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基本初等函数的导数公式及导数的运算法则第2课时_图文


数学选修2-2第一章导数及其应用1.2导数的计算

课题:基本初等函数的 导数公式及导数 的运算法则第2课 时 授课:张贤华 学校:衡阳市第八中学

时间:2010年上期

问题提出

1.基本初等函数的导数分别是什么?
c ?= 0
(sin x )?= cos x
?= nx n - 1 (x )
n

(cos x )?= - sin x

(a )?= a ln a
x x

(e )?= e
x

x

(loga x )?=

1 x ln a

(ln x )? =

1 x

问题提出

2.导数的四则运算法则是什么?
[f (x ) ? g(x )]ⅱ f (x ) g (x )

[f (x ) ?g(x )]ⅱ f (x )g(x ) + f (x )g (x )
[ f (x ) g(x ) (g(x ) ? 0) ]? = f ⅱ )g(x ) - f (x )g (x ) (x [g(x )]
2

问题提出

3.如何求 y = ln(x + 等函数的导数, 2)
3

我们还得进一步研究求这类函数的导 数运算法则.

探究一:复合函数的定义

思考1:将对数函数y=lnu和二次 函数u=x2 +3经过“复合”得到的 函数是什么? y=ln(x2+3)
思 考 2 : 函 数 y = (2x + 3)3 和 y = sin(ax+1)分别可以看成是由哪两 个函数“复合”而成的? y=u3,u=2x+3; y=sinu,u=ax+1.

探究一:复合函数的定义

思考3:一般地,某两个函数的复合 函数的含义是什么? 对于函数y=f(u)和u=g(x),如果通 过变量u,y可以表示成x的函数,则称 这个函数为函数y=f(u)和u=g(x) 的复合函数,记作y=f(g(x)).

探究二:复合函数的导数

思考1:函数y=(3x-2)2的导数是什么? yx′=18x-12 思考2:设y=u2,u=3x-2,则y对u的导 数和u对x的导数分别是什么? yu′=2u,ux′=3 思考3:上述三个导数yx′,yu′,ux′有 什么内在联系?
yx′=yu′·ux′

探究二:复合函数的导数

思考4:一般地,设函数y=f(u),u=
g(x),那么复合函数y=f(g(x))的导

数与函数y=f(u),u=g(x)的导数有
什么关系? yx′=yu′·ux′

理论迁移

例1 求下列函数的导数: (1)y = (2x + 3)
3

6(2x + 3)
- 0.05e

2

(2)y = e

- 0.05x + 1

- 0.05x + 1

(3)y = sin( p x + j ) (4)y = ln(x + 2)
3

p cos( p x + j )
3x x
3 2

+ 2

理论迁移

例2 求下列函数的导数:
(1)
f (x ) = log2 2x 1- x
2
2

(2) f (x ) = sin (3x + 1)
(1) f ? x ) = ( 1+ x
2 2

x (1 - x ) ln 2

(2) f ?x ) = 3 sin(6x + 2) (

理论迁移

例3 已知函数 f (x ) = cos( 3x + j )
( (0 < j < p ),若函数 y = f (x ) + f ?x )

是奇函数,求 j 的值.
j = p 6

课堂小结

1.复合函数的求导法则表明,复合函数的 导数等于外层函数与内层函数的导数之积, 它能将复杂函数的导数化归为基本初等函 数的导数求解.
2.对某些较复杂的函数,应先对函数式作 适当变形,再求导,这样可以简化求导过程. 3.求复合函数的导数,要认清中间变量,必 要时可以通过换元细化求导过程,但最后 要将中间变量代回到原自变量.

作业布置

P18习题1.2A组:3,4,8.


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