an(n∈N*).

(1)求 a1,a2, a3,a4 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 解:(1)由 Sn=12a2n+12an(n∈N*),可得 a1=12a21+12a1,

解得 a1=1; S2=a1+a2=12a22+12a2,

解得 a2=2; 同理 a3=3,a4=4.

(2)Sn=12a2n+12an,①
当 n≥2 时,Sn-1=12a2n-1+12an-1,②
①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0. 由于 an+an-1≠0, 所以 an-an-1=1, 又由(1)知 a1=1, 故数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列,故 an=n. 12.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n+1-2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an+an+1,求数列{bn}的通项公式. 解:(1)当 n=1 时,a1=S1=22-2=2; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n+1-2n=2n. 因为 a1 也适合此等式, 所以 an=2n(n∈N*). (2)因为 bn=an+an+1,且 an=2n,an+1=2n+1, 所以 bn=2n+2n+1=3·2n.


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